通信原理教程习题答案第四版docx.docx
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《通信原理》习题第一章
第一章习题
习题1.1
在英文字母中E出现的概率最大，等于
0.105，试求其信息量。
解：
E的信息量：
1
log2PE
log2PE
log20.1053.25b
IE
习题1.2某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
IA
log2
1
log2
P（A）
log2
1
2b
P（A）
4
3
3
5
IB
log216
2.415b
IC
log216
2.415bID
log216
1.678b
习题1.3某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组
00，01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在
下列条件下的平均信息速率。
（1）这四个符号等概率出现；
（2）这四个符号出现概率如习题
1.2所示。
解：
（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。
传送字母的符号速率为
RB
1
100Bd
5
103
2
等概时的平均信息速率为
Rb
RBlog2M
RBlog24
200bs
（2）平均信息量为
H
1log24
1log24
3log
2
16
5log2
16
1.977比特符号
4
4
16
3
16
5
则平均信息速率为
RbRBH
100
1.977197.7
bs
习题1.4试问上题中的码元速率是多少？
1
1
200Bd
解：
RB
5*103
TB
习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均
为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：
该信息源的熵为
1
《通信原理》习题第一章
M
64
P（xi）16*1log232
48*1log296
H（X）
P（xi）log2P（xi）
P（xi）log2
i1
i1
32
96
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率RbmH1000*5.795790b/s。
习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125us。
试求码元速率和信息速率。
1
1
8000Bd
解：
RB
125*106
TB
等概时，Rb
RBlog2M8000*log2416kb/s
习题1.7设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：
V4kTRB4*1.38*1023*23*600*6*1064.57*1012V
习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80m，试求其最远的通信距离。
解：
由D28rh，得D8rh8*6.37*106*8063849km
习题1.9设英文字母E出现的概率为0.105，x出现的概率为0.002。
试求E
和x的信息量。
解：
p（E）
0.105
p（x）
0.002
I（E）
log2PE
log20.105
3.25bit
I（x）
log2P（x）
log20.002
8.97bit
习题1.10信息源的符号集由A，B，C，D和E组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。
试求该信息源符号的平均信息量。
解：
H
p（xi）log2p（xi）
1log2
1
1log2
1
log2
1
5log2
5
2.23bit/符号
4
4
8
8
8
16
16
习题1.11设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8,1/8,1/2传送，每一消息的出现是相互独立的。
试计算其平均信息量。
2
《通信原理》习题第一章
解：
H
p（xi）log2p（xi）
1log2
1
1log21
1log21
1log2
1
1.75bit/符号
4
4
8
8
8
8
2
2
习题1.12一个由字母A，B，C，D
组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00
代替A，01代替B，10
代替C，11
代替D。
每个脉冲宽度为5ms。
（1）不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。
（2）若每个字母出现的概率为
pB
1
pC
1
pD
3
试计算传输的平均
4,
4,
10,
信息速率。
解：
首先计算平均信息量。
（1）
P（xi）log2
p（xi）
1
1
H
4*（
4）*log2
4
2bit/字母
平均信息速率=2（bit/字母）/（2*5ms/字母）=200bit/s
（2）
P（xi）log2p（xi）
1
1
1
1
1
1
3
3
字母
H
5
log25
4
log2
4
4
log2
4
10
log2
10
1.985bit/
平均信息速率=1.985（bit/字母）/（2*5ms/字母）=198.5bit/s
