真卷江苏省南通市高考数学考前最后一卷.docx

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真卷江苏省南通市高考数学考前最后一卷

2017年江苏省南通市高考数学考前最后一卷

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，则A∪B=　　．

2．（5分）设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为　　．

3．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为　　．

4．（5分）甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为　　．（选填“甲”或“乙”）

5．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=　　．

6．（5分）口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为　　．

7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为　　．

8．（5分）已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣2x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式为f（x）=　　．

9．（5分）一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为　　．

10．（5分）如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若||=2，||=3，∠BAC=60°，则•的值为　　．

11．（5分）已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=10．若{an+1﹣an}是等比数列，则=　　．

12．（5分）已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为　　．

13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：

x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为　　．

14．（5分）设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，则a的取值范围为　　．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知向量m（sin，1），=（1，cos），函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若f（α﹣）=，求f（2α+）的值．

16．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．

求证：

（1）PC∥平面DEF；

（2）平面PBC⊥平面PBD．

17．（14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+（x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米．

（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；

（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，D为右准线上一点．

（1）若e=，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；

（2）设斜率存在的直线l经过点P（，0），且与椭圆交于A，B两点．若+=，DP⊥l，求椭圆离心率e．

19．（16分）设区间D=[﹣3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|∀x∈D，f（x）≥0}．

（1）若b=，求集合A；

（2）设常数b＜0

①讨论f（x）的单调性；

②若b＜﹣1，求证：

A=∅．

20．（16分）已知数列{an}的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn，且an+12﹣nλ2﹣1=2λSn，λ为正常数．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记bn=，Cn=+（k，n∈N*，k≥2n+2）．

求证：

①bn＜bn+1；

②Cn＞Cn+1．

三、【选做题】【选修4-1：

几何证明选讲】

21．如图，圆O的半径OA与OB相互垂直，E为圆O上一点，直线OB与圆O交于另一点F，与直线AE交于点D，过点E的切线CE交线段于点C，求证：

CD2=CB•CF．

【选修4-2：

矩阵与变换】

22．已知矩阵M=的一个特征值为4，若点P（﹣1，2）在矩阵M对应的变换作用下得到点P′，求点P′的坐标．

【选修4-4：

坐标系与参数方程】

23．在极坐标系中，已知直线l的方程为ρsin（θ﹣）=，曲线C的方程为ρ=4sinθ，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

【选修4-5：

不等式选讲】

24．已知a，b∈R，且a＞b，求证：

2a+≥2b+3．

【必做题】

25．甲、乙、丙、丁四名同学志愿到A，B两个社区进行服务，他们每人将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，若向上的点数为5或6，则该同学去A社区，否则去B社区．

（1）求甲、乙、丙、丁四名同学中恰有1人去A社区的概率；

（2）设X表示去A社区的人数，Y表示去B社区的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

26．已知数列{an}是公差为d的等差数列，在{an}的每相邻两项之间插入这两项的算术平均值，得到新数列{an

（1）}，这样的操作叫做该数列的1次“A”扩展，连续m次“A”扩展，得到新数列{an（m）}．例如：

数列1，2，3第1次“A”扩展后得到数列1，，2，，3；第2次“A”扩展后得到数列1，，，，2，，，，3．

（1）求证：

{an（m）}为等差数列，并求其公差dm；

（2）已知等差数列{an}共有n项，且a1=1，d=1，{an（m）}的所有项的和为Sn（m），求使Sn（n2）﹣n2＞2017，成立的n的取值集合．

2017年江苏省南通市高考数学考前最后一卷

参考答案与试题解析

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，则A∪B=　{x|﹣1＜x≤2}　．

【解答】解：

∵集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，

∴A∪B={x|﹣1＜x≤2}．

故答案为：

{x|﹣1＜x≤2}．

2．（5分）设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为　3﹣4i　．

【解答】解：

∵z=（2+i）2=4+4i+i2=3+4i，

∴．

故答案为：

3﹣4i．

3．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为　1　．

【解答】解：

模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，

当x=e，满足条件x＞0，可得：

y=lne=1．

故答案为：

1．

4．（5分）甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为　甲　．（选填“甲”或“乙”）

【解答】解：

甲的平均数为（18+21+29+35+32）=27，

乙的平均数为（19+23+27+33+35）=＞27，

则平均数比较少的是甲，

故答案为：

甲

5．（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=　2　．

【解答】解：

∵A=75°，B=45°，c=3，

∴C=180°﹣A﹣B=60°，

∴由正弦定理可得：

b===2．

故答案为：

2．

6．（5分）口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为　　．

【解答】解：

口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，

基本事件总数n=3×3=9，

出现“1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数m=2×1+1×2=4，

∴出现“1只白球，1只黑球”的概率为p=．

故答案为：

．

7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为　　．

【解答】解：

抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，所以双曲线的实轴在y轴，双曲线设为y2﹣x2=m，m＞0，

，解得m=2，

所求的双曲线方程为：

．

故答案为：

．

8．（5分）已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣2x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式为f（x）=　﹣1　．

【解答】解：

若x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），

∴f（﹣x）=1﹣2﹣x=1﹣，

∵f（x）是奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣1，

故答案为：

﹣1．

9．（5分）一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为　6　．

【解答】解：

设正三棱柱的底面积为S，则．

∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，∴，即，

∴．

∴．

则图甲中水面的高度为6．

故答案为：

6．

10．（5分）如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若||=2，||=3，∠BAC=60°，则•的值为　﹣　．

【解答】解：

∵D是BC的中点，∴=（+），==﹣，

又M是AD的中点，∴==+，=（）=﹣，

∴=（+）•（﹣）=﹣+2﹣，

∵||=2，||=3，∠BAC=60°，

∴=4，=9，=2×3×cos60°=3，

∴=﹣+﹣=﹣．

故答案为：

﹣．

11．（5分）已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=10．若{an+1﹣an}是等比数列，则=　3×2n﹣2n﹣3　．

【解答】解：

a2﹣a1=4﹣1=3，a3﹣a2=10﹣4=6，

∴{an+1﹣an}是等比数列，首项为3，公比为2．

∴an+1﹣an=3×2n﹣1．

∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）

=1+3+3×2+…+3×2n﹣2

=1+3×

=3×2n﹣1﹣2．

则=﹣2n=3×2n﹣2n﹣3．

故答案为：

3×2n﹣2n﹣3．

12．（5分）已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为　　．

【解答】解：

∵a＞b，2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，∴（2a+b）（a﹣b）=4．

令m（2a+b）+n（a﹣b）=2a﹣b，解得，m=，n=．

则2a﹣b=≥=，

当且仅当2a+b=4（a﹣b）=4，即a=，b=时取等号．

∴2a﹣b的最小值为．

故答案为：

．

13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：

x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为　（，4）　．

【解答】解：

点P（0，1）在圆C：

x2+y2+2mx﹣2