数字信号处理习题集附答案.docx
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数字信号处理习题集附答案
第一章数字信号处理概述
简答题：
1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：
在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出
波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，
自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）
答：
错。
需要增加采样和量化两道工序。
3.一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后
基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）
答：
受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1.过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T
表示采样周期（假设T足够小，足以防止混叠效应），把从x（t）到y（t）的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a）如果h（n）截止于8rad，1T10kHz，求整个系统的截止频率。
（b）对于1T20kHz，重复（a）的计算。
解（a）因为当||/8rad时H（ej）0，在数一模变换中
11j
Y（eJ）〒Xa（j）〒Xa（：
）
所以h（n）得截止频率c:
8对应于模拟信号的角频率c为
8
1
因此fch面625Hz
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为-，因此对一没有影响,
T8T
故整个系统的截止频率由H（eJ）决定，是625Hz。
（b）采用同样的方法求得1T20kHz，整个系统的截止频率为
16T
1250Hz
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题:
1.设序列x（n）的傅氏变换为X（ej），试求下列序列的傅里叶变换。
（1）x（2n）
（2）x*（n）（共轭）
解：
（1）x（2n）
由序列傅氏变换公式
DTFT[x（n）]
X（ej）
x（n）ejn
可以得到
DTFTx（2n）]
x（2n）e
jn
x（n）e
n为偶数
1[x（n）
（1）
j
x（n）]e
jn
x（n）e2
1
1X（e2）
1j—
?
X（e2）
j-
1
2n
j（-
2
^X（e
2
j-
X（e2）
j（）n
x（n）e2
（2）x*（n）（共轭）
解：
DTFTx*（n）
x*（n）ejn
[x（n）ejn]*
n
X*（ej）
2.计算下列各信号的傅里叶变换。
n
（a）2u[n]
（C）[4
2n]
（d）
吩）
解：
（a）
X（
2nu[
n]ejn
（2ej）
（b）
X（
（1）nu[n
4
2]e
（1）ne
24
（c）
X（
（d）
m0（^2
x[n]e
ej
（m
2）
16
ej2
4
[4
2n]ej
ej2
利用频率微分特性，可得
X（）
■dX（）
d
1
（1昇）2
2
1
r~
1e
2
1
r~
1e
2
1]
3.序列x（n）的傅里叶变换为
X（ejw）
求下列各序列的傅里叶变换。
（1）x（n）
（2）
Re[x（n）]
（3）nx（n）
解：
（1）x*（n）ejwn
n
[x（n）ejw（n）]*
X*（ejw）
（2）Re[x（n）]ejwn
n
1
2[x（n）x（n）]
jwn1jwjw
e2[X（e）X（e）]
（3）nx（n）ejwn
nn
j±x（n）ejwn
jdwdwn
.dX（ejw）
'dw
4.序列x（n）的傅里叶变换为
X（ejw），求下列各序列的傅里叶变换。
（1）x（n）
（2）
jlm[x（n）]
x2（n）
解:
（1）
jwn
x（n）e
n
[x（n）ej（w）（n）]
x（n）ej（w）n]X（ejw）
（2）
1
严）
n）]e
jwn
x（n）e
jwn
jwni
（n）e]
（3）
X（ejw）
x（n）e
j（
w）n
2X（旳
（e
jw）
2jwn
x（n）e
n
丄X（ej
2
1.
