数学必修二第二章测试题含标准答案.docx

1、数学必修二第二章测试题含标准答案第二章综合检测题时间120分钟,总分值150分.一、选择题本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每小 题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1.假设直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面 的棱的条数为A. 3B. 4C. 5 D. 63.平面口和直线1,那么内至少有一条直线与1A.平行B.相交 C.垂直 D.异面4.长方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AB, A1D1所成的角等 于A. 30B. 45C. 60 D. 905.对两条不相

2、交的空间直线a与b,必存在平面 &使得A. a?%b?bB. a? &b /aC. aXa,bXaD. a?&bXa6.下面四个命题：假设直线a, b异面,b, c异面,那么a, c异面；假设直线a, b相交,b, c相交,那么a, c相交；假设a/b,那么a, b与c所成的角相等；假设 ab, bc,贝U a c.其中真命题的个数为A. 4B. 3C. 2 D. 17.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E, F分别是线段 A1B1, B1C1 上的不与端点重合的动点,如果 AiE=BiF,有下面四个结论：EFAAi； EF/AC; EF 与 AC 异面； EF/平面 ABCD.其中一定正

3、确的有A.B.C.D.8.设a, b为两条不重合的直线,% 3为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是A.假设a, b与x所成的角相等,那么a / b9.假设 a/ & b/ & 那么 a/ bC.假设 a? & b? & a/ b,贝U all BD.假设 a,& b,& 3,& 贝U a,b10平面/平面 & mB=l,点A6 & A?l,直线AB/1, 直线ACL1,直线m/ & n/ &那么以下四种位置关系中,不一定成立B. ACmD. AC B的是()A. AB/ mC. AB/ B11. 2021大纲版数学文科正方体ABCD AiBiCiDi中,E、F分别为BB1、CC1的中点,

4、那么直线 AE与DF所成角的余弦值为 B. .5D -3A. -45C3C.411.三棱锥 D ABC的三个侧面与底面全等,且 AB=AC = BC=2,那么以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为(_ )C. 0-3- 1A 至B.312.如下图,点P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD,PA=AB,那么PB与AC所成的角是A. 90C. 45二、填空题本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填 在题中的横线上13.以下图形可用符号表示为 ./B/14.正方体ABCD AiBiCiDi中,二面角CiABC的平面角等 于.15.设平面%/平面& A, C6 & B,

5、D6 &直线AB与CD交 于点S,且点S位于平面 & B之间,AS= 8, BS= 6, CS= i2,那么SD16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有 如下四个结论： ACLBD;4ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角是60 .其中正确结论的序号是.三、解做题本大题共6个大题,共70分,解容许写出文字说明, 证实过程或演算步骤17. i0分如以下图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,zABC与AiBQi 都为正三角形且AAJ面ABC, F、Fi分别是AC, AiCi的中点.求证：i平面ABiFi /平面CiBF;2平面 ABiFi,平面 AC

6、CiAi.分析此题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.18.(本小题总分值12分)如下图,在四棱锥P ABCD中,PAX 平面 ABCD, AB=4, BC=3, AD = 5, /DAB=/ABC= 90 , E 是(1)证实：CD,平面FAE;(2)假设直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角 相等,求四棱锥P ABCD的体积.19. (12分)如下图,边长为2的等边 PCD所在的平面垂直于 矩形ABCD所在的平面,BC = 2,2, M为BC的中点.(1)证实：AMXPM;(2)求二面角P AM D的大小.20.(本小题总分值12分)

7、(2021辽宁文,19)如图,棱柱ABCA1B1C1 的侧面BCC1B1是菱形,B1CXA1B.(1)证实:平面ABC平面AiBCi；设D是A1C1上的点,且AiB/平面BiCD,求AiD DCi的值.221. (i2 分)如图, ABC 中,AC= BC= 2 AB, ABED 是边长为 i的正方形,平面ABED,底面ABC,假设G, F分别是EC, BD的中 点.c(i)求证：GF/底面ABC;(2)求证：AC,平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.分析(i)转化为证实GF平行于平面ABC内的直线AC; (2)转 化为证实AC垂直于平面EBC内的两条相交直线 BC和BE; (3)几

