人教版六年级数学下册数与代数.docx

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人教版六年级数学下册数与代数

人教版六年级数学下册数与代数

一  概念

（一）整数

1整数的意义  

自然数和0都是整数.  

2自然数  

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数.  

一个物体也没有，用0表示.0也是自然数.  

3计数单位  

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位.  

每相邻两个计数单位之间的进率都是10.这样的计数法叫做十进制计数法.  

4数位  

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位.  

5数的整除

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.  

如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）.倍数和约数是相互依存的.

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数.  

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身.例如；10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10.

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身.3的倍数有；3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数.

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如；202、480、304，都能被2整除..  

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如；5、30、405都能被5整除..  

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如；12、108、204都能被3整除.

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除.

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除.

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除.例如；16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除.

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除.例如；1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除.  

能被2整除的数叫做偶数.  

不能被2整除的数叫做奇数.  

0也是偶数.自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数.

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.  

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数.

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数.如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1.  

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数.  

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如把28分解质因数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数.其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18.其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数.

公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况；

1和任何自然数互质.

相邻的两个自然数互质.

两个不同的质数互质.

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质.

两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质.

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数.

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1.  

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数..  

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数.

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数.  

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的.

（二）小数

1小数的意义  

把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示.  

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……  

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成.数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分.  

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10.小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10.  

2小数的分类  

纯小数；整数部分是零的小数，叫做纯小数.例如；0.25、0.368都是纯小数.  

带小数；整数部分不是零的小数，叫做带小数.例如；3.25、5.26都是带小数.

有限小数；小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数.例如；41.7、25.3、0.23都是有限小数.

无限小数；小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数.例如；4.33……3.1415926……

无限不循环小数；一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数.例如；π

循环小数；一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数.例如；3.555……0.0333……12.109109……  

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节.例如；3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”.  

纯循环小数；循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数.例如；3.111……0.5656……  

混循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数.3.1222……0.03333……

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点.如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点.例如；3.777……简写作  0.5302302……简写作  .

（三）分数

1分数的意义  

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数.  

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份.  

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位.  

2分数的分类  

真分数；分子比分母小的分数叫做真分数.真分数小于1.  

假分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数.假分数大于或等于1.  

带分数；假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数.  

3约分和通分  

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分.  

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数.  

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分.  

∙

（四）百分数

1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比.百分数通常用"%"来表示.百分号是表示百分数的符号.      

二  方法

（一）数的读法和写法   

1.整数的读法；从高位到低位，一级一级地读.读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字.每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零.   

2.整数的写法；从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0.  

3.小数的读法；读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字.  

4.小数的写法；写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字.

5.分数的读法；读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读.  

6.分数的写法；先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写.  

7.百分数的读法；读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读.  

8.百分数的写法；百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示.  

（二）数的改写  

一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数.有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数.  

1.准确数；在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数.改写后的数是原数的准确数.例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿.  

2.近似数；根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示.例如；1302490015省略亿后面的尾数是13亿.  

3.四舍五入法；要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1.例如；省略345900万后面的尾数约是35万.省略4725097420亿后面的尾数约是47亿.  

4.大小比较  

1.比较整数大小；比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大.  

2.比较小数的大小；先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……  

3.比较分数的大小:

分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大.分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小.  

（三）数的互化  

1.小数化成分数；原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分.  

2.分数化成小数；用分母去除分子.能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数.  

3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.  

4.小数化成百分数；只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号.  

5.百分数化成小数；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位.  

∙

6.分数化成百分数；通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数.  

7.百分数化成小数；先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数.  

（四）数的整除  

1.把一个合数分解质因数，通常用短除法.先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式.  

2.求几个数的最大公约数的方法是；先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数.  

3.求几个数的最小公倍数的方法是；先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数.  

4.成为互质关系的两个数；1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；  当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质.  

（五）约分和通分  

约分的方法；用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止.  

通分的方法；先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数.

三  性质和规律

（一）商不变的规律  

商不变的规律；在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变.  

（二）小数的性质  

小数的性质；在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变.  

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……  

2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……  

3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位.    

（四）分数的基本性质  

分数的基本性质；分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变.  

（五）分数与除法的关系

1.被除数÷除数=  被除数/除数  

2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零.  

3.被除数相当于分子，除数相当于分母.      

四  运算的意义

（一）整数四则运算

1整数加法；

把两个数合并成一个数的运算叫做加法.  

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和.加数是部分数，和是总数.  

加数+加数=和   一个加数=和－另一个加数  

2整数减法；

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法.  

在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差.被减数是总数，减数和差分别是部分数.  

加法和减法互为逆运算.  

3整数乘法；

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法.  

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数.相同加数的和叫做积.  

在乘法里，0和任何数相乘都得0.   1和任何数相乘都的任何数.  

