数学必修二第二章测试题含标准答案.docx
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数学必修二第二章测试题含标准答案
第二章综合检测题
时间120分钟,总分值150分.
一、选择题〔本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的〕
1.假设直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是〔〕
A.相交B.平行
C.异面D.平行或异面
2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为〔〕
A.3B.4C.5D.6
3.平面口和直线1,那么％内至少有一条直线与1〔〕
A.平行B.相交C.垂直D.异面
4.长方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于〔〕
A.30B.45C.60D.90
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面&使得〔〕
A.a?
%b?
bB.a?
&b//a
C.aXa,bXaD.a?
&bXa
6.下面四个命题：
①假设直线a,b异面,b,c异面,那么a,c异面；
②假设直线a,b相交,b,c相交,那么a,c相交；
③假设a//b,那么a,b与c所成的角相等；
④假设a±b,b±c,贝Ua〃c.
其中真命题的个数为〔〕
A.4B.3C.2D.1
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果AiE=BiF,有下面四个结论：
®EF±AAi；②EF//AC;③EF与AC异面；④EF//平面ABCD.
其中一定正确的有〔〕
A.①②B.②③C.②④D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,%〔3为两个不重合的平面,下
列命题中为真命题的是〔〕
A.假设a,b与x所成的角相等,那么a//b
9.假设a//&b//&&那么a//b
C.假设a?
&b?
&a//b,贝UallB
D.假设a,&b,&3,&贝Ua,b
10平面/平面&mB=l,点A6&A?
l,直线AB//1,直线ACL1,直线m//&n//&那么以下四种位置关系中,不一定成立
B.AC±m
D.AC±B
的是（）
A.AB//m
C.AB//B
11.〔2021大纲版数学〔文科〕〕正方体ABCD—AiBiCiDi中,E、
F分别为BB1、CC1的中点,那么直线AE与DF所成角的余弦值为〔〕
B..5
D-3
A.-4
5
C3
C.4
11.三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=®BC=2,那么以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余
弦值为（_）
C.0
-3-1
A至B.3
12.如下图,点P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD,
PA=AB,那么PB与AC所成的角是〔〕
A.90
C.45
二、填空题〔本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填在题中的横线上〕
13.以下图形可用符号表示为.
/B/
14.正方体ABCD—AiBiCiDi中,二面角Ci—AB—C的平面角等于.
15.设平面%//平面&A,C6&B,D6&直线AB与CD交于点S,且点S位于平面&B之间,AS=8,BS=6,CS=i2,那么SD
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论：
①ACLBD;
②4ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60.
其中正确结论的序号是.
三、解做题〔本大题共6个大题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕
17.〔i0分〕如以下图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,z\ABC与△AiBQi都为正三角形且AAJ面ABC,F、Fi分别是AC,AiCi的中点.
求证：
〔i〕平面ABiFi//平面CiBF;
〔2〕平面ABiFi,平面ACCiAi.
［分析］此题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定
理,寻找使结论成立的充分条件.
18.（本小题总分值12分）如下图,在四棱锥P—ABCD中,PAX平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,/DAB=/ABC=90,E是
（1）证实：
CD,平面FAE;
（2）假设直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P—ABCD的体积.
19.（12分）如下图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,2,M为BC的中点.
（1）证实：
AMXPM;
（2）求二面角P—AM—D的大小.
20.（本小题总分值12分）（2021辽宁文,19）如图,棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CXA1B.
（1）证实:
平面ABC平面AiBCi；
⑵设D是A1C1上的点,且AiB//平面BiCD,求AiDDCi的值.
2
21.（i2分）如图,△ABC中,AC=BC=2AB,ABED是边长为i的正方形,平面ABED,底面ABC,假设G,F分别是EC,BD的中点.
c
（i）求证：
GF//底面ABC;
（2）求证：
AC,平面EBC;
（3）求几何体ADEBC的体积V.
［分析］（i）转化为证实GF平行于平面ABC内的直线AC;
（2）转化为证实AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;（3）几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.
22
.（12分）如以下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,点D是AB的中点.
（1）求证：
AC±BC1；
（2）求证：
AG//平面CDB"
（3）求异面直线AC1与&C所成角的余弦值.