8、何 体ADEBC是四棱锥 C-ABED.22. (12分)如以下图所示,在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,AC=3, BC=4, AB = 5, AA=4,点 D 是 AB 的中点.(1)求证：AC BC1；(2)求证：AG/平面CDB(3)求异面直线AC1与&C所成角的余弦值.详解答案1答案D2答案C解析AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的 直线,因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1,第二类与两者都相交的只有 BC,故共有5条.3答案C解析10直线l与平面口斜交时,在平面口内不存在与l平行的 直线,.A错

9、；231? %时,在口内不存在直线与l异面,.D错；241 / /寸,在口内不存在直线与1相交.无论哪种情形在平面口内都有无数条直线与l垂直.4答案D解析由于AD/A1D1,那么/BAD是异面直线AB, AQi所成的 角,很明显/ BAD=90 .5答案B解析对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误；对于选 项B,假设a, b不相交,那么a与b平行或异面,都存在 &使a? % b / % B正确；对于选项 C, a1 % b,& 一定有alZb, C错误；对 于选项D, a? % b, 一定有ab, D错误.6答案D解析异面、相交关系在空间中不能传递,故错；根据等 角定理,可知正确；对于,在平

10、面内,a/1 c,而在空间中,a与c 可以平行,可以相交,也可以异面,故错误.7答案D解析如下图.由于AAi,平面AiBiCiDi , EF?平面 AiBiCiDi,那么EFAAn所以正确;当E, F分别是线段ABi, Bi 的中点时,EF/AiCi,又AC/AiCi,那么EF/AC,所以不正确；当 E, F分别不是线段AiBi, BiCi的中点时,EF与AC异面,所以不 正确；由于平面 AiBiCiDi/平面ABCD, EF?平面AiBiCiDi,所以 EF /平面ABCD,所以正确.8答案D解析选项A中,a, b还可能相交或异面,所以A是假命题； 选项B中,a, b还可能相交或异面,所以B

11、是假命题；选项C中,% B还可能相交,所以C是假命题；选项D中,由于a,% / &那么a / B或a? &那么B内存在直线l a,又b &那么bl,所以ab.9答案C解析如下图：AB/ l / m; ACl, m/1? ACm; AB/ l? AB/ 8、3 10答案3命题意图本试题考查了正方体中异面直线的所5成角的求解的运用.解析首先根据条件,连接DF,然后那么角DFDi即为 异面直线所成的角,设边长为2,那么可以求解得到由=DF = DiF, DDi = 2,结合余弦定理得到结论.11答案C解析 取 BC 中点 E,连 AE、DE,可证 BCXAE, BCXDE, /. /AED为二面角A

12、- BCD的平面角又 AE=ED = V2, AD = 2, ./AED=90 ,应选 C.12答案B解析将其复原成正方体 ABCDPQRS,显见PB/SC, AACS 为正三角形,/13答案加+ AB14答案45解析如下图,正方体ABCD AiBiCiDi中,由于BCAB, BCiXAB,那么/CiBC是二面角Ci ABC的平面角.又 BCCi是等 腰直角三角形,那么/ CiBC=45 .如以下图所示,连接AC, BD,i5答案9解析那么直线AB, CD确定一个平面ACBD. : all & 二 AC/1 BD,i6答案解析如下图,取BD中点,E连接AE, CE,那么BDLAE, BDXCE

13、,而 AEACE=E,.BD,平面 AEC, AC?平面 AEC,故 AC BD,故正确.设正方形的边长为a,那么AE=CE=*2a.由知/ AEC=90是直二面角ABD C的平面角,且/ AEC = 90 , /. AC= a,.ACD是等边三角形,故正确.由题意及知,AE,平面BCD,故/ ABE是AB与平面BCD 所成的角,而/ ABE=45,所以不正确.分别取BC, AC的中点为M, N,连接 ME, NE, MN.11那么 MN / AB,且 MN = AB=2a,_ 一 _ 1- 1ME/CD,且 ME = 2CD=,a,/EMN是异面直线AB, CD所成的角.2在 RtzAEC

14、中,AE=CE=2a, AC=a,一 11.NE = 2AC = 2a.MEN 是正二角形,. / EMN = 60 ,故正 确.17证实(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中,.F、Fi分别是AC、A1C1的中点,BiFi / BF, AF1 /C1F.又B1F1n AFLF1, C1FABF=F,平面 ABFi /平面 CiBF.(2)在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AAi,平面 AiBiCi, BiFiAAi.又 BiFJAiCi, AiCiAAAi = Ai,.B1F1,平面 ACGAi,而 BFi?平面 ABFi,平面 AB1F1,平面 ACC1Al.18解析(1)如下图,连接