厂X（ej）
X（ej
）d
x（n）e
j（w
）n
）X（ej（w））d
X（ejw）
jw
5.令x（n）和X（e）表示
个序列及其傅立叶变换,
jw
利用X（e）表示下
面各序列的傅立叶变换。
（1）
g（n）
x（2n）
（2）
g（n）
xn2n为偶数
0n为奇数
解：
（1）
G（ejw）
g（n）ejnwx（2n）ejnw
x（k）e
n
n
k
k为偶数
kj-w
（1）
x（nno）
no为任意实整数
（2）
x
n2
n为偶数
g（n）
0
n为奇数
（3）
x（2n）
jwno
e
X（ejw）
1
2x（k）
k
kjw
1）x（k）e2
k
1
2k
'（J2）
2
x（k）e
1
2k
1
-x（k）（e2k
jkd）
2
x（k）e
）e
w
2x（/）
w
ej（「
w
2xd2）
X（
（2）G（ejw）g（n）ejnw
n
g（2r）ej2rw
x（r）e
r
jr2wX（ej2w）
6.设序列x（n）傅立叶变换为
jw、
X（e），求下列序列的傅立叶变换。
解:
（1）
（2）
x（n2）n为偶数
g（n）
X（ej2w）
为奇数
（3）
x（2n）
jw
X（e2）
7.计算下列各信号的傅立叶变换。
1
（1）
（2）nu（n3）u（n2）
⑵cos（18
sin（2n）
（2）
假定cos（18\）和sin（2n）的变换分别为
X,k）和X2（k），则
2
18218
X,k）
k
（Nk
2k）（k
7N7
2k）
X2（k）
Jk
（—k
N
22k）（2k22k
N
）
所以
X（k）
XNk）
X2（k）
（3）x（n）
cos（n3）
0
—1n4
其它
【解】
（1）X（k）
1
（-）nu（n3）
u（n2）
ej>
j\nj'
3
（2）e
j3—k
8eN__
j2Nk
2■N
kn
1le
2
j3^k
8eN
/1、5
（2）e
1j—k1丄eN
2
」、n
2
（2）e
j2—k
eN
1j三k
N
2
j5仝k
N
18
2k）
（2
2k
22k）j（k22k）
N
（3）
X（k）
jn2
cos—ne
43
Pk
jn
3）e
2
jnk
N
41J-n
尹3
n42
‘2
1J4（k-）
N3
e
2
2
J（k）n
3N
e
n0
2
J4（k
N_e2
9
9J
e
n0
2
（?
2N）n
2jq轨）9lej4W1e3N
D
2
2
1e%^k）
j4《k
3）
8求下列序列的时域离散傅里叶变换
X（n）
Rex（n）
xo（n）
X（n）
x（n）ej
（n）X（ej）
Rex（n）
1
2x（n）
1
X（n）ejnX（eJ）X（eJ）Xe（eJ）
2
Xo（n）ej
丄x（n）
x（n）ejnjImX（ej）
解:
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1.设H（z）是线性相位FIR系统，已知H⑺中的3个零点分别为1,0.8,
1+j，该系统阶数至少为（）。
解:
由线性相位系统零点的特性可知，z1的零点可单独出现，z0.8的零点需成对出现，z1j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。
简答题：
2.何谓最小相位系统？
最小相位系统的系统函数Hmin（Z）有何特点？
解：
一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
brZ
H（Z）竺斗，他的所有极点都应在单位圆内，即
Q（Z）1"
k1
k1。
但零点可以位于Z平面的任何地方。
有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G（Z）1H（Z）也是稳定因果的。
这就需要H（Z）的零点也位于单位圆内，即r1。
一个稳定因果的滤波器，女口果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。
等价的，我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。
一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值|H（ejw）唯一确定。
2
从ejw求H（Z）的过程如下：
给定|ejw，先求ejw|，它是cos（kw）的函数。
然后，用1（ZkZk）替代cos（kw），我们得到G（Z）H（Z）H（Z1）。
最后，最小相位系统由单位圆内的G（Z）的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通
系统的乘积，即
H（Z）Hmin（Z）Hap（Z）
完成这个因式分解的过程如下：
首先，把H（Z）的所有单位圆外的零
点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin⑵是最小相位的。
然后，选择全通滤波器Hap（Z）,把与之对应的Hmin（Z）中的零点映射回单位圆外。
3.何谓全通系统？
全通系统的系统函数Hap（Z）有何特点？
解：
一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap（Z）对应的傅里叶变换
幅值
H（ejw）
1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式
的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
