小升初数学几何五大几何模型致远书屋.docx

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小升初数学几何五大几何模型致远书屋

五大几何模型

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；

反之，如果，则可知直线平行于．

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、共角定理（鸟头定理）

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：

1或者②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：

①

2；

3的对应份数为．

4

四、相似模型

（一）金字塔模型

（二）沙漏模型

①；

②．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾定理）

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：

设直线AB与PQ交于点M，则

特殊情况：

当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB

一、三角形相似模型

【例1】图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：

阴影部分的面积是多少平方厘米?

【巩固】如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．

【例2】已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．

【巩固】图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？

【例3】如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

【巩固】是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．

二、蝴蝶模型

【例4】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为______．

【巩固】如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。

【例5】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？

【巩固】如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？

【例6】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．

【巩固】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于．

三、共角定理（燕尾定理）

【例7】如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为________．

【巩固】正六边形，，，，，的面积是平方厘米，，，，，，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．

【例8】已知四边形，为正方形，，与是两个正方形的边长，求

【巩固】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?

【例9】如右图，面积为的中，，，，求阴影部分面积．

【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？

【例10】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.

【巩固】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.

【随练1】如图，在正方形中，、分别在与上，且，，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则___________．

【随练2】如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:

BD=1:

3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。

【作业1】如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？

【作业2】如图，已知是中点，是的中点，是的中点．三角形由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形的面积是多少平方厘米？

【作业3】如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是平方厘米．

【作业4】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为．那么，④、⑤这两块的面积比是______．

【作业5】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，m＋n的值等于__________。

（A）5（B）7（C）8（D）12