习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电
流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1）计算点和划的信息量；
（2）计算点和划的平均信息量。
解：
令点出现的概率为P（A）,划出现的频率为P（B）
P（A）+P（B）=1,
1P（A）
P（B）
P（A）
34P（B）14
3
（1）
I（A）
log2
p（A）
0.415bit
I（B）
log2
p（B）
2bit
（2）
H
p（xi
）log2p（xi）
3log2
3
1log2
1
0.811bit/符号
4
4
4
4
习题1.14设一信息源的输出由128
个不同符号组成。
其中
16个出现的概率为
1/32，其余112个出现的概率为1/224。
信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
3
《通信原理》习题第一章
解：
H
p（xi）log2p（xi）16*（
1）112*（
1）log2
1
6.4bit/符号
32
224
224
平均信息速率为6.4*1000=6400bit/s
。
习题1.15对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率RB等于多少？
若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率Rb等于多少？
解：
RB300BRb300bit/s
习题1.16若题1.12中信息源以1000B速率传送信息，则传送1小时的信息量为多少？
传送1小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送1小时的信息量2.23*1000*36008.028Mbit传送1小时可能达到的最大信息量
Hmax
log2
1
2.32bit/符
先求出最大的熵：
5
号
则传送
1小时可能达到的最大信息量
2.32*1000*36008.352Mbit
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为
0.5ms，求RB和Rb；有四进信号，
码元宽度为0.5ms，求传码率
RB和独立等概时的传信率Rb
。
1
2000B,Rb2000bit/s
RB
3
解：
二进独立等概信号：
0.5*10
RB
1
2000B,Rb
2*2000
4000bit/s
0.5*103
四进独立等概信号：
。
小结：
记住各个量的单位：
信息量：
bit
I
log2p（x）
信源符号的平均信息量（熵）：
bit/符号
I
p（xi）log2p（x）
平均信息速率：
bit/s
（bit/符号）/（s/符号）
传码率：
RB（B）
传信率：
Rbbit/s
4
《通信原理》习题第一章
第二章习题
习题2.1设随机过程X（t）可以表示成：
X（t）2cos（2t）,t
式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：
P（=0）=0.5，P（=/2）=0.5试求E[X（t）]和RX（0,1）。
解：
E[X（t）]=P（=0）2cos（2t）+P（=/2）2cos（2t）=cos（2t）sin2t
2
cost
习题2.2
设一个随机过程
X（t）可以表示成：
X（t）
2cos（2t）,
t
判断它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
为功率信号。
RX（）
limT
1
TT/2/2X（t）X（t）dt
T
limT
1
T/2
2cos（2t
）*2cos
2（t）
dt
T
T/2
2cos（2
）
ej
2
t
ej2
t
P（f）
RX（）ej2
fd
（ej2t
ej2t）ej2fd
（f
1）
（f
1）
习题2.3
设有一信号可表示为：
4exp（
t）,t0
X（t）{
t<0
0,
试问它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
它是能量信号。
X（t）的傅立叶变换为：
X（）
x（t）ejtdt
04etejtdt40
e（1j）tdt
4
1
j
2
16
则能量谱密度
G（f）=
2
4
X（f）=
j
142f2
1
习题2.4X（t）=x1cos2tx2
sin2
t，它是一个随机过程，其中
x1和x2是相互统
计独立的高斯随机变量，数学期望均为
0，方差均为
2。
试求：
（1）E[X（t）]，E[X2（t）]；
（2）X（t）
的概率分布密度；（3）RX（t1,t2）
解：
（1）EXtEx1cos2t
x2sin2t
cos2t
Ex1sin2t
Ex20
PX（f）因为x1和x2相互独立，所以Ex1x2
Ex1Ex2
。
5
《通信原理》习题第一章
又因为Ex1
Ex2
0，2
Ex12
E2
x1，所以Ex12
Ex22
2。
故
EX2t
cos22t
sin22
t
2
2
（2）因为x1和x2服从高斯分布，
Xt是x1和x2的线性组合，所以X
t也服从高斯分
布，其概率分布函数
px
1
exp
z2
。
2
2
2
（3）RX
t1,t2
E
Xt1
Xt2
E（x1cos2t1
x2sin2t1）x1cos2t2
x2sin2t2
2
cos2
t1cos2
t2sin2
t1sin2t2
2cos2
t2t1