Hap（Z）
P（Z）
Q（Z）
brZ
r0
N
1akZ
k1
N1
-冷。
因而，如果在Zk11kZ
k处有一个
极点，则在其共轭倒数点Z
处必须有一个零点
4.有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、
系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
xnyn
►hn►
解：
频率响应：
H（eJ）h（n）ejn
系统函数：
H（Z）
h（n）Z
差分方程：
Z1YI
卷积关系：
y（n）h（n）x（n）
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题:
1.如果x（n）是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。
把~（n）看作周期为N的周期序列有~（n）Xi（k）（周期为N）；把~（n）看作周期为2N勺周期序列有~（n）文2（k）（周期为2N）；试用&（k）
表示X2（k）。
解：
X^k）
N1
〜（n）W,n
n0
N1~（n）eF1"
n0
X2（k）
2N1
〜kn
x（n）W2N
n0
N1jUn
〜（n）eN2
n0
2N1jUn
〜（n）eN2
nN
对后一项令n
nN，则
N1.2k
jn
X2（k）〜（n）eN2
n0
N1
〜（n
n0
N）e
（1
（1
所以X2（k）
N1
jk）〜（n）e
n0
jk~k
jk）xq）
k
2X1（；）
2
0
k为偶数
k为奇数
离散傅立叶变换定义
填空题
2.某DFT的表达式是X（l）
x（k）W^1，则变换后数字频域上相邻两
k0
个频率样点之间的间隔是（）。
解：
2.M
N1
3.某序列DF啲表达式是X（l）x（k）wM，由此可看出，该序列的时
k0
域长度是（）,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是
（）。
解：
N2M
4.如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足
条件（纯实数、偶对称）。
解：
纯实数、偶对称
5.采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z1代表的物理意义是（延时一个采样周期T=1/F）,其中时域数字序列x（n）的序号n代表的样值实际位置是（nT=n/F）;x（n）的N点DFTX（k）中，序号k代表的样值实际位置又是（k—k）。
N
解：
延时一个采样周期T1F,nTnF,k—k
N
6.用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了
512点的DFT则频域抽样点之间的频率间隔f为8000/512,数字角频
率间隔w为2pi/512和模拟角频率间隔8000*0.0123。
解：
15.625,0.0123rad,98.4rad/s
判断说明题：
7.—个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做
DFT对它进行分析解：
错。
如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。
否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题8令X（k）表示N点的序列x（n）的N点离散傅里叶变换，X（k）本身也是一个N点的序列。
如果计算X（k）的离散傅里叶变换DFT得到一序列
Xi（n），试用x（n）求Xi（n）
N1N1
x（n）W『WN；k
1N
x（n）
0k
0
n）
N1
解：
Xi（n）X（k）WN；k
k0
因为
N
n）
nnNl
其他
所以
N1
X1（n）Nx（nNl）Nx（（n））nRn（n）
n
9.序列x（n）HQO，其4点DFTx（k）如下图所示。
现将x（n）按下列
（1）,
（2）,（3）的方法扩展成8点,求它们8点的DFT?
（尽量利用DFT
的特性）
Xk
y1（n）
x（n）
x（n4）
y2（n）
x（n）
n0~3
（2）
0
n4~7
ya（n）
x（*
n偶数
（3）
0
n奇数
解:
Y12k2Xk,
0k3
Y12k1
0
（2）丫2
k1
X$
2
Xk,k12k,0k17,0k3
（3）丫3
k1
Xk1
4Xk
0
k1
7,0k
3,kk1mod4
10.设x（n）是一个2N点的序列，具有如下性质:
x（nN）x（n）
另设xi（n）x（n）Rn（n）,它的N点DFT为x“（k），求x（n）的2N点DFTX（k）和X1（k）的关系。
解：
Xk2Xik推导过程略
2
11.试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）
（1）x（n）aR（n）
（2）x（n）nRn（n）
解：
（1）因为x（n）a
Rn5），所以
X（k）
1aN
ae⑺
（2）由x（n）nRn（n），得
N1
X（k）nW,kRN（k）
n0
N1
W,X（k）nwNn1）kRN（k）
n0
X（k）（1
knk
Wn）（nW”
n0
nWN（n1）k）RN（k）
wN
2k
2^Vn
（（N
1）
3k
1
nk
Wn）RN（k）
1
（N
1）wNN1）k
2k
（Wn
3k
2^Vn
（N
2）wNN1）k
