鲁教版初四九年级上下册数学知识点汇总.docx

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鲁教版初四九年级上下册数学知识点汇总

鲁教版初四知识点

第一章反比例函数

一、反比例函数

1.定义:

普通地,形如y＝k／x（k为常数,k≠0）函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x函数,k是比例系数。

若y=k/nx此时比例系数为:

k/n,如y=2/3x比例系数为2/3

反比例函数定义中需要注意什么？

（1）常数k称为比例系数,k是非零常数；

（2）自变量x次数不是1,x与y积是非零常数；

（3）除k、x、y三项以外,不含其她项。

反比例函数自变量x取值范畴是不等于0一切实数。

2.反比例函数三种体现形式:

（k为常数,k≠0）

（1）y＝k／x

（2）xy=k

（3）y=kx-1（即:

y等于x负一次方,此处x必要为一次方）

2.K几何含义:

反比例函数y＝k／x（k≠0）中比例系数k几何意义,即过双曲线y＝k／x（k≠0）上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。

二、反比例函数图象和性质

1.图像:

反比例函数图像是双曲线,她们关于原点成中心对称。

双曲线只能与坐标轴无限接近,永远不能与坐标轴相交。

由于在y=k/x（k≠0）中,x不能为0,y也不能为0,因此反比例函数图象不也许与x轴相交，也不也许与y轴相交。

2.性质:

当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y值随x值增大而减小；

当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y值随x值增大而增大。

三、用待定系数法求反比例函数关系式普通环节：

1设所求反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k方程⑶解方程求出k值

⑷把k值代入反比例函数y＝k／x中

四、反比例函数应用：

1.建立反比例函数模型2.求出反比例函数解析式3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量取值范畴。

第二章解直角三角形

一、锐角三角函数

在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C对边,∠C为直角。

则定义如下运算方式:

sin∠A=∠A对边长/斜边长，sinA记为∠A正弦；sinA=a/c　　

cos∠A=∠A邻边长/斜边长，cosA记为∠A余弦；cosA=b/c　　

tan∠A=∠A对边长/∠A邻边长，tanA=sinA/cosA=a/btanA记为∠A正切　

1.sin=对/斜cos=邻/斜tan=对/邻2.sinA=cos（90°-A）

cosA=sin（90°-A）

tanA=sinA/cosA

sin²A＋cos²A＝１

3.增减性（A为锐角）

sinA、tanA随着∠A增大而增大,cosA、随着∠A增大而减小

4.取值范畴:

00。

二、30°,45°,60°角三角函数

三角函数

锐角α

正弦sinα

余弦cosα

正切tanα

30°

45°

60°

三.解直角三角形及其应用

1.解直角三角形概念:

在直角三角形六个元素中,除直角外,如果懂得两个元素（其中至少有一种是边）,就可以求出别的三个元素。

在直角三角形中,由已知元素求未知元素过程,叫解直角三角形。

2.解直角三角形根据:

（2）三边之间关系:

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）两锐角之间关系:

∠A＋∠B＝90°

（4）边角之间关系:

sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cot=b/a

3.解直角三角形原则

（1）有角先求角,无角先求边

（2）有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。

这两句话意思是:

当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。

4.解直角三角形应用

（1）把实际问题转化成数学问题,这个转化涉及两个方面:

一是将实际问题图形转化为几何图形,画出对的示意图；二是将已知条件转化为示意图中边、角或它们之间关系；

（2）把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加恰当辅助线,画出直角三角形；

（3）仰角和俯角

在进行观测或测量时，

从下向上看,视线与水平线夹角叫做仰角；

从上往下看,视线与水平线夹角叫做俯角。

第二章二次函数

一.对函数再结识

定义:

普通地,在一种变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范畴内每一种拟定值,y均有惟一拟定值与它相应,那么就说y是x函数。

强调:

对于函数概念理解,重要抓住如下三点

函数不是数,是指在一种变化过程中两个变量之间关系；

自变量每一种拟定值,函数有一种并且只有一种值与之相应；

自变量取值范畴。

函数值定义:

对于自变量在可以取值范畴内一种拟定值函数有惟一拟定相应值,这个相应值叫做当时函数值,简称函数值。

一二次函数及其表达式

1.定义:

咱们把形如y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常数,a≠0）函数叫做二次函数。

ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。

注意:

二次函数二次项系数不能为零。

由于如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!

