第一章三角形的证明汇总.docx

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第一章三角形的证明汇总

第一章三角形的证明

第1课时

授课时间2014年2月17日第1周

教学内容：

1.1、等腰三角形

（1）

教学目标：

1、知识目标：

了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

结合实例体会反证法的含义。

3、情感目标：

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

教学方法：

观察法。

教学过程：

一、复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

二、新课讲解：

1、在《证明

（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

2、等腰三角形知识点回顾

（1）如图1、2，在△ABC中，AB=AC，则顶角为，底角为，腰为，底边为。

（2）AD是△ABC的中线，则；AD是△ABC的角平分线，则；AD是△ABC的垂线，则；

（3）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

请找出所有的等腰三角形。

3、处理议一议

等腰三角形（包括等边三角形）的性质，学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考察哪些能够立即证明。

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

我们如何验证这个命题成立呢？

我们以前是用度量、折纸的方法得到的，但要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的。

那么，我们应该如何证明呢？

这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路。

4、证明定理：

已知，如图，在△ABC中，AB=AC。

求证：

∠B=∠C。

分析：

要想证明∠B=∠C，根据以前所学的证明方法，只需证明分别包括∠B和∠C的两个三角形全等。

但图中只有一个三角形。

我们应该如何作辅助线呢？

引导学生作出辅导线，得出证明过程。

发散学生思维，让学生找出其它的证明方法。

强调要写“在两个三角形中”，不要写大括号。

除了作顶角的平分线还可以怎样作辅助线？

为什么我们所作的三条辅助线，从位置上看都是同一条线？

顶角的平分线底边上的中线底边上的高

处理想一想

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论。

这一结论通常简述为“三线合一”。

5、如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。

分析：

这是对等腰三角形性质的应用，由让学生从问题出发，逐步得出解题过程。

6、如图，AB=AD，BD平分∠ABC。

求证：

AD∥BC。

分析：

此例可先让学生独立完成，再适当提点。

三、练习

（1）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。

等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，

且DE⊥AB，DF⊥AC。

求证：

∠1=∠2。

（3）课本P3-4随堂练习

四、课堂小结

这节课，我们学习了四条公理、一个推论和一条定理。

在具体应用时，我们要灵活运用，突破图形关，这样才算真正理解。

要熟记等腰三角形的性质定理和推论，在题目中看到是等腰三角形，要马上想到“等边对等角”。

五、课堂作业

课本P4习题1.11、2、3、4、6

课后反思

第2课时

授课时间2014年2月18日第1周

教学内容：

1.1、等腰三角形

（2）

教学目标：

1、知识目标：

能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等。

了解反证法的推理方法。

会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。

2、能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

，并由特殊结论归纳出一般结论。

3、情感目标：

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

正确叙述结论及正确写出证明过程。

熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。

教学方法：

探究式教学法自主探究与合作探究

教学过程：

一、情境导入：

1、从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。

其实等腰三角形还有很多性质，你还能发现其中一些相等的线段吗？

你能证明它们吗？

2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠BAC=100°。

求∠1、∠3、∠B的度数。

二、新课讲解

1、引导探索：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？

（提出问题，激发学生探究的欲望。

学生猜想）

2、探究中发现：

在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？

你能用文字叙述你的结论吗？

（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）

3、证明：

（1）例1证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。

）

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是△ABC的角平分线。

求证：

BD＝CE（学生口述证明过程，然后写出证明过程。

）

证明：

见课本p5

此题还有其它的证法吗？

（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。

其它证法合作交流完成。

）

4、议一议：

在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC,∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？

如果∠ABD＝1/4∠ABC,∠ACE＝1/4∠ACB呢？

由此你能得到一个什么结论？

如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB,那么BD＝CE吗？

如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？

由此你能得到一个什么结论？

（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。

学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。

）

5、想一想

探索并证明等边三角形的性质定理：

等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°

三、随堂练习：

1、已知：

在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求证：

DB=DE

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

）

2、课本P6随堂练习1、2

四、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

等腰三角形的性质，常常可以简捷地证明角相等、线段相等、两直线互相垂直。

在几何解题中，不能一概依赖全等三角形，要学会选择最简的解题途径。

这一节课我们还学习了等腰三角形的性质定理及其两个推论的内容及其应用。

等腰三角形的两个底角相等及等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合的性质非常重要，是我们今后证明两个角相等，两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据，所以同学们一定要掌握。

五、作业：

课本P7习题1.21、2、3。

课后反思

第3课时

授课时间2014年2月19日第1周

教学内容：

1.1、等腰三角形（3）

教学目标：

1、知识目标:

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。

能够用综合法证明等腰三角形的判定定理；体会反证法的含义。

2、能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

提高证明能力，归纳总结能力。

3、情感目标：

培养学生独立思考、勇于创新的精神，培养学生逆向思维的思维方式，是学生能从不同的角度去看待世界。

教学重点、难点：

关于综合法在证明过程中的应用。

教学过程：

一、温故知新

1、已知：

∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

（1）找出图中的等腰三角形

（2）BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？

（3）证明以上的结论。

二、新课讲解

1、探索问题：

①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的思路吗？

（把你的思路与同伴进行交流。

）

2、定理：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

做一做：

用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？

能拼成一个等边三角形吗？

说说你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

能证明你的结论吗？

（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°

延长BC至D,使CD=BC,连接AD

∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）

∴△ABD是等边三角形

∴BC=

BD=

AB

结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、复习关于反证法的相关知识《李子不好吃》

古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。

小朋友问他为何不去摘，他说：

“树长在路边，若李子好吃，早就没了！

但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。

”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。

王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

反证法步骤：

假设：

假设命题的结论不成立

归谬：

从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果

结论：

由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

讲解例题一个三角形中不能有两个直角。

分析：

按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后从这个假定出发推下去，找出矛盾。

证明：

假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，即∠A=∠B=90°，

则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C=180°+∠C>180°。

这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立

所以一个三角形中不能有两个角是直角

4、

（1）把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

我每天工作不超过24小时；

我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；

初