15、 AC,由 AB=4, BC=3, /ABC=90,得 AC 5.又AD=5, E是CD的中点,所以CDXAE. PA,平面 ABCD, CD?平面 ABCD,所以 PAX CD.而PA, AE是平面PAE内的两条相交直线,所以 CD,平面PAE.过点B作BG/CD,分别与AE, AD相交于F, G,连接PF.由(1)CD,平面PAE知,BG,平面PAE.于是/ BPF为直线PB与 平面PAE所成的角,且BGXAE.由PA,平面ABCD知,/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB=4, AG = 2, BGXAF,由题意,知/ PBA= /BPF,一.PABF 一一由于 sin/PBA=

16、而,sin/ BPF =而,所以 PA=BF.由/DAB=/ABC= 90知,AD/BC,又 BG/CD,所以四边形 BCDG是平行四边形,故 GD=BC=3.于是AG=2.在 RtBAG 中,AB=4, AG=2, BGXAF,所以BG= a/aB2+ AG2 =2BF = G = 2=5.于是 PA= BF = 8/55 .1又梯形ABCD的面积为S= X(5 + 3)X4=16,所以四棱铤P-8.5128,55 = 15 .ABCD的体积为1-1V=x SX PA=-x 16X3319解析(1)证实：如下图,取 CD的中点E,连接PE, EM,EA,PCD为正三角形,PE,CD, PE=

17、PDsin/PDE = 2sin60 =V3.平面PCD,平面ABCD,PE,平面 ABCD,而 AM?平面 ABCD,. PEXAM.四边形ABCD是矩形,.ADE, AECM, zABM均为直角三角形,由勾股定理可求得EM = m, AM = a, AE=3,. EM2+ AM2 = AE2. AM,EM.又 PEAEM = E,.AM,平面 PEM, /. AMXPM.(2)解：由(1)可知 EMXAM, PMXAM, /PME是二面角PAM D的平面角./ PME = 45 .PE 3 . tan/ PME = -pr7=1,EM 3二面角P AM D的大小为45 .20解析(1)由于

18、侧面BCCiBi是菱形,所以BiCBCi,又 BiCXAiB,且 AiBABCi=B,所以BiC,平面AiBCi,又BiC?平面ABiC所以平面ABiC,平面AiBCi .设BCi交BiC于点E,连接DE,那么DE是平面AiBCi与平面BiCD的交线.由于AiB/平面BiCD,AiB?平面AiBCi,平面AiBCi A平面BiCD DE,所以 AiB/ DE.又E是BCi的中点,所以D为AiCi的中点.即 AQ DCii.2i解(i)证实:连接AE,如以下图所示.ADEB为正方形,AEABD=F,且F是AE的中点,又G是EC的中点,.GF /AC,又 AC?平面 ABC, GF?平面 ABC,

19、. GF / 平面 ABC.(2)证实：ADEB 为正方形,EBXAB,又平面 ABED,平面 ABC,平面 ABEDA平面 ABC=AB, EB ?平面ABED,BE,平面 ABC, /. BEXAC.2又AC=BC = 2AB,.CA2+CB2=AB2,.-.ACXBC.Xv BCA BE= B,.AC,平面 BCE.(3)取 AB 的中点 H,连 GH, . BC=AC=乎AB=,1.,.CHXAB,且 CH*,又平面 ABED,平面 ABC.GH,平面 ABCD, /. V= xix*!32 622解析(1)证实：在直三棱柱ABC- A1B1C1中,底面三边长AC =3, BC=4, AB= 5, /. ACXBC.又匕人仁：人平面BCC1B1. BC1?平面 BCgB, . ACLBC1.(2)证实：设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1 为正方形.D是AB的中点,E是BC1的中点,DE/AC1./DE?平面 CDB1, AC1?平面 CDB1,.AG/平面 CDB1.(3)解：. DE/AC1,/ CED为AC1与B1C所成的角.,15在4CED 中,ED = 2AG = 2,151 一二cd=2AB=2, ce=CB1 = 2V2,/2 2 2cos/ CED = -5 = -5-.2异面直线ACi与B所成角的余弦值为 噜5