届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第11讲函数与方程精选教案理.docx

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届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第11讲函数与方程精选教案理

第11讲函数与方程

高考解读GAOKAOJIEDU

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.结合二次函数的图象，

2017•江苏卷，14

1.函数的零点问题是命题

了解函数的零点与方程根的联

2016-天津卷，8

热点，经常考查函数零点存在的

系，判断一兀二次方程根的存

区间和零点个数的判断，难度不

在性及根的个数.

大.

2.根据具体函数的图象，

分值：

5〜8分

2.函数零点性质的应用主

能够用二分法求相应方程的近

要是利用函数的零点个数求参

似解.

数的范围.

板块一/考戎淸单・课供查漏

知识梳理j

1•函数的零点

（1）函数零点的定义

对于函数y=f（x），我们把使_f（x）=0_成立的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

（2）三个等价关系

方程f（x）=0有实数根？

函数y=f（x）的图象与x轴__有交点？

函数y=f（x）有__零

占

八\、1・

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y=f（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f（a）•f（b）<0_，那么函数y=f（x）在区间_（a,b）__内有零点，即存在c€（a,b），使

得f（c）=0，这个__c__也就是f（x）=0的根.2.二次函数y=ax+bx+c（a>0）的零点

△>0

△=0

△<0

二次函数y=ax2

k|.

{/I

\'/

/I

+bx+c（a>0）的图象

\|/

\

1r1

0

与x轴的交点

（X1,0）,（X2,0）

（X1,0）

无交点

零点个数

两个

一个

无

3.二分法

（1）二分法的定义

对于在区间［a,b］上连续不断且__f（a）•f（b）<0_的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间—一分为二使区间的两个端点逐步逼近—零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

（2）用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤

第一步，确定区间［a,b］，验证_f（a）•f（b）<0_，给定精确度£.

第二步，求区间（a,b）的中点xi.

第三步，计算f（xi）:

1若__f（xi）=0__,贝Uxi就是函数的零点；

2若__f（a）•f（xi）<0_，则令b=xi（此时零点xo€（a,xi））;

3若__f（xi）•f（b）<0_，则令a=xi（此时零点x°€（xi,b））.

第四步，判断是否达到精确度&,即若|a-b|<「则得到零点近似值a（或b）•否则

重复第二、第三、第四步.

4•有关函数零点的结论

（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

对点检ifflj

i.思维辨析（在括号内打“V”或“X”）.

（1）函数f（x）=x-1的零点是（一i,0）和（i,0）.（X）

（2）函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点（函数图象连续不断），则一定有

f（a）•f（b）<0.（x）

（3）二次函数y=ax2+bx+c（a^0）在b2-4ac<0时没有零点.（V）

⑷若函数f（x）在（a,b）上单调且f（a）•f（b）<0，则函数f（x）在［a,b］上有且只有一个零点.（V）

解析（i）错误.函数f（x）=x2-i的零点为一i和i,而并非其与x轴的交点（一i,0）与（i,0）.

（2）错误.函数f（x）=x2-x在（一i,2）上有两个零点，但f（—i）•f

（2）>0.

（3）正确.当b2-4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点.

（4）正确.由已知条件，数形结合得f（x）与x轴在区间［a,b］上有且仅有一个交点，故

正确.

2•下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A）

A.y=cosxB.y=sinx

2

C.y=lnxD.y=x+1

解析y=cosX是偶函数，且存在零点；y=sinx是奇函数；y=Inx既不是奇函数

也不是偶函数；y=x2+1是偶函数，但不存在零点•故选A.

3.函数f（x）=2X+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是（B）

A.

B.1

0

C.2D.3

解析函数f（x）=2x+x3-2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f（0）•f

（1）=

（—1）X1=—1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在（0,1）内必存在唯个零点，故选

B.

4.根据表格中的数据，可以判定方程ex—x—2=0的一个根所在的区间为（C）

x

—1

0

1

2

3

0.3

2.7

7.3

e

7

1

2

9

20.09

x+2

1

2

3

4

5

A.（—1,0）B.（0,1）

B.（1,2）D.（2,3）

解析设函数f（x）=ex—x—2,从表中可以看出f

（1）•f

（2）<0,因此方程ex—x—2=0

的一个根所在的区间为（1,2）.

