高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理.docx

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理.docx

《高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-7正弦定理和余弦定理学案理

考纲展示►　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．

考点1　利用正、余弦定理解三角形

正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

＝________＝

________＝2R

a2＝____________；

b2＝____________；

c2＝____________

续表

定理

正弦定理

余弦定理

常见

变形

（1）a＝2RsinA，

b＝____________，

c＝____________；

（2）sinA＝

，sinB＝________，sinC＝

；

（3）a∶b∶c＝________；

（4）asinB＝bsinA①，

bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

cosA＝__________；

cosB＝__________；

cosC＝__________

答案：

　　b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB　a2＋b2－2abcosC　2RsinB　2RsinC　　

sinA∶sinB∶sinC　　

（1）[教材习题改编]在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠A＋∠C＝（　　）

A．90°B．120°

C．135°D．150°

答案：

B

（2）[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝75°，c＝20，则a＝________.

答案：

10

解三角形的一般类型：

已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边．

（1）在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝30°，则c＝________.

答案：

解析：

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋

（2）2－2×5×2cos30°＝7，所以c＝.

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sinA＝，b＝，则a＝________.

答案：

解析：

由正弦定理＝，得a＝＝.

（3）在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶4∶3，则cosC＝________.

答案：

解析：

设a＝2k，b＝4k，c＝3k（k>0），

则cosC＝＝.

[典题1]　[2017·山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．

[解]　

（1）∵bsinA＝acosB，

由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.

在△ABC中，sinA≠0，

即得tanB＝，∴B＝.

（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

即9＝a2＋4a2－2a·2acos，

解得a＝，∴c＝2a＝2.

[点石成金]　1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

2．三角形解的个数的判断：

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A－B）的值．

解：

（1）由余弦定理，得

cosB＝＝＝，

即a2＋c2－4＝ac.

∴（a＋c）2－2ac－4＝ac，∴ac＝9.

由得a＝c＝3.

（2）在△ABC中，cosB＝，

∴sinB＝＝＝.

由正弦定理，得＝，

∴sinA＝＝＝.

又A＝C，∴0＜A＜，

∴cosA＝＝，

∴sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB

＝×－×＝.

考点2　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

三角形中的角的关系判断误区：

角的大小比较的误区；角的个数的误区．

（1）在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系是________．

答案：

A>B

解析：

由正弦定理，得sinA＝，sinB＝.

若sinA>sinB，则>，即a>b，故A>B.

（2）在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．

答案：

45°

解析：

由正弦定理，有＝，则sinB＝＝＝.又a>b，所以A>B，故B＝45°.

注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况．

判断三角形的形状．

利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：

（1）把角的条件转化为边，通过边的关系判断；

（2）把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断．

[典题2]　

（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

[答案]　A

[解析]由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得

a2＋b2－c2＝－ab，

所以cosC＝＝＝－＜0，

所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

[答案]　B

[解析]　依据题设条件的特点，由正弦定理，

得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，

有sin（B＋C）＝sin2A，

∵A∈（0，π），∴sinA≠0.

从而sin（B＋C）＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，

∴A＝，故选B.

[题点发散1]　若将本例条件改为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

答案：

B

解析：

解法一：

由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，因为－π

解法二：

由正弦定理，得2acosB＝c，再由余弦定理得

2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.

[题点发散2]　若将本例条件改为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，确定△ABC的形状．

解：

解法一：

利用边的关系来判断：

由正弦定理，得＝，

由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝＝.

又由余弦定理，得cosA＝，

∴＝，

即c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.

又∵a2＋b2－c2＝ab.

∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2，

∴b＝c，∴a＝b＝c.

∴△ABC为等边三角形．

解法二：

利用角的关系来判断：

∵A＋B＋C＝180°，

∴sinC＝sin（A＋B），

又∵2cosAsinB＝sinC，

∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin（A－B）＝0.

又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，

又由a2＋b2－c2＝ab，

由余弦定理，得cosC＝＝＝，

又0°

∴△ABC为等边三角形．

[题点发散3]　若将本例条件改为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC（　　）

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

答案：

C

解析：

在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，

∴a∶b∶c＝5∶11∶13，

故设a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>0），

由余弦定理可得

cosC＝＝＝－<0，

又∵C∈（0，π），∴C∈，

∴△ABC为钝角三角形．

[题点发散4]　若将本例条件改为“（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B）”，试判断三角形的形状．

解：

∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），

∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，

∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，

即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

解法一：

由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，

∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，

又sinA·sinB≠0，

∴sinAcosA＝sinBcosB，

∴sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，

∴2A＝2B或2A＝π－2B，

∴A＝B或A＋B＝.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

解法二：

由正弦定理、余弦定理，得

a2b＝b2a，

∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），

∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，

∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.

