高中诱导公式大全.docx
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高中诱导公式大全
高中数学诱导公式大全
概述诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数。
诱导公式
★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组:
公式一:
公式二:
间的关系:
公式三:
cos（—a）=cosa
cot（—a）=—cot
公式四：
的关系：
sin（n—a）=sina
tan（n—a）=—tana
cot（n—a）=—cota
公式五：
间的关系：
cos
（n/2+a）=
二一sina
tan
（n/2+a）=
=—cota
cot
（n/2+a）=
=—tana
sin
（n/2—a）=
=cosa
cos
（n/2—a）=
二sina
tan
（n/2—a）=
=cota
cot
（n/2—a）=
二tana
sin
（3n/2+a）
=—cosa
cos
（3n/2+a）
=sina
tan
（3n/2+a）
=—cota
cot
（3n/2+a）
=—tana
sin
（3n/2—a）
=—cosa
cos
（3n/2—a）
=—sina
tan
（3n/2—a）
=cota
cot
（3n/2—a）
=tana
注意：
在做题时，将a
看成锐角来做会比较好做。
（以上k€Z）
诱导公式记忆口诀
※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为:
对于n/2*k士a（k€Z）的三角函数值,
①当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变;
STsin;tan宀cot,cotfan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如:
ina。
a是锐角时，2n—a€（270°,360°）,sin（2n—a
<0,符号为“—”。
所以sin（2n—a）=—sina
上述的记忆口诀是:
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把a视为锐角时，角k・360°+a（k€Z）,
a、180°士a,360-a
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀
“一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割）”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；
第三象限内切函数是“+”，弦函数是“一”
第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”
上述记忆口诀，一全正，二正弦,三内切，四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负:
正弦
余弦
正切
余切
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
商的关系:
sina/cosa=tana=seca/csca
cosa/sina=COta=CSCa/seCa
平方关系:
sin八2（a）+cos八2（a）=1
1+tan八2（a）=sec八2（a）
1+cot八2（a）=CSC八2（a）
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：
（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边
形为模型。
（1）倒数关系：
对角线上两个函数互为倒数;
（2）商数关系：
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻
的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得
商数关系式。
（3）平方关系：
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上
的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
cos（a—3）=cosaCOS3+sinasin3
tan（a+（3）=（tana+tan（3）/（1-tanatan（3）
tan（a—3）=（tana—tan3）/（1+tana・tan3）
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕缩角公式）
sin2a=2sinacosa
cos2a=cos八2（a）—sin八2（a）=2cos八2（a）—1=1—2sin
八2（a
tan2a=2tana/[1—tan八2（a）]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幕扩角公式）
sin八2（a/2）=（1—cosa）/2
cos八2（a/2）=（1+cosa）/2
tan八2（a/2）=（1—cosa）/（1+cosa）
另也有tan（a/2）=（1—cosa）/sina=sina/（1+cosa）
万能公式
万能公式
sina=2tan（a/2）/[1+tan八2（a/2）]
cosa=[1-tan八2（a/2）]/[1+tan八2（a/2）]
tana=2tan（a/2）/[1-tan八2（a/2）]
万能公式推导
附推导:
sin2a=2sinacosa=2sinacosa/（cos八2（a）+sin八2
（a
（因为cos八2（a）+sin八2（a）=1）
再把*分式上下同除cos八2（a）,可得sin2a=2tana/（1+tan八2（a））
然后用a/2代替a即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比
余弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3a=3sina—4sin八3（a）
cos3a=4cos八3（a）—3COSa
a）]
-sin2asin
tan3a=[3tana—tan八3（a）]/[1—3tan八2（
三倍角公式推导
附推导：
tan3a=sin3a/cos3a
=（sin2acosa+cos2asina）/（cos2acosa
ot
-3tan八2（a））
3（a）—cosasin八2（a）—2sin八2（a）cos
上下同除以COS八3（a），得:
tan3a=（3tana—tan八3（a））/（1
Sin3a=Sin（2a+a）=Sin2aCOSa+COS2aSina
=2sinaCOS八2（a）+（1—2sin八2（a））sina
=2sina—2sin八3（a）+sina—2sin八3（a）
=3sina—4sin八3（a）
cos3a=C0S（2a+a）=C0S2aCOSa—Sin2aSina
=（2cOS八2（a）—1）COSa—2cOSasin八2（a
=2COS八3（a）—COSa+（2cOSa—2cOS^3（a））
=4COS八3（a）—3COSa
sin3a=3sina—4sin八3（a）
COS3a=4cos八3（a）—3cOSa
三倍角公式联想记忆
要“挣钱”（音似
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
★另外的记忆方法:
正弦三倍角:
山无司令（谐音为三无四立）三指的是"3倍
"Sina,无指的是减号,四指的是"4倍",立指的是Sina立方
余弦三倍角:
司令无山与上同理
和差化积公式
积化和差公式
三角函数的积化和差公式
sina
-cos3=[cos（a+3）+cos（a—3）]
-sin3=—[cos（a+3）—cos（a—3）]
和差化积公式推导
附推导:
首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb
所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-
b））/2
同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
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