5.用二分法求函数y=f（x）在区间（2,4）上的近似解，验证f

（2）•f（4）<0,给定精确度

2+4

£=0.01，取区间（2,4）的中点X1=—=3,计算得f

（2）•f（x”<0,则此时零点xo€

（2,3）（填区间）.

解析由f

（2）•f（3）<0可知x°€（2,3）.

板块二/考出据展'题型鮮码

』考逵精讲』

「三-函数零点的所在区间

■解题技巧

判断函数零点所在区间的方法

（1）当能直接求出零点时，就直接求出进行判断.

（2）当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断.

（3）当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.

【例1]

（1）函数f（x）=1—xlog2x的零点所在区间是（C）

A.

C.（1,2）D.（2,3）

（2）若a

A.（a,b）和（b,c）内

B.（—a,a）和（a,b）内

C.（b,c）和（c,+a）内

D.（一oo,a）和（c,+o）内

解析

（1）f\4=1―4iog24=1+2=|>°,

11113

f2=1—2iog22=1+2=2>o,f

（1）=1—o>o,

f

（2）=1—2log22=—1<0,由f

（1）f

（2）<0知选C.

（2）易知f（a）=（a—b）（a—c）,f（b）=（b—c）（b—a）,f（c）=（c—a）•（c—b）.又a0,f（b）<0,f（c）>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在（a,b）

和（b,c）内.

E--■■■二判断函数零点的个数

■解题技巧

判断函数零点个数的方法

（1）解方程法：

令f（x）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理法：

利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且

f（a）•f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确

定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

（3）数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题•先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

【例2】

（1）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且x€[0,1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（C）

A.2

B.3

C.4

D.多于4

<2

x2—2,x<0,

⑵函数f（x）=

的零点个数是2.

2x—6+lnx,x>0

解析

（1）由f（x+2）=f（x），知函数

f（x）是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同

一坐标系中画出y=log3|x|和y=f（x）,x€[—3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数

为4.

（2）当xW0时，令f（x）=0,即卩x2—2=0,二x=2（舍）或x=-2.当x>0时，f（x）

=2x—6+Inx，显然f（x）在（0,+s）上单调递增，又•••f

（1）=—4<0,f（3）=In3>0，故f（x）在（1,3）上存在唯一零点，即f（x）在（0,+^）上存在唯一零点，•••f（x）共有2个零点.

•要〕士三函数零点的应用

•解题技巧|

函数零点应用问题的常见类型及解题策略

（1）已知函数零点存在求参数•根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：

①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的

取值范围.

（2）已知函数零点个数求参数•常利用数形结合法.

（3）

借助函数零点比较大小.要比较f（a）与f（b）的大小，通常先比较f（a）,f（b）与0的大小.

值范围是（

C.[—1,0]U（1,2]

解析

（1）要使函数在（—1,1）上存在一个零点，则有f（—1）•f

（1）<0，即（—5a+1）（a

+1）<0，所以（5a—1）（a+1）>0，解得a#或a<—1，故选B.

22

⑵由F（x）=0,得f（x）=a—a—1,因为函数f（x）的值域为（一1,+^），故a—a—

1>—1,解得a<0或a>1.故选A.

递进题组」

C.c

D.

b

x

y=2,

解析在同一坐标系中分别画出函数

1

y=log3X,y=-——的图象，如图，观察

Vx

A.a

B.

c

2

1.函数f（x）=ln（x+1）-x的一个零点所在的区间是（

x

选B.

解析当xW0时，0<2xw1,所以f（f（x））—1=log22x-1=x—1=0,得x=1（舍去）；

当x>1时，f（x）=log2x>0，所以f（f（x））-1=log2（log2x）-1=0,得log2X=2,x=4;当0

数y=f（f（x））-1的零点是4,1，共有2个.

4.已知函数f（x）=

ix2,x

x,x>a.

则a的取值范围是（—a,0）U（1,+◎.

解析当a<0时，若x€（a,+a）,

则f（x）=x2，当b€（0,a2）时，函数g（x）=f（x）-b有两个零点，分别是X1=-b,X2=b.