即a＝b或a2＋b2＝c2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

[题点发散5]　若将本例条件改为：

“2asinA＝（2b＋c）·sinB＋（2c＋b）sinC，且sinB＋sinC＝1”，试判断△ABC的形状．

解：

由已知，根据正弦定理，得

2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，

即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－，sinA＝，

则sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.

解得sinB＝sinC＝.

故B＝C＝，

所以△ABC是等腰钝角三角形．

[点石成金]　1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

2．判断三角形形状主要有以下两种途径：

（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；

（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

答案：

A

解析：

依题意得

sinC

所以sin（A＋B）

即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，

所以cosBsinA<0.

又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．

考点3　与三角形面积有关的问题

三角形中常用的面积公式

（1）S＝ah（h表示边a上的高）；

（2）S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．

[教材习题改编]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，S△ABC＝，则角C的值为________．

答案：

60°或120°

解析：

由S△ABC＝absinC＝×2×3sinC＝，得sinC＝，因为C为三角形ABC的内角，所以C＝60°或C＝120°.

三角形面积公式．

利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：

S＝2R2sinAsinBsinC，

S＝.

[典题3]　[2017·河北衡水模拟]如图，在△ABC中，sin∠ABC＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝.

（1）求BC的长；

（2）求△DBC的面积．

[解]　

（1）因为sin∠ABC＝，

所以cos∠ABC＝1－2×＝.

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，

则由余弦定理可得，9b2＝a2＋4－a，①

在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得，

cos∠ADB＝，cos∠BDC

＝.

因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，

所以有＝－，

所以3b2－a2＝－6.②

由①②可得，a＝3，b＝1，即BC＝3.

（2）由

（1）得△ABC的面积为

S＝×2×3×＝2，所以△DBC的面积为.

[点石成金]　三角形面积公式的应用原则

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

[2017·湖北武汉质量预测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0,2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为.

（1）求角A和角B的大小；

（2）求△ABC的面积．

解：

（1）由a2－b2－c2＋bc＝0，得

b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝，∴A＝，

由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝.

（2）设AC＝BC＝x，由余弦定理，

得AM2＝x2＋－2x··

＝（）2，

解得x＝2，故S△ABC＝×2×2×＝2.

真题演练集训

1．[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）

A．5B.

C．2D．1

答案：

B

解析：

由题意可得AB·BC·sinB＝，

又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，

所以B＝45°或B＝135°.

当B＝45°时，由余弦定理可得

AC＝＝1，

此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.

由余弦定理可得

AC＝＝.

2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．

答案：

解析：

∵＝＝＝2R，a＝2，又（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC可化为（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.

∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.

∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc（当且仅当b＝c时等号成立），

∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.

3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

答案：

解析：

解法一：

因为cosA＝，cosC＝，

所以sinA＝，sinC＝，

从而sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC

＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得b＝＝.

解法二：

因为cosA＝，cosC＝，

所以sinA＝，sinC＝，

从而cosB＝－cos（A＋C）＝－cosAcosC＋sinAsinC＝－×＋×＝.

由正弦定理＝，得c＝＝.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝.

解法三：

因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，

由正弦定理＝，得c＝＝.

从而b＝acosC＋ccosA＝.

解法四：

如图，作BD⊥AC于点D，

由cosC＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝.

又cosA＝，所以tanA＝，从而AD＝.

故b＝AD＋DC＝.

4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解：

（1）由已知及正弦定理，得

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC，C∈（0，π）．

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7，

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.

所以△ABC的周长为5＋.

课外拓展阅读

转化与化归思想在解三角形中的应用

[典例]　[2016·新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[审题视角]　

（1）利用正弦定理进行边角互化求解；

（2）利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．

[解]　

（1）由已知及正弦定理得，

①

2cosCsin（A＋B）＝sinC．故2sinCcosC＝sinC.

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，得absinC＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.

故②

所以△ABC的周长为5＋.

满分心得

1．

（1）题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．

（2）题中②处不能结合余弦定理将（a＋b）视为整体进行求解而走入误区．

2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．