习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
（1）fcos22f；
（2）afa；（3）expaf2
解：
根据功率谱密度P（f）的性质：
①P（f）0，非负性；②P（-f）=P（f），偶函数。
可以判断
（1）和（3）满足功率谱密度的条件，
（2）不满足。
习题2.6试求X（t）=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：
R（t，t+
）=E[X（t）X（t+
）]=E
Acos
t*Acos（t）
1A2Ecos
cos（2t
）
A2
cos
R（）
2
2
功率P=R（0）=
A2
2
习题2.7设X1t和X2t是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别
为RX1和RX2。
试求其乘积X（t）=X1（t）X2（t）的自相关函数。
解：
（t,t+）=E[X（t）X（t+）]=E[X1（t）X2（t）X1（t）X2（t）]
=EX1（t）X1（t）EX2（t）X2（t）=RX1（）RX2（）
习题2.8
设随机过程X（t）=m（t）cost，其中m（t）是广义平稳随机过程，且其自
相关函数为
104
f2,10kHZf10kHZ
PX（f）
其它
0,
（1）试画出自相关函数RX（）的曲线；
（2）试求出X（t）的功率谱密度PX（f）和功率P。
6
《通信原理》习题第一章
1
1
0
解：
（1）Rx
1
0
1
0,
其它
其波形如图2-1所示。
Rx
12
101
图2-1信号波形图
（2）因为X（t）广义平稳，所以其功率谱密度PX
RX。
由图2-8可见，RX
的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px
1
0
0
1Sa2
1
2
2
2
1
Sa2
0
Sa2
0
4
2
2
P
1
Pxd
1,或SRx
0
1
2
2
2
习题2.9设信号x（t）的傅立叶变换为
X（f）
=sinf
。
试求此信号的自相关函数
f
。
sin
2
解：
x（t）的能量谱密度为G（f）=
2
f
X（f）
=
f
1,
1
0
其自相关函数RX
G（f）ej2f
df
1
0
1
0,
其它
习题2.10已知噪声nt的自相关函数Rn
ke-k
，k为常数。
2
（1）试求其功率谱密度函数Pn
f和功率P；
（2）画出Rn
和Pnf
的曲线。
解：
（1）Pn（f）Rn（）ejd
kekej
d
k2
k2
2
（2f）2
7
《通信原理》习题第一章
PRn0k2
（2）Rn（）和Pnf的曲线如图2-2所示。
RnPnf
1
k2
0
0
f
图2-2
习题2.11
已知一平稳随机过程
X（t）的自相关函数是以
2为周期的周期性函数：
R（）
1,11
试求X（t）的功率谱密度PX（f）并画出其曲线。
解：
详见例2-12
习题2.12
已知一信号x（t）的双边功率谱密度为
104f2,
10kHZ
f
10kHZ
PX（f）
其它
0,
试求其平均功率。
解：
10*103
4
2
4
f3
104
2
8
PX（f）df20
10
fdf
2*10
*
3
3
*10
P
0
习题2.13
et/,t
0
设输入信号x（t）
，将它加到由电阻R和电容C组成的高
0,t
0
通滤波器（见图2-3）上，RC＝。
试求其输出信号y（t）的能量谱密度。
解：
高通滤波器的系统函数为
H（f）=X（t）2cos（2t）,t
输入信号的傅里叶变换为
X（f）=
1
1
1
j2f
j2f
输出信号y（t）的能量谱密度为
2
2
R
Gy（f）Y（f）
X（f）H（f）
1
1
）（1
（R
）
j2
fC
j2f
C
R
图2-3RC高通滤波器
习题2.14设有一周期信号x（t）加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y（t）=dx（t）/dt式中，为常数。
试求该线性系统的传输函数H（f）.
8
《通信原理》习题第一章
解：
输出信号的傅里叶变换为Y（f）=*j2f*X（f）,所以H（f）=Y（f）/X（f）=j2f
习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。
当输入一个均值为0、双边功率谱密度为n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
2
解：
参考例2-10
习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、
双边功率谱密度为n0的高斯白噪声时，试求
2
（1）输出噪声的自相关函数。
（2）输出噪声的方差。
解：
（1）LC低通滤波器的系统函数为
2
L
C
H（f）=
j2
fC
1
2
1
42
f2LC
j2
fL
图2-4LC低通滤波器
j2
fC
输出过程的功率谱密度为
P0（）
Pi（
）H（
2
n0
1
）
21
2LC
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
R（）
Cn0exp（
C
）
0
4L
L
（2）输出亦是高斯过程，因此
2
R0
（0）R0（）
Cn0
R0（0）
4L
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是
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