当0

（1）所示.

易知函数g（x）=f（x）-b最多有一个零点.

当a>1时，f（x）的图象如图

（2）所示.

图⑵

当b€（a2,aj时，函数g（x）=f（x）—b有两个零点，分别是xi=守b,X2={b.综上，a€（—s,0）U（1,+s）.

板块三/考惫送检*易错警示

易错点不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题

错因分析：

涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们的图象交点有几个.

卩，X=

0,

【例1】已知函数f（x）=$

1

则关于x的方程（f（x））+bf（x）+c—

k.

x+-

x

x丰0,

0有5个不同实数根的充要条件是

（

）

A.b<—2且c>0

B.

b>—2且c<0

C.b<—2且c=0

D.

b>—2且c—0

解析令f（x）=t，则方程为

2

t+bt+c=0.

设11,12为它的两个根，贝Uf（x）=11和f（x）=t2共有5个不同实根，y=f（x）的图象如图所示.

则11>2,12=0，-c=0.

由t+bt=t（t+b）=0,得11=—b>2,—b<—2，故选C.

答案C

f2

x+{4a—3x+3a,x<0,

【跟踪训练1】已知函数f（x）=人'（a>0,且az1）在R上

loga（x+1+1,x>0

单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2—x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

（C）

A.

C.

4,

2

3—4a［2》0,

解析要使函数f（x）在R上单调递减，只需c,一

0

.3a>1,

解得1

程|f（x）|=2—x恰有两个不相等的实数解，所以直线y=2—x与函数y=|f（x）|的图象有两

个交点.如图所示.

易知y=|f（x）|的图象与

11

又w—1w2,故由图可知，直

3a

2

线y=2—x与y=|f（x）|的图象在x>0时有一个交点；当直线y=2—x与y=x+（4a—3）x

+3a（x<0）的图象相切时，设切点为（xo,yo），则■=

2—X0=X0+4a—3xo+3a,

—1=2x0+（4a—3,

整理可得4a2—7a+3=0,解得a=1（舍）或a=4.

而当3aw2,即卩aw|时，直线y=2—x与y=|f（x）|

的图象在y轴左侧有一个交点，综

71213

合可得叫32”4■-

课时达标第11

在近几年的高考卷中选择题、

［解密考纲］本考点考查函数与方程的关系、函数的零点.

填空题、解答题都出现过•选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合

考查，题目难度中等.

一、选择题

1•函数f（x）=x3+2x—1的零点所在的大致区间是（A）

A.（0,1）B.（1,2）

C.（2,3）D.（3,4）

解析f（0）=—1<0,f

（1）=2>0,则f（0）•f

（1）=—2<0,且函数f（x）=x+2x—1的

图象是连续曲线，所以

f（x）在区间（0,1）内有零点.

2•满足方程In

x+x—4=0的X0属于区间（C）

A.（0,1）

B.（1,2）

C.（2,3）

D.（3,4）

解析设f（x）=Inx+x—4,因为f

（2）=In2+2—4<0,f（3）=In3+3-4>0,故零

点一定在区间（2,3）内.

3.f（x）=2sinnx—x+1的零点个数为（B）

B.5

D.7

A.4

C.6

解析令f（x）=0,贝U2sinnx=x—1，令h（x）=2sinnx,g（x）=x—1，则f（x）

=2sinnx—x+1的零点个数为两个函数h（x）与g（x）图象的交点个数.h（x）=2sinnx

C.

（0,2）

D.（2,+^）

解析依题意，知方程|x2—a|=x—2有两个不等的实数根,

A.

（0,4）

B.（4,+^）

的最小正周期为T=2jL=2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数n

5.已知函数

即函数y1=|x2—a|的图象

f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k

的取值范围是（

A.（0,1）

C.

C.（—1,0）

（—a,—1）

解析因为

f（—x）=e|—x|+|—x|=e|x|+|x|=f（x），故f（x）是偶函数.当x》0时,

f（x）=ex+x是增函数，故f（x）>f（0）=1,由偶函数图象关于y轴对称，知f（x）在（一汽

0）上是减函数，值域为［1,）,作出函数y=f（x）与y=k的图象，如图所示，由图可知,

实数k的取值范围是（1,+^），故选B.