一个因数×一个因数=积      一个因数=积÷另一个因数  

4  整数除法；

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法.  

在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商.  

乘法和除法互为逆运算.  

在除法里，0不能做除数.因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商.  

被除数÷除数=商  除数=被除数÷商  被除数=商×除数  

（二）小数四则运算

1.小数加法；

小数加法的意义与整数加法的意义相同.是把两个数合并成一个数的运算.  

2.小数减法；

小数减法的意义与整数减法的意义相同.已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.  

3.小数乘法；

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少.  

4.小数除法；

小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算.  

5.乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方.例如3×3=32  

（三）分数四则运算  

1.分数加法；

分数加法的意义与整数加法的意义相同.是把两个数合并成一个数的运算.  

2.分数减法；

分数减法的意义与整数减法的意义相同.已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.  

3.分数乘法；

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算.  

4.乘积是1的两个数叫做互为倒数.  

5.分数除法；

分数除法的意义与整数除法的意义相同.就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算.  

（四）运算定律  

1.加法交换律；

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a.  

2.加法结合律；

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）.  

3.乘法交换律；

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a.  

4.乘法结合律；

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即（a×b）×c=a×（b×c）.

5.乘法分配律；

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a+b）×c=a×c+b×c.  

6.减法的性质；

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-（b+c）.

（五）运算法则  

1.整数加法计算法则；

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一.  

2.整数减法计算法则；

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减.  

3.整数乘法计算法则；

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来.  

4.整数除法计算法则；

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面.如果哪一位上不够商1，要补“0”占位.每次除得的余数要小于除数.  

5.小数乘法法则；

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足.    

6.除数是整数的小数除法计算法则；

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除.  

7.除数是小数的除法计算法则；

先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算.   

8.同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变.  

9.异分母分数加减法计算方法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算.  

10.带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来.  

11.分数乘法的计算法则:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母.  

12.分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数.  

（六）运算顺序  

1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同.  

2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同.  

3.没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法.  

4.有括号的混合运算:

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的.  

5.第一级运算；

加法和减法叫做第一级运算.  

6.第二级运算；

乘法和除法叫做第二级运算.

五、常见的量

（一）长度

1、什么是长度

长度是一维空间的度量.  

2、长度常用单位

*公里（km）*米（m）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）*微米（um）

3、单位之间的换算  

*1毫米＝1000微米  *1厘米＝10毫米  *1分米＝10厘米  

*  1米  ＝1000毫米  *  1千米  ＝1000米   

（二）面积  

1、什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小.对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积.  

2、常用的面积单位  

*平方毫米  *平方厘米  *平方分米  *平方米  *平方千米  

3、面积单位的换算  

*1平方厘米＝100平方毫米  *1平方分米=100平方厘米  *1平方米＝100平方分米  

*1公倾＝10000平方米  *1平方公里＝100公顷  

（三）体积和容积

1、什么是体积、容积

体积，就是物体所占空间的大小.  

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积.  

2、常用单位  

（1）体积单位   

*立方米  *立方分米  *立方厘米

（2）容积单位  *升  *毫升  

3、单位换算  

（1）体积单位  

*1立方米=1000立方分米

*1立方分米=1000立方厘米  

（2）容积单位  

*  1升=1000毫升

*  1升=1立方米

*1毫升=1立方厘米  

（四）质量  

1、什么是质量  

质量，就是表示表示物体有多重.  

2、常用单位

*吨   t*千克kg*克g

3、常用换算  

*一吨=1000千克   *  1千克=1000克  

∙

（五）时间  

1、什么是时间

是指有起点和终点的一段时间  

2、常用单位  

世纪、年、月、日、时、分、秒  

3、单位换算  

*1世纪=100年  *1年=365天   平年  *一年=366天  闰年  

*一、三、五、七、八、十、十二是大月  大月有31天   

*四、六、九、十一是小月小月   小月有30天    

*平年2月有28天  闰年2月有29天  

*1天=24小时  *1小时=60分  *1分=60秒  

（六）货币  

1、什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品.货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品.  

2、常用单位

*元  *角  *分  

3、单位换算  

*1元=10角   *1角=10分   

六、代数初步知识  

（一）、用字母表示数

1  用字母表示数的意义和作用  

*用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果.  

2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系  

路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系；  

s=vt     v=s/t  t=s/v

总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:

a=bc    b=a/c    c=a/b

（2）运算定律和性质  

加法交换律；a+b=b+a

加法结合律；（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律；ab=ba

乘法结合律；（ab）c=a（bc）  

乘法分配律；（a+b）c=ac+bc

减法的性质；a-（b+c）=a-b-c

（3）用字母表示几何形体的公式  

长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示.  

c=2（