勾股定理培优专项练习.docx

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勾股定理培优专项练习

勾股定理练习（依照对称求最小值）

大体模型：

已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

一、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

二、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，

使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，知足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则现在AM+NB=（　　）

A．6B．8C．10D．12

4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．

（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；

（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出那个最小值

五、如图，在梯形ABCD中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3，CD=2，

M为BC上一动点，则△AMD周长的最小值为．

六、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为．

7、如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R别离是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则那个最小值为（）

A．2B．2C．3D．

九、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm

10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.

几何体展开求最短路径

一、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高别离为20dm，3dm，2dm，A和B是那个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？

二、如图：

一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔围绕一周半抵达顶端，问登梯至少多长？

（建议：

拿一张白纸动手操作，你必然会发觉其中的奥妙）

4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点A动身，沿长方体的表面爬到对角极点C1处（三条棱长如图所示），问如何走线路最短？

最短线路长为多少？

五、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，现在一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

折叠问题

一、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

二、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点

A′处；

（1）求证：

B'E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a、b、c之间的一种关系，并给予证明

3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，

使点B与点A重合，折痕为DE，则CD=。

4、如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知CD=6cm，CD'=2cm，则AD的长为.

五、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）

A、5B、5－5C、10－5D、5+

六、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，求重合部份△EBD的面积。

弦图有关问题

一、如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积别离为5和11，则b的面积为（　　）

A、4B、6C、16D、55

二、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若是大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）

A、13B、19C、25D、169

3、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）

A、S1+S2>S3B、S1+S2

4、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积别离为52和4，则直角三角形的两条直角边的长别离为。

五、已知：

如图，以Rt△ABC的三边为斜边别离向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部份的面积为．

六、如图，Rt△ABC的周长为（5+3）cm，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25cm2，则△ABC的面积是cm2.

7、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积别离是一、二、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=．

八、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图转变取得，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积别离为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝10，则S2的值是。

9、如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的极点在彼此平行的三条直线

l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,求AC的长。

勾股定理的证明

一、将直角边长别离为a、b，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为c的正方形，请利用该图形证明勾股定理。

二、将直角边长别离为a、b，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为a+b的正方形，请利用该图形证明勾股定理。

3、以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。

4、已知,如图所示,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合）,

以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.

（1）求证:

①ΔBCG≌ΔDCE②HB⊥DE

（2）试问当G点运动到什么位置时,BH垂直平分DE?

请说明理由.

勾股定理中考典型题目练习

一、（2014•山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）

剪掉一角，取得如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从极点A爬行到极点B的最

短距离为cm．

二、（2014•山东潍坊）我国古代有如此一道数学问题：

“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？

，题意是：

如图所示，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其结尾恰好抵达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．

3、（2014•乐山）如图，△ABC的极点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（　　）

A．B．C．D．

4、（2014•湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．4dmB．2dmC．2dmD．4dm

五、（2014•黑龙江牡丹江）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于cm．

六、（2014•安徽省）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为。

7、（2014年山东泰安）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处如图③，则折痕DE的长。

八、（2013山东菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积别离

为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）

A．16　　B．17　　C．18　　D．19

九、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC

中点，若动点E以1cm/s的速度从A点动身，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时刻为

t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

A．2B．或3.5C．或D．2或或

10．（2013湖北省鄂州市）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，

点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，知足

MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则现在AM+NB=（　　）

A．6B．8C．10D．2

1一、（2013湖北省鄂州市，）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕极点O逆

时针旋转到△A'OB'处，现在线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为　　．

1二、（2012四川省南充市）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形

ABCD的面积是24cm2，则AC长是cm.

13、（2011重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为

2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当

AE＝米时,有DC2＝AE2＋BC2.

14、（2011内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.

则BD的长为（）

A.B.C.3D.2

1五、（2011贵州遵义）如图，由四个边长为1的小正方形组成一个大正方形，连接小正方形的三个顶

点，可取得△ABC，则△ABC中BC边上的高是。

1六、（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．

17、（2010浙江省温州）勾股定理有着悠长