函数的奇偶性单调性周期性综合.docx
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函数的奇偶性单调性周期性综合
第二讲函数的奇偶性单调性周期性综合
A组
一、选择题
．（
2018
年全国卷Ⅱ理科）
已知f（x）是定义域为（
）的奇函数，满足
1
f（1
x）
f（1
x）．若f
（1）
2，则f
（1）
f
（2）
f（3）
f（50）
（
）
A．50
B．0
C．2
D．50
【答案】C
【解析】
f（x）是定义域为（
）的奇函数，
f（
x）
f（x）且f（0）
0
f（1
x）
f（1x）,
f（x）
f（2x）,f（
x）
f（2
x）
f（2
x）
f（x）,
f（4
x）
f（2
x）
f（x）
f（x）是周期函数，且一个周期为
4
f（4）
f（0）
0,f
（2）
f（11）
f（1
1）
f（0）
0
f（3）
f（1
2）
f（1
2）
f
（1）
2，f
（1）
2
f
（1）
f
（2）
f（3）
f（50）
12
0
f（49）
f（50）
f
（1）
f
（2）
2，故选C．
2．（2017年高考全国
1卷理）函数f（x）在（
）单调递减，且为奇函数．若
f
（1）
1，
则满足
1
f（x2）
1的x的取值范围是（
）
A．[
2,2]
B．[
1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
【答案】D
【解析】由已知，使
1
f（x）1成立的
x满足
1
x1，所以由
1x
2
1得
1
x3，即使
1
f
（x
2）1成立的x满足1
x
3，选D.
3．已知函数fx
的定义域为R,当x
0时,
fx
x31,
当
1x1
时,
f
x
fx
当x
1
fx1
f
x
1,则f6
（
）
时,
2
2
2
A．
2
B
．
0
1
C．1D．2
【答案】A
【解析】
fx
1
f
x
1
T
1
f（6）
f
（1）
f（
1）
2，故选A.
2
2
4．定义在R上的函数f（x）满足f（x
6）
f（x）．当x
3,1
时，f（x）
（x
2）2
，
当x
1,3时，f（x）
x，则f
（1）
f
（2）
f（3）
f（2017）
的值为（
）
A.336
B.337
C.1676
D.2017
【答案】B
【解析】
函数的周期
T
6,所以f1
1,f
2
2，f
3
f
3
1，f
4
f
2
0，
f5
f1
1，f6
f0
0，即f1
f2
f3
f4
f5
f6
1，
2017
6
336
1
，
所
以
f1
f2
f3......
f
2017
1
336
f1
336
1
337，故选B.
5．已知
f
x
是定义在
R上周期为
2的奇函数，当
x
（0,1）时，f（x）
4x
1，则
f（log4
1）
（
）
32
A．1
B
．-1
C．1
D
．
1
2
2
【答案】B
【解析】
f（x）是定义在R
上的周期为2
的奇函数，所以
log2
1
1
1）
5）
f（5）
f
（1）
f（log4
f（
32）
f（
（42
1）
1，故选B.
32
log24
2
2
2
6．已知函数y
f（x）的周期为
2，当x
[1,1]时f（x）
x2，那么函数y
f（x）的图象
与函数y
|lgx|的图象的交点共有（
）
A．10个B
．9个C．8个D．1个
【答案】A
【解析】
2
作图如下，由图可得函数yf（x）的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有10，故选A.
f（x）=log（x）
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
2
4
6
8
10
7．已知函数
fx
的定义域为
R.当x
0时，f（x）
x5
1
；当
1x
1
时，
f（x）
f（x）
0
时，
f
x
1
f
x
，则
f
2016=
（
）
；当x
A．-2
B
．-1
C
．0
D
．2
【答案】D
【解析】
因为当x
0时，f（x
1）
f（x），所以当x
0时，函数f（x）是周期为
1的周期函数，
所以
f（201f6）
，又因为当
1x1
时，
f（
x）
，所以
f（x）
f
（1）
f（
1）
[
（1）5
1]2，故选D．
8．已知定义在R上的函数
f（x）满足f（
x）
f（x），f（3
x）
f（x），则f（2019）
（）
A．3B．0
C．1
D
．3
【答案】B
【解析】
f（x）
f（x）,
f（3x）
f（x3）
，且
f（0）
0
，又
，
f（3x）f（x
f（x）
f（x3），由此可得f（x
3）
f
（x
6），
f（x）
f（x
6），
f（x）是周
期为6的函数，f（2019）f（6
336
3），
f（2019）
f（3）
f（0）0，故选B.