1）RN（k）
（N
1）
k
Wn1
RN（k）
NRz（k）
所以
X（k）
1WNkRN（k）
12.计算下列序列的
N点DFT:
R16
（1）
x（n）
an,0n
（2）
x（n）
cos
2
nm,
N
解：
（1）X（k）
1
nnkaWn
0
NNK
1aWN
1aWNk
1aWNk
（2）X（k）
12
cosmn0N
nk
Wn
.2jmn
N
.2jmn
N
jLnkeN
j2（km）e
j（km）
1eN
1ej2（km）
ej（5ej
（km）j-NJ（k
——eN
j（km）j（km）
NN
ee
m）
ej
（k
m）
ej（k
m）
e
j（km）j（km）
NN
ee
j»（km）
N
N1
sin（（km））j〒（km）
esin（km）N
N1
sin（km）j〒（km）
esin（km）N
N,k=m或k=-m
2
0,
其它
13.已知一个有限长序列x（n）（n）2（n5）
（1）求它的10点离散傅里叶变换X（k）
（2）已知序列y（n）的10点离散傅立叶变换为Y（k）whx（k），求序
列y（n）
（3）已知序列m（n）的10点离散傅立叶变换为M（k）X（k）Y（k），求
序列m（n）
9
（n）2（n5）WF
N1
解；
（1）X（k）x（n）W0
n0
=1+2W15k=1+2e=1+2
（1）k，k0,1,...,9
（2）由Y（k）W"2kX（k）可以知道，y（n）是x（n）向右循环移位2的结果,
y（n）x（n2）（n2）2（n7）
（3）由M（k）X（k）Y（k）可以知道，m（n）是x（n）与y（n）的10点循环卷积。
一种方法是先计算x（n）与y（n）的线性卷积
u（n）x（n）y（n）x（l）y（nl）
l
=001,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4
然后由下式得到10点循环卷积
m（n）u（n10l）R10（n）0,0,5,0,0,0,0,4,0,05（n2）4（n7）
l
另一种方法是先计算y（n）的10点离散傅立叶变换
（2）已知序列：
x（n）
o,其它'’,则x（n）的9点DFT是
X（k）e
sin—k
，k
sin—k
9
0,1,2,...8
正确否？
用演算来证明你的结论。
P345
解:
（1）
X（k）
1
sin
0
jJkn
eN
1N1
2jn0
.2jn
N
jLkn
N
1N1
2jn0
k）n
2
j—（1k）nN
jNkj2,k
.N.J,k
2
0，其它
nknk2k7k
Y（k）y（n）WNn22n7W10W102W10
n0
n0
再计算乘积
M（k）X（k）Y（k）12W15kW12k2W17k
W『
2W10k2W10k4W1102k
5W12k
4WF
由上式得到
m（n）5n24n7
14.
（1）已知序列：
2
x（n）sinn,0nN1,求x（n）的N点DFT
N
（2）X（k）
jLkn
9
1e®k
j_kjk
e3e3
j_k
j?
kSinEk
e9,K0,1,…8
sink
9
可见，题给答案是正确的。
15.—个8点序列x（n）的8点离散傅里叶变换X（k）如图5.29所示。
在x（n）的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y（n）,
即
x-，n为偶数
r2
y（n）'
0，n为奇数
（1）求y（n）的16点离散傅里叶变换Y（k），并画出Y（k）的图形。
（2）N设X（k）的长度N为偶数，且有X（k）X（N1k）,k0,1,...,N1，求x—。
2
2
Xk
解：
（1）因n为奇数时y（n）0，故
nknnk
Y（k）y（n）W〔6x—W16
n0n0,2,...2
7
mk
x（m）W8，
m0
0k15
7
另一方面
x（m）W8mk,0k7
X（k）m0
0,其它
7
因此X（k8）m0X（m）W8m（k8），8k15
0,其它
7
x（m）W8mk,0k15
m0
0,其它
所以
7
Y（k）x（m）W8mk
Y（k）m0
0,
0k15
其它
X（k）,
0k7
X（k8）,
8k15
0,
其它
按照上式可画出Y（k）的图形，如图5.34所示
16.计算下列有限长序列x（n）的DFT假设长度为N。
（1）x（n）an
（2）x（n）1,2,3,1
N1
aWN；
N1
解：
（1）X（k）anW0
n0
1aW,N1aN
1aWN；1aWN；
3
（2）X（k）x（n）W4nk
n0
W402W4k3W2kW43k
12W?
3WkW
（0k3）
12（j）k3
（1）kjk
17.长度为8的有限长序列x（n）的8点DFT为X（k），长度为16的一
个新序列定义为
n0,2,...14
y（n）
n1,3,...,15
0
试用X（k）来表示Y（k）DFTy（n）。
15
解：
Y（k）y（n）W*k
n0
77
2rk
y（2r）W16
y（2r
1W2r1）k
r0
r0
7
x（r）W8rk
r0
（k
0,1,...,15）
而
7nk
X（k）x（n）W8
n0
（k
0,1,...,7）
因此，当k0,1,...,7时，Y（k）X（k）；当k8,9,...,15时，令
kl8（1
0,1,...,7），得到：
丫（1
8）x（r）W8r（l8）x（r）W8rlX（l）
r0r0
即Y（k）
X（k
8）
于是有
『X（k）
k0,1,...,7
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