七年级数学竞赛讲座第十五讲 奇数与偶数.docx
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七年级数学竞赛讲座第十五讲奇数与偶数
第十五讲奇数与偶数
通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，„是奇数，0，±2，±4，±6，„是偶数．
用整除的术语来说就是：
能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1（或2k－1）的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．
奇数和偶数有以下基本性质：
性质1奇数≠偶数．
性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意无限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
性质7如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．
性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.
性质1至性质6的证明是很简易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．
同理两个整数的和（或差）是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．
性质8的证明设两个整数为X，y．因为
（x+y）+（x－y）=2x
为偶数，由性质7便知，x+y与x－y同奇偶．
性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是
x2=（2k+1）2=4k3+4k+1=4k（k+1）+1．
因为k与k+1是两个持续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．
若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是
y2=（2t）2=4t2
所以，y是4的倍数．
例1在1，2，3，„，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“－”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？
解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同
1+2+3+„+1998=999×1999
的奇偶性是相同的，即为奇数．
例2设1，2，3，„，9的任一排列为a
1，a
2，„，a
9.求证：
（a
1－1）（a
2－2）„（a
9－9）是一个偶数．
证法1因为
（a
1－1）+（a
2－2）+（a
3－3）+„+（a
9－9）
＝（a
1+a
2+„+a
9）－（1+2+„+9）
=0
是偶数，所以，（a
1－1），（a
2－2），„，（a
9－9）这9个数中必定有一个是偶数（否则，便得奇数个（9个）奇数的和为偶数，与性质4矛盾），从而由性质5知
（a
1－1）（a
2－2）„（a
9－9）
是偶数．
证法2由于1，2，„，9中只有4个偶数，所以a
1，a
3，a
5，a
7，a
9中至少有一个是奇数，于是，a
1－1，a
3－3，a
5－5，a
7－7，a
9－9至少有一个是偶数，从而（a
1－1）（a
2－2）„（a
9－9）是偶数．
例3有n个数x
1，x
2，„，x
n，它们中的每一个数或者为1，或者为－1．如果2
x
1x
2+x
2x
3+„+x
n－1x
n+x
nx
1=0，
求证：
n是4的倍数．
证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．
由于x
1，x
2，„，x
n。
的绝对值都是1，所以，x
1x
2，x
2x
3，„，x
nx
1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为－1．设其中有k个－1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．下面我们来考虑（x
1x
2）·（x
2x
3）„（x
nx
1）．一方面，有（x
1x
2）·（x
2x
3）„（x
nx
1）＝（－1）k，另一方面，有
（x
1x
2）·（x
2x
3）„（x
nx
1）=（x
1x
2„x
n）
2=1．
所以（－1）k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．
例4设a，b是自然数，且满足关系式
（11111+a）（11111－b）=123456789．
求证：
a－b是4的倍数．
证由已知条件可得11111+a与11111－b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件
11111（a－b）=ab+2468，①
ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×（a－b）是4的倍数，故a－b是4的倍数.
例5某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：
不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
证我们证明每一个学生的得分都是偶数．
设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40－a－b道题没有答．于是此人的得分是
5a+（40－a－b）－b=4a－2b+40，
这是一个偶数．
所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
例6证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.证将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色（如图1－62）．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．
练习十五
1．设有101个自然数，记为a
1，a
2，„，a
101．已知a
1+2a
2+3a
3+„+100a
100+101a
101=s是偶数，求证：
a
1+a
3+a
5+„+a
9９+a
101是偶数．
2．设x
1，x
2，„，x
1998都是+1或者－1．求证：
x
1+2x
2+3x
3+„+1998x
1998≠0．
3．设x
1，x
2，„，x
n（n＞4）为1或－1，并且
x
1x
2x
3x
4+x
2x
3x
4x
5+„+x
nx
1x
2x
3=0．
求证：
n是4的倍数．
4．
（1）任意重排某一自然数的所有数字，求证：
所得数与原数之和不等于99„9（共n个9，n是奇数）；
（2）重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：
如果这个和等于10
10，那么原数能被10整除．
5．
（1）有n个整数，其和为零，其积为n．求证：
n是4的倍数；
（2）设n是4的倍数，求证：
可以找到n个整数，其积为n，其和为零．
6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子（杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下），问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？
7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，„，两个5之间夹着5个数？
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