6.已知f（x+1）=f（x—1）,f（x）=f（—x+2），方程f（x）=0在［0,1］内有且只有一个

1

根x=2,贝yf（x）=0在区间［0,2017］内根的个数为（C）

A.2015B.1008

C.2017D.1009

解析由f（x+1）=f（x—1），可知f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期是2.由f（x）

=f（—x+2）可知函数f（x）的图象关于直线x=1对称.因为函数f（x）=0在［0,1］内有且只

1

有一个根x=2,所以函数f（x）=0在区间［0,2017］内根的个数为2017，故选C.

二、填空题

7.若二次函数f（x）=x2—2ax+4在（1,+s）上有两个零点，贝U实数a的取值范围为！

！

!

2,I###.

解析依据二次函数的图象有

2

；△>0,；4a—16>0,

—2aa>1,5

—^^>1,即解得2

252

f__a<2,

f1>0,2

..x

&定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）=2017+log2017X，则在R上函数f（x）零点的个数为3.

解析函数f（x）为R上的奇函数，因此f（0）=0，当x>0时，f（x）=2017x+log2017X在区间j0,2~017内存在一个零点，又f（x）为增函数，因此在（0,+^）内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在（一R,0）内有且仅有一零点，从而函数f（x）在R上的零点的个

数为3.

fx

2—a,xw0,

9.已知函数f（x）=*2有3个不同的零点，贝U实数a的取值范围是！

!

!

x—3ax+a,x>0—

解析依题意，要使函数f（x）有三个不同的零点，则当XW0时，方程2x—a=0,即2x

=a必有一个根，此时0

当x>0时，方程x2—3ax+a=0有两个不等的实根，即方程x2—3ax+a=0有两个不等

的正实根，

△=9a2—4a>0,

于是有3a>0,解得a〉?

9

a>0,

因此，满足题意的实数

a>9，

即jaw1.

三、解答题

2

10.设函数f（x）=ax+bx+b—1（a*0）.

（1）当a=1,b=—2时，求函数f（x）的零点;

（2）若对任意b€R,函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围.

2

解析

（1）当a=1,b=—2时，f（x）=x—2x—3,

令f（x）=0，得x=3或x=—1.

所以函数f（x）的零点为3或一1.

2

（2）依题意，ax+bx+b—1=0有两个不同实根，

所以b2—4a（b—1）>0恒成立，

2

即对于任意b€R,b—4ab+4a>0恒成立，

所以有（—4a）—4X（4a）<0?

a—a<0,

解得0

11.已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x€[0,+^）时，f（x）=x2—2x.

（1）写出函数y=f（x）的解析式；

（2）若方程f（x）=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.

解析

（1）当x€（—a,0）时，一x€（0,+^）,

因为y=f（x）是奇函数，

22

所以f（x）=—f（—x）=—[（—x）—2（—x）]=—x—2x,jx2—2x,x>0,

所以f（x）=2

—x—2x,x<0.

⑵当x€[0，+a）时，f（x）=x2—2x=（x—1）2—1,最小值为-1;

22

当x€（—a,0）时，f（x）=—x—2x=1—（x+1），最大值为1.

可作出函数y=f（x）的图象（如图所示），根据图象，若方程f（x）=a恰有3个不同的解,

12.已知函数

则a的取值范围是（一1,1）

（1）若y=g（x）—m有零点，求m的取值范围;

（2）确定m的取值范围，使得g（x）—f（x）=0有两个相异实根.

2

解析

（1）Tx>0时，g（x）=x+三>2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g（x）的值

域是［2e,+s），因而只需2e时，y=g（x）—m就有零点•所以m的取值范围是［2e,+

g）•

k亠

/!

\尸/1对

Iw

（2）若g（x）—f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作

2

e出g（x）=x+—（x>0）的大致图象.

x

222

•••f（x）=—x（x—e）+m-1+e.

•••其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.

22

故当m-1+e>2e,l卩m>—e+2e+1时，g（x）与f（x）有两个交点，即g（x）—f（x）=0

有两个相异实根.

2

•m的取值范围是（一e+2e+1，+g）.