9．已知f
x在R上是奇函数，且满足
fx5
fx，当x
0,5时，fx
x2
x，
则f2016
（
）
3
A．12
B
．16
C
．20
D
．0
【答案】A
【解析】
因为f
x
5
fx，所以fx
10
f
x
5
f
x
，f
x
的周期为
10
，因此
f
2016
f
4
f
4
16
4
12，故选A．
10．定义在R上的函数
f
x
满足f
x
2
f
x
0,x
0,2
时，fx
3x
1，则
f
2015的值为（
）
A.-2
B.0
C.2
D.8
【答案】A
【解析】
由已知可得
f（x
4）
f（x
2）
f（x）
f
x
的周期T
4
f
2015
f（3）
f
（1）
2，故选A.
11．已知函数fx
的定义域为R,当x
0时,fx
x31,
当
1x1
时,f
x
fx,
当x
1
1
fx
1,
则f
6
（
）
时,fx
2
2
2
A．2
B
．0
C
．1
D
．2
【答案】A
【解析】
x
1
fx
1
f
1
T
1
2
x
f
（1）
f（
1）
（
1
1）
2.
当
2时,
2
所以f6
选A.
12．已知f
x
在R上是奇函数，且满足f
x
5
f
x，当x
0,5时，fx
x2
x，
则f2016
（
）
A．-12
B
．-16
C
．-20
D
．0
【答案】A
【解析】
f
x
f
x
5
f
x
fx10，f
2016
f
6，又f6
f
10
4
f
4，
所以f
4
f
4
12.
13．已知定义在R上的奇函数
fx
满足fx+3=-f
x，且f
-2=1，则
（）
（
）
（）
（
）
f
（
2016+f
（
2017=（
）
）
）
4
A．0
B
．-1
C
．1
D
．2
【答案】B
【解析】
因为f（x+3）=-f（）x，则fx6
fx3
fx，所以函数的周期为
6．2016
3366
，2017
336
6
1
，则f
2016
f2017
f
0
f1，又函
数为奇函数且f（-2）=1，所以f0
0，f1
f
2
1，所以
f2016f
201，7选B．1
二、填空题
14．已知f（x）的定义域为R
，且f（x
y）
f（x）
f（y）对一切正实数
x，y都成立，若
f（8）4，则f
（2）
_______。
【答案】1
【解析】
在条件f（x
y）
f（x）
f（y）中，令x
y
4，得
f（8）
f（4）
f（4）
2f（4）
4，
f（4）
2，又令x
y
2，得f（4）
f
（2）
f
（2）
2，
f
（2）
1
15．定义在
R上的奇函数
f（x），对于
x
R，都有
f（3
x）
f（3
x），且满足
4
4
f（4）
2，f
（2）
m
3，则实数m的取值范围是
.
m
【答案】m
1或0
m
3
【解析】
3
x）
3
x），因此函数
f（x）图象关于直线x
3
由f（
f（
对称，又f（x）是奇函数，因
4
4
4
此它也是周期函数，且T4
3
3，∵
f（4）
，∴
f（4）
f（4）
，∴
4
2
2
3
f
（2）
f（23
2）f
（
，4即m
2，解得x
1或0
x
3.
m
16．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：
f（x
2）[1
f（x）]
1
f（x），f
（1）
2018，
则f2017
的值为
；
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f（x）是周期函数，显然f（x）1，
5
1f（x）
1f（x2）
1
1
f（x）
1
于是f（x
，f（x
1
f（x）
2）
4）
1
f（x）
f（x）
1f（x）
1f（x2）
1
1
f（x）
所以f（x
1
f（x），故f（x）是以8为周期的周期函数，
8）
f（x
4）
从而f2017f（82521）
f
（1）2018；
17．对于函数y
fx
xR,给出下列命题：
①在同一直角坐标系中,
函数
yf1x与y
fx
1的图象关于直线x0对称；
②若
③若
f
1
x
f
x
1
f
1
x
f
x
1
则函数
则函数
yfx的图象关于直线x1对称；
yfx是周期函数；
④若f1xfx1
则函数y
f
x
的图象关于
0,0
对称.
其中所有正确命题的序号是
．
【答案】③④
【解析】
很明显①不满足题意；②不满足题意；③由f
1
x
f
x1可得fx
fx4知周
期为4的周期函数；④由
f1x
f
x
1
得f
x
f
x可知函数是奇函数，则
图象关于0,0对称，符合题意．故③④正确．
18．有下列4个命题:
①若函数
f（x）定义域为
R,则g（x）f（x）
f（
x）是奇函数;
②若函数
f（x）是定义在
R上的奇函数,
x
R,f（x）f（2x）0,则f（x）图像关于
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