详解答案
1［答案］D
2［答案］C
［解析］AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类：
第一类与AB平行与CG相交的有：
CD、C1D1
与CC1平行且与AB相交的有：
BB1、AA1,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
3［答案］C
［解析］10直线l与平面口斜交时,在平面口内不存在与l平行的直线,「.A错；
231?
%时,在口内不存在直线与l异面,「.D错；
241///寸,在口内不存在直线与1相交.
无论哪种情形在平面口内都有无数条直线与l垂直.
4［答案］D
［解析］由于AD//A1D1,那么/BAD是异面直线AB,AQi所成的角,很明显/BAD=90.
5［答案］B
［解析］对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误；对于选项B,假设a,b不相交,那么a与b平行或异面,都存在&使a?
%b//%B正确；对于选项C,a1%b,&一定有alZb,C错误；对于选项D,a?
%b,％一定有a±b,D错误.
6［答案］D
［解析］异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错；根据等角定理,可知③正确；对于④,在平面内,a/1c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7［答案］D
［解析］如下图.由于AAi,平面AiBiCiDi,EF?
平面AiBiCiDi,那么EF±AAn所以①正确;当E,F分别是线段ABi,B£i的中点时,EF//AiCi,又AC//AiCi,那么EF//AC,所以③不正确；当E,F分别不是线段AiBi,BiCi的中点时,EF与AC异面,所以②不正确；由于平面AiBiCiDi//平面ABCD,EF?
平面AiBiCiDi,所以EF//平面ABCD,所以④正确.
8［答案］D
［解析］选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题；选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题；选项C中,%B还可能相交,所以C是假命题；选项D中,由于a,%/&那么a//B或a?
&那么B内存在直线l〃a,又b±&那么b±l,所以a±b.
9［答案］C
［解析］如下图：
AB//l//m;AC±l,m//1?
AC±m;AB//l?
AB//8
、3
10［答案］3命题意图］本试题考查了正方体中异面直线的所
5
成角的求解的运用.
［解析］首先根据条件,连接DF,然后那么角DFDi即为异面直线所成的角,设边长为2,那么可以求解得到
由=DF=DiF,DDi=2,结合余弦定理得到结论.
11［答案］C
［解析］取BC中点E,连AE、DE,可证BCXAE,BCXDE,/./AED为二面角A-BC—D的平面角
又AE=ED=V2,AD=2,.•./AED=90,应选C.
12［答案］B
［解析］将其复原成正方体ABCD—PQRS,显见PB//SC,AACS为正三角形,「•/
13［答案］加+AB
14［答案］45
［解析］如下图,正方体ABCD—AiBiCiDi中,由于BC±AB,BCiXAB,那么/CiBC是二面角Ci—AB—C的平面角.又'BCCi是等腰直角三角形,那么/CiBC=45.
如以下图所示,连接AC,BD,
i5［答案］9
［解析］
那么直线AB,CD确定一个平面ACBD.:
all&•二AC/1BD,
i6［答案］①②④
［解析］如下图,①取BD中点,E连接AE,CE,那么BDLAE,BDXCE,而AEACE=E,「.BD,平面AEC,AC?
平面AEC,故AC±BD,故①正确.
②设正方形的边长为a,那么AE=CE=*2a.
由①知/AEC=90°是直二面角A—BD—C的平面角,且/AEC=90,/.AC=a,
・•.△ACD是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE,平面BCD,故/ABE是AB与平面BCD所成的角,而/ABE=45°,所以③不正确.
④分别取BC,AC的中点为M,N,
连接ME,NE,MN.
11
那么MN//AB,且MN=］AB=2a,
_〃一__1-1
ME//CD,且ME=2CD=,a,
・••/EMN是异面直线AB,CD所成的角.
2
在Rtz\AEC中,AE=CE=^2a,AC=a,
一11
・•.NE=2AC=2a.「.^MEN是正二角形,「./EMN=60,故④正确.
17［证实］
（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中,
.「F、Fi分别是AC、A1C1的中点,
・•・BiFi//BF,AF1//C1F.
又B1F1nAFLF1,C1FABF=F,
「•平面ABFi//平面CiBF.
