新课标高中数学必修1知识点总结经典.docx

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第一章集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性；

（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

说明：

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：

{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：

例：

不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

（3）图示法（文氏图）：

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：

a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a

A

6、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系———子集

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A

B

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.

2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：

A=B

①任何一个集合是它本身的子集。

A

A

②真子集:

如果A

B,且A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。

③如果A

B,B

C,那么A

C

④如果A

B同时B

A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

记作：

A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：

A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

①全集：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

②补集：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即A

S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

记作：

CSA，即CSA={x|x

S且x

A}

③性质：

⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）∩A=Φ⑶（CUA）∪A=U

（4）（CUA）∩（CUB）=CU（A∪B）（5）（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）

二、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

注意：

1、如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（注意：

求出不等式组的解集即为函数的定义域。

）

2、构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：

①定义域一致；②表达式相同（两点必须同时具备）

值域补充

（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．

C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

（2）画法：

A、描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

（1）将y=f（x）在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f（x）∣的图象如：

书上P21例5

（2）y=f（x）和y=f（-x）的图象关于y轴对称。

如

（3）y=f（x）和y=-f（x）的图象关于x轴对称。

如

Ⅱ、平移变换:

由f（x）得到f（x

a）左加右减；由f（x）得到f（x）

a上加下减

（3）作用：

A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。

4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．映射

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A

B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

A

B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明:

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法：

常用的函数表示法及各自的优点：

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：

作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

2解析法：

必须注明函数的定义域；

3图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

4列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意：

解析法：

便于算出函数值。

列表法：

便于查出函数值。

图象法：

便于量出函数值

补充一：

分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：

复合函数

如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f是g的复合函数。

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

区间D称为y=f（x）的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：

1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

3、增减函数定义式的变型。

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

1任取x1，x2∈D，且x1

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性：

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

u=g（x）

y=f（u）

y=f[g（x）]

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

复合函数单调性：

口诀：

同增异减

注意：

1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在

一起写成其并集.

（4）判断函数的单调性常用的结论

①函数与的单调性相反；

②当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；

③函数与函数（C为常数）的单调性相同；

④当C>0（C为常数）时，与的单调性相同；

当C<0（C为常数）时，与的单调性相反；

⑤函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；

⑥若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；

若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；

⑦设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

注意：

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f（－x）与f（x）的关系；3作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）有时判定f（-x）=±f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（-x）±f（x）=0或f（x）/f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

函数奇偶性的性质

1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于

轴对称.

③若

为偶函数，则

.

④若奇函数

定义域中含有0，则必有

.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数

与一个偶函数

的和（或差）”.如设

是定义域为R的任一函数，则

，

.

⑥复合函数的奇偶性特点是：

“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（

，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）

10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

（2）利用图象求函数的最大（小）值；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

=0。

注意：

（1）

（2）当n是奇数时，

，当n是偶数时，

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：

正数的正分数指数幂的意义：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

注意：

在化简过程中，偶数不能轻易约分；如

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数

叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠1

2、指数函数的图象和性质

0

a>1

图

像

性质

定义域R,值域（0，+∞）

（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1

（2）在R上是减函数

（2）在R上是增函数

（3）当x>0时,0

当x<0时,y>1

（3）当x>0时,y>1;

当x<0时,0

图象特征

函数性质

共性

向x轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

函数图象都在x轴上方

函数的值域为R+

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

过定点（0，1）

0

自左向右看，图象逐渐下降

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

当x>0时,0

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

当x<0时,y>1

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始减小极快，

到了某一值后减小速度较慢；

a>1

自左向右看，图象逐渐上升

增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

当x>0时,y>1;

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

当x<0时,0

图象上升趋势是越来越陡

函数值开始增长较慢，

到了某一值后增长速度极快；

注意：

指数增长模型：

y=N（1+p）x指数型函数：

y=kax

3考点：

（1）ab=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1（=a0）进行传递或者利用

（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。

（5）指数型函数：

y=N（1+p）x简写：

y=kax

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果

，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：

（a—底数，N—真数，

—对数式）

说明：

1.注意底数的限制，a>0且a≠1；2.真数N>03.注意对数的书写格式．

2、两个重要对数：

（1）常用对数：

以10为底的对数,

；

（2）自然对数：

以无理数e为底的对数的对数,

．

3、对数式与指数式的互化

对数式指数式

对数底数←a→幂底数

对数←x→指数

真数←N→幂

结论：

（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1,loga1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

（3）对数恒等式：

（二）对数的运算性质

如果a>0，a1，M>0，N>0有：

1、

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

2、

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3、

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

说明:

1）简易语言表达:

”积的对数=对数的和”……

2）有时可逆向运用公式

3）真数的取值必须是（0,＋∞）

4）特别注意：

注意：

换底公式

利用换底公式推导下面的结论

①

②

③

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数

（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2）对数函数对底数的限制：

a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质：

对数函数

（a>0，且a≠1）

0＜a＜1

a＞1

图像

性质

定义域：

（0，＋∞）值域：

R

过点（1,0）,即当x＝1时,y＝0

在（0,+∞）上是减函数

在（0,+∞）上是增函数

当x>1时，y<0

当x=1时，y=0

当00

当x>1时，y>0

当x=1时，y=0

当0

重要结论：

在logab中，当a,b同在（0,1）或（1,+∞）内时，有logab>0;

当a,b不同在（0,1）内，或不同在（1,+∞）内时,有logab<0.

口诀：

底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）3、如图，3底数a对函数

的影响。

规律:

底大枝头低,头低尾巴翘。

4考点：

Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab>0；当a,b在1的异侧时,logab<0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用

（1）的知识不能解决的插进1（=logaa）进行传递。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=ax（a>0且a≠1）与y=logax（a>0且a≠1）互为反函数，图象关于y=x对称。

5比较两个幂的形式的数大小的方法:

（1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

（3）对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

6比较大小的方法

（1）利用函数单调性（同底数）；

（2）利用中间值（如:

0,1.）；（3）变形后比较；（4）作差比较

（三）幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数y=f（x）,使f（x）=0的实数x叫做函数的零点。

（实质上是函数y=f（x）与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：

方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点

3、零点定理：

函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f（a）f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f（c）=0,此时c也是方程f（x）=0的根。

4、函数零点的求法：

求函数y=f（x）的零点：

（1）（代数法）求方程f（x）=0的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点：

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．

1）△