2.三种表达式:

（1）普通式:

y=ax2+bx+c

（2）顶点式:

y=a（x-h）2+k,对称轴x=h,顶点坐标是（h,k）

（3）交点式：

y=（x-x1）（x-x2）,与x轴两交点坐标为（x1,0）、（x2,0）

3.拟定函数解析式

普通地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a（x-h）2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=（x-x1）（x-x2）；在所给三个条件是任意三点时,可设普通式y=ax2+bx+c,然后构成三元一次方程组来求解。

三、二次函数图像与性质

二次函数图象是抛物线,可用描点法画出二次函数图象,是一种轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a

对于普通式y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常数,a≠0）,当x=-b/2a时,y最大或最小。

即抛物线顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a）

（1）a决定开口方向:

a>0

开口向上；a<0

开口向下

补充:

|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大

当a>0时,开口向上,对称轴左侧（即x<-b/2a时）,y随x增大而减小；对称轴右侧（x≥-b/2a）,y随x增大而增大。

当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；

当a<0时,开口向下,对称轴左侧（即x<-b/2a时）,y随x增大而增大；对称轴右侧（（x≥-b/2a））,y随x增大而减小。

当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a。

（2）a、b共同决定对称轴:

抛物线y=ax2+bx+c对称轴是直线x=-b/2a

a、b同号（即ab>0,则-b/2a<0）

对称轴在y轴左侧

a、b异号（即ab<0,则-b/2a>0）

对称轴在y轴右侧

b=0

对称轴是y轴

（3）c决定抛物线与y轴交点（与y轴交点横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c）:

c>0

与y轴正半轴相交

c<0

与y轴负半轴相交

c=0

通过坐标原点（即x=0时,纵坐标y=c=0）

（4）Δ=b2-4ac拟定抛物线与x轴交点个数（联系一元二次方程）:

b2-4ac>0

与x轴有两个交点

b2-4ac=0

与x轴有一种交点

b2-4ac<0

与x轴无交点

（5）抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+c（a≠0）值永远是正值条件是

a>0且b2-4ac<0（开口向上且与x轴无交点）

（6）抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+c（a≠0）值永远是负值条件是

a<0且b2-4ac<0（开口向下且与x轴无交点）

同样自己可拟定无论x取何值时,函数y=ax2+bx+c（a≠0）值永远是非负数或非正数条件

四、二次函数与一元二次方程

二次函数图像与x轴交点横坐标就是一元二次方程根,反之也成立。

第四章投影与视图 

一、投影：

1.光源 

点光源：

像手电筒、路灯、台灯都可以当作一种点光源。

平行光源：

太阳光可以当作是一种平行光源 

2.概念 

定义：

普通地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到影子叫做物体投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面。

（1）平行投影：

由平行光线（太阳光线是平行光线）形成投影。

（2）中心投影：

由同一点（点光源发出光线）形成投影。

（3）两者区别与联系：

区别：

平行投影平行投射线 物体与原物体全等 

中心投影 从一点出发投射线 放大（位似变换） 

相似：

都是物体在光线照射下，在某个平面内形成影子。

（即都是投影） 

3.投影知识点：

测量同一时刻物体高度和影长时：

1两物体高度之比等于影长之比时，则这两个物体影子是平行投影。

②若两物体高度之比不等于影长之比时，则这两个物体影子是中心投影 

4.投影性质：

①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近物体影子较短，反之则越长。

②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近物体影子较长，反之则越短。

5．易错题整顿：

1）直线平行投影一定是直线（×）因素：

2）矩形投影一定是矩形（×）因素：

3）一种圆在平面上投影一定是圆。

（×）因素：

二．视图：

1.概念：

 用正投影办法绘制物体在投影面上图形，称为物体视图。

2.分类：

视图有：

主视图、左视图、俯视图   

3.正方体重要视图及展开：

正方体展开图有11种：

1）1-4-1型：

6种  ①--⑥ 

2）2-3-1型：

3种  ⑦--⑨     

3）2-2-2型：

1种  ⑩          

4）3-3 型：

1种 ⑪

4.看视图拟定物体有多少正方体构成：

在俯视图中画圈标注，在观测主视图，左视图拟定有几层，每层有几种。

第五章圆

一、圆

1.定义

（1）几何说:

平面上到定点距离等于定长所有点构成图形叫做圆。

其中,定点称为圆心,定长称为半径长（普通也称为半径）。

以点O圆心圆记作⊙O作“圆O

（2）轨迹说:

平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周轨迹称为圆周,简称圆　　

（3）集合说:

到定点距离等于定长点集合叫做圆

连接圆心和圆上任意一点线段叫做半径，用字母r表达。

通过圆心并且两端都在圆上线段叫做直径,用字母d表达。

圆心决定圆位置,半径和直径决定圆大小。

在同一种圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径2倍,半径是直径1/2。

2.点与圆位置关系有三种：

点在圆外、点在圆上、点在圆内

（1）点在圆外，即这个点到圆心距离不不大于半径；

（2）点在圆上，即这个点到圆心距离等于半径；

（3）点在圆内，即这个点到圆心距离不大于半径。

3.圆关于概念

（1）弧和弦:

圆上任意两点间某些叫做圆弧,简称弧。

不不大于半圆弧称为优弧,不大于半圆弧称为劣弧。

连接圆上任意两点线段叫做弦。

圆中最长弦为直径。

（2）圆心角和圆周角:

顶点在圆心上角叫做圆心角。

圆心角度数与它所对弧度数相等。

顶点在圆周上,且它两边分别与圆有另一种交点角叫做圆周角。

（3）弦心距:

过圆心作弦垂线,圆心与垂足之间距离

（4）等弧:

在同圆中可以重叠弧叫等弧

二、圆对称性

1.圆是周对称图形,圆对称轴是任意一条通过圆心直线,它有无数条对称轴。

2.圆也是中心对称图形,它对称中心就是圆心。

一种圆绕着它圆心旋转任意一种角度,都能与本来图形重叠。

这是圆特有一种性质:

圆旋转不变性

3.垂径定理:

垂直于弦直径平分这条弦,并且平分弦所对两条弧

特别注意:

平分弦（不是直径）直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧

垂径定理逆定理:

平分弦所对两条弧直线通过圆心,并且垂直平分弦

垂径定理推论:

圆两条平行弦所夹弧相等

4.在同圆或等圆中,相等圆心角所对弧相等所对弦相等,所对弦弦心距相等

推论:

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所相应别的各组量都分别相等

三、圆周角

1.顶点在圆周上,且它两边分别与圆有另一种交点角叫做圆周角

2.圆周角定理:

同弧（等弧）所对圆周角相等,都等于它所对圆心角一半

3.在同圆或等圆中,相等圆周角所对弧相等

4.半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°圆周角所对弦是直径

四、拟定圆条件

1.三点定圆

（1）通过两点A、B圆圆心在线段AB垂直平分线上

（2）通过三点A、B、C圆圆心应当这两条垂直平分线交点O位置

（3）定理:

不在一条直线上三个点拟定一种圆（三点定圆）

4.三角形与圆位置关系

（1）三角形三个顶点拟定一种圆,这圆叫做三角形外接圆，这个三角形叫做圆内接三角形。

外接圆圆心是三角形三边垂直平分线交点,叫做三角形外心

（2）锐角三角形外心位于三角形内,直角三角形外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形外心位于三角形外

5.四边形与圆位置关系

（1）如果四边形四个顶点在一种圆,这圆叫做四边形外接圆，这个四边形叫做圆内接四边形。

（2）重要性质:

圆内接四边形对角互补；

圆内接四边形对一种外角等于它内对角；

对角互补四边形内接于圆。

五、直线和圆位置关系

1.三种位置关系

（1）直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。

这时直线叫做圆割线；

（2）直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。

这时直线叫做圆切线，唯一公共点叫做切点；

（3）直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

直线和圆位置关系是用直线和圆公共点个数来定义,即直线与圆没有公共点、只有一种公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

2.用圆心到直线距离和圆半径数量关系来揭示圆和直线位置关系

（1）回忆:

直线外一点到这条直线垂线段长度叫点到直线距离；连结直线外一点与直线所

有点线段中,最短是垂线段

（2）设⊙O圆心O到直线l距离为d,⊙O半径为r,则

直线l和⊙O相离

d>r

直线l和⊙O相切

d=r

直线l和⊙O相交

d

通过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线

3.切线定理:

圆切线垂直于过切点半径

4.切线长定理

（1）切线长:

在通过圆外一点圆切线上,这点和切点间线段长,叫做切线长

（2）切线长定理:

从圆外一点引圆两条切线,它们切线长相等,圆心和这一点连线平分两条切线夹角。

5.内切圆和内心定义:

与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心是三角形三条角平分线交点,叫做三角形内心

六、圆和圆位置关系

1.圆心距:

两圆圆心之间距离叫做圆心距

2.连心线:

通过两圆圆心直线叫做连心线

3.圆和圆位置关系（设圆心距为d,R和r分别为两圆半径且R≥r）:

（1）外离

d>R+r,公共点0（两个圆没有公共点,并且每个圆上点都在另一种圆外部）

（2）外切

d=R+r,公共点1（两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上点都在另一种圆外部）

（3）相交

R-r

（4）内切

d=R-r公共点1（两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上点都在另一种圆内部）

（5）内含

d

注:

