11.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x€[0,+^)时,f(x)=x2—2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.
解析
(1)当x€(—a,0)时,一x€(0,+^),
因为y=f(x)是奇函数,
22
所以f(x)=—f(—x)=—[(—x)—2(—x)]=—x—2x,jx2—2x,x>0,
所以f(x)=2
—x—2x,x<0.
⑵当x€[0,+a)时,f(x)=x2—2x=(x—1)2—1,最小值为-1;
22
当x€(—a,0)时,f(x)=—x—2x=1—(x+1),最大值为1.
可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,
12.已知函数
则a的取值范围是(一1,1)
(1)若y=g(x)—m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)—f(x)=0有两个相异实根.
2
解析
(1)Tx>0时,g(x)=x+三>2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值
域是[2e,+s),因而只需2e时,y=g(x)—m就有零点•所以m的取值范围是[2e,+
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(2)若g(x)—f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作
2
e出g(x)=x+—(x>0)的大致图象.
x
222
•••f(x)=—x(x—e)+m-1+e.
•••其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
22
故当m-1+e>2e,l卩m>—e+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)—f(x)=0
有两个相异实根.
2
•m的取值范围是(一e+2e+1,+g).