（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中,AAi,平面AiBiCi,BiFi±AAi.
又BiFJAiCi,AiCiAAAi=Ai,
・•.B1F1,平面ACGAi,而BFi?
平面ABFi,
「•平面AB1F1,平面ACC1Al.
18［解析］
（1）如下图,连接AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90°,得AC5.
又AD=5,E是CD的中点,所以CDXAE.
.PA,平面ABCD,CD?
平面ABCD,所以PAXCD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD,平面PAE.
⑵过点B作BG//CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由
（1）CD,平面PAE知,BG,平面PAE.于是/BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGXAE.
由PA,平面ABCD知,/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB=4,AG=2,BGXAF,由题意,知/PBA=/BPF,
一.PABF一一
由于sin/PBA=而,sin/BPF=而,所以PA=BF.
由/DAB=/ABC=90°知,AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt^BAG中,AB=4,AG=2,BGXAF,所以
BG=a/aB2+AG2=2BF=^G=2^=^5^.于是PA=BF=8/5
5.
1
又梯形ABCD的面积为S=］X（5+3）X4=16,所以四棱铤P-
8.5128,5
5=15.
ABCD的体积为
1^-1―
V="xSXPA=-x16X
33
19［解析］
（1）证实：
如下图,取CD的中点E,连接PE,EM,
EA,
•••△PCD为正三角形,
「•PE,CD,PE=PDsin/PDE=2sin60=V3.
••・平面PCD,平面ABCD,
「•PE,平面ABCD,而AM?
平面ABCD,「.PEXAM.
•••四边形ABCD是矩形,
••.△ADE,AECM,z\ABM均为直角三角形,由勾股定理可求得
EM=m,AM=a,AE=3,
••.EM2+AM2=AE2.AM,EM.
又PEAEM=E,「.AM,平面PEM,/.AMXPM.
（2）解：
由
（1）可知EMXAM,PMXAM,・••/PME是二面角P—AM—D的平面角.
・•./PME=45.
PE3.
•.tan/PME=-pr7=1,
EM3'
「•二面角P—AM—D的大小为45.
20［解析］
（1）由于侧面BCCiBi是菱形,所以BiC±BCi,
又BiCXAiB,且AiBABCi=B,
所以BiC,平面AiBCi,又BiC?
平面ABiC
所以平面ABiC,平面AiBCi.
⑵设BCi交BiC于点E,连接DE,那么DE是平面AiBCi与平面
BiCD的交线.
由于AiB//平面BiCD,AiB?
平面AiBCi,平面AiBCiA平面BiCDDE,所以AiB//DE.
又E是BCi的中点,所以D为AiCi的中点.
即AQDCii.
2i［解］（i）证实:
连接AE,如以下图所示.
・•・ADEB为正方形,
・••AEABD=F,且F是AE的中点,
又G是EC的中点,
・•.GF//AC,又AC?
平面ABC,GF?
平面ABC,
・•.GF//平面ABC.
（2）证实：
ADEB为正方形,EBXAB,
又••・平面ABED,平面ABC,平面ABEDA平面ABC=AB,EB?
平面ABED,
「•BE,平面ABC,/.BEXAC.
2
又•「AC=BC="2~AB,
・•.CA2+CB2=AB2,
.-.ACXBC.
XvBCABE=B,「.AC,平面BCE.
（3）取AB的中点H,连GH,.・BC=AC=乎AB=^,
1
.,.CHXAB,且CH*,又平面ABED,平面ABC
・•.GH,平面ABCD,/.V=[xix*!
326
22[解析]
（1）证实：
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,/.ACXBC.
又•匕^人仁：
人^平面BCC1B1.
.BC1?
平面BCgB,•.ACLBC1.
（2）证实：
设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
・•.D是AB的中点,E是BC1的中点,DE//AC1.
/DE?
平面CDB1,AC1?
平面CDB1,
・•.AG//平面CDB1.
（3）解：
•.DE//AC1,
・・•/CED为AC1与B1C所成的角.
15
在4CED中,ED=2AG=2,
151一二
cd=2AB=2,ce=]CB1=2V2,
/222
cos/CED=-5"=-5-.
2
••・异面直线ACi与B£所成角的余弦值为噜
5
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