由对称性知，＝，∴α＋β＝.[11分]
综上所述，α＋β＝或α＋β＝π.[12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．
图象的应用主要有以下几个方面：
①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sinx＝x的实根个数；⑤对称问题等．
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－时，方程只有一解．
1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sinx的作用．
2．三角函数自身综合问题：
要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．
3．三角函数模型应用的解题步骤：
（1）根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
（2）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
（3）利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
（满分：
75分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
A．y＝sinxB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
2．（2011·银川调研）如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
3．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．（2009·辽宁）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象如图所示，f（）＝－，则f（0）等于（ ）
A．－B．－
C.D.
5．（2011·烟台月考）若函数y＝Asin（ωx＋φ）＋m（A>0，ω>0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是（ ）
A．y＝4sinB．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，－π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.
7．（2010·潍坊五校联考）函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后得到g（x）的图象，则g（x）＝______.
8．（2010·福建）已知函数f（x）＝3sin（ω>0）和g（x）＝2cos（2x＋φ）＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f（x）的取值范围是____________．
三、解答题（共38分）
9．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<，x∈R）的图象的一部分如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[－6，－]时，求函数y＝f（x）＋f（x＋2）的最大值与最小值及相应的x的值．
10．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（0,2）．又f（x）的图象关于点N对称且在区间[0，π]上是减函数，求f（x）的解析式．
11．（14分）（2010·山东）已知函数f（x）＝sin（π－ωx）·cosωx＋cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π，
（1）求ω的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的最小值．
答案自主梳理
1. 0 π 2π 2.
（1）左 右 |φ|
（2）伸长 缩短 （3）伸长 缩短 A 3.A ωx＋φ φ
自我检测
1．B 2.D 3.A 4.D 5.B
课堂活动区
例1
解题导引
（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
解
（1）y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.
列表：
X
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
描点连线，得图象如图所示：
（3）将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
变式迁移1 解 y＝·＋sin2x＋·
＝1＋sin2x－cos2x＝1＋sin.
（1）（五点法）设X＝2x－，
则x＝X＋，令X＝0，，π，，2π，
于是五点分别为，，，，，描点连线即可得图象，如下图．
（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为，k∈Z.
（3）把y＝sinx的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin＋1的图象．
例2
解题导引 确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b的解析式的步骤：
（1）求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
（2）求ω.确定函数的周期T，则ω＝.（3）求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
解 由图象可知A＝2，T＝8.
∴ω＝＝＝.
方法一 由图象过点（1,2），
得2sin＝2，
∴sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin.
方法二 ∵点（1,2）对应“五点”中的第二个点．
∴×1＋φ＝，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin.
变式迁移2 解
（1）由题意可得：
A＝2，＝2π，即＝4π，∴ω＝，
f（x）＝2sin，f（0）＝2sinφ＝1，
由|φ|<，∴φ＝.∴f（x）＝2sin（x＋）．
f（x0）＝2sin＝2，
所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋（k∈Z），
又∵x0是最小的正数，∴x0＝.
（2）f（4θ）＝2sin
＝sin2θ＋cos2θ，
∵θ∈，cosθ＝，∴sinθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，
sin2θ＝2sinθcosθ＝，
∴f（4θ）＝×－＝.
例3
解题导引
（1）三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
（2）如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．（3）对于三角函数模型y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中参数的确定有如下结论：
①A＝；②k＝；③ω＝；④φ由特殊点确定．
解
（1）由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cost＋1.
（2）由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cost＋1>1，∴cost>0，
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，
得0≤t<3，或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3 解
（1）t＝0时，E＝220sin＝110（伏）．
（2）T＝＝0.02（秒）．
（3）当100πt＋＝，t＝秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏．
课后练习区
1．C 2.D 3.A 4.C 5.D
6.
7．－sin2x
8.
9．解
（1）由图象知A＝2，
∵T＝＝8，∴ω＝.……………………………………………………………………（2分）
又图象经过点（－1,0），∴2sin（－＋φ）＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴f（x）＝2sin（x＋）．………………………………………………………………………（5分）
（2）y＝f（x）＋f（x＋2）
＝2sin（x＋）＋2sin（x＋＋）
＝2sin（x＋）＝2cosx.……………………………………………………………（8分）
∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－.
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f（x）＋f（x＋2）取得最大值；
当x＝－π，即x＝－4时，y＝f（x）＋f（x＋2）取得最小值－2.………………………（12分）
10．解 根据f（x）是R上的偶函数，图象过点M（0,2），可得f（－x）＝f（x）且A＝2，
则有2sin（－ωx＋φ）＝2sin（ωx＋φ），
即sinωxcosφ＝0，
∴cosφ＝0，即φ＝kπ＋（k∈Z）．
而0≤φ≤π，∴φ＝.………………………………………………………………………（4分）
再由f（x）＝2sin（－ωx＋）＝2cosωx的图象关于点N对称，f（）＝2cos（π）＝0
∴cosπ＝0，……………………………………………………………………………（8分）
即π＝kπ＋（k∈Z），ω＝（k∈Z）．
又0<ω≤2，∴ω＝或ω＝2.……………………………………………………………（10分）
最后根据f（x）在区间[0，π]上是减函数，
可知只有ω＝满足条件．
所以f（x）＝2cosx.………………………………………………………………………（12分）
11．解
（1）f（x）＝sin（π－ωx）cosωx＋cos2ωx
＝sinωxcosωx＋
＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin＋.……………………………………………………………………（6分）
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.………………………………………………（8分）
（2）由
（1）知f（x）＝sin＋，
所以g（x）＝f（2x）
＝sin＋.……………………………………………………………………（10分）
当0≤x≤时，≤4x＋≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g（x）≤，…………………………………………………………………（13分）
所以g（x）在此区间内的最小值为1.…………………………………………………（14分）
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