两圆同心是两圆内含一种特例；

当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切（涉及外切和内切）。

4.性质

（1）相切两圆性质:

如果两圆相切,切点一定在连心线上；

（2）相交两圆性质:

相交两圆连心线垂直平分公共弦；

证明:

通过相交两圆一种交点,作两圆公共弦垂线,则这条直线上被两圆所截得线段等于圆心距2倍。

在解决相交两圆问题时,注意其公共弦和连心线作用是探求思路重要手段。

七、弧长与扇形面积

1.把圆周等提成360份,每一份弧叫做1°弧；1°弧所对圆心角叫做1°角。

2.在半径为R圆中,n°圆心角所对弧长计算公式为:

l=nπR/180=nR

3.如果扇形半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积计算公式为:

S扇形=nπR2/360=n·nR/2=1/2lR

4.比较扇形面积（S）公式和弧长（l）公式,用弧长来表达扇形面积S=1/2lR

八、圆锥侧面积

1.概念:

圆锥可以当作是直角三角形以它一条直角边所在直线为轴,别的各边旋转一周而成面所围成几何体。

斜边旋转而成曲面叫做圆锥侧面。

无论转到什么位置,这条斜边都叫做圆锥母线。

另一条直角边旋转而成面叫做圆锥底面。

圆锥有一种顶点和一种底面,底面是一种圆。

连结圆锥顶点和底面圆心线段和圆锥底面垂直,这条线段叫做圆锥高线。

2.圆锥基本特性:

（1）圆锥高通过底面圆心,并且垂直于底面；

（2）圆锥母线长都相等；

（3）通过圆锥高平面被圆锥截得图形是等腰三角形；

（4）圆锥侧面展开图是半径等于母线长、弧长等于圆锥底面周长扇形。

3.圆锥体展开图由一种扇形（圆锥侧面）和一种圆（圆锥底面）构成。

此扇形半径R是圆锥母线,扇形弧长是圆锥底面圆周长

一种圆锥体积等于与它等底等高圆柱体积1/3

4.圆锥侧面积=1/2×母线长×圆锥底面周长=π×圆锥底面半径×母线长即πrl

5.高（h）,底半径（r）,母线（l）之间关系:

h2+r2=l2（勾股定理得出）

6.圆锥全面积:

圆锥侧面积与底面积和叫做圆锥全面积（或表面积）

第六章对概率进一步结识

一、列表法求概率    

1、列表法：

用列出表格办法来分析和求解某些事件概率办法叫做列表法。

2、列表法应用场合：

当一次实验要设计两个因素，并且也许浮现成果数目较多时，为不重不漏地列出所有也许成果，普通采用列表法。

二、树状图法求概率     

1、树状图法：

就是通过列树状图列出某事件所有也许成果，求出其概率办法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率条件：

当一次实验要设计三个或更多因素时，用列表法就不以便了，为了不重不漏地列出所有也许成果，普通采用树状图法求概率。

三、运用频率预计概率 

1、运用频率预计概率：

在同样条件下，做大量重复实验，运用一种随机事件发生频率逐渐稳定到某个常数，可以预计这个事件发生概率。

2、模仿实验：

在记录学中，惯用较为简朴实验办法代替实际操作中复杂实验来完毕概率预计，这样实验称为模仿实验。

3、随机数：

在随机事件中，需要用大量重复实验产生一串随机数据来开展记录工作。

把这些随机产生数据称为随机数。

四、用频率预计概率

1.概率：

一种事件发生也许性大小可以用一种数来表达,咱们把这个数叫做这个事件发生概率,普通用P（事件）表达。

事件A发生概率也记为P（A）,事件B发生概率记为P（B）,依此类推

2.三种事件概率:

必然事件发生概率为1（或100%）,记作P（必然事件）=1;

不也许事件发生概率为0,记作P（不也许事件）=0

随机事件（不拟定事件）发生概率介于0到1之间,即0

如果A为随机事件（不拟定事件）,那么0

3.用频率预计概率

当实验次数很大时,一种事件发生频率也稳定在相应概率附近。

因而,咱们可以通过多次实验,用一种事件发生频率来预计这一事件发生概率。

二、用列举法计算概率

用列举法求概率条件:

（1）实验所有成果是有限个（n）；

（2）各种成果也许性相等。

普通地,如果在一次实验中,有n种也许成果,并且它们发生也许性都相等,事件A包括其中m种成果,那么事件A发生概率为P（A）=m/n。