最新高等数学上册期末考试试题含答案AAT.docx

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最新高等数学上册期末考试试题含答案AAT

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．计算抛物线y=4x－x2在它的顶点处的曲率.

解：

y=－（x－2）2+4，故抛物线顶点为（2，4）

当x=2时，

，

故

2．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

（1）

；

（2）

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

．

解：

（1）∵

而

收敛，由比较审敛法知

收敛．

（2）∵

而

发散，由比较审敛法知，原级数发散．

（3）∵

而

收敛，故

也收敛．

（4）∵

而

收敛，故

收敛．

（5）当a>1时，

，而

收敛，故

也收敛．

当a=1时，

，级数发散．

当0

，级数发散．

综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0

（6）由

知

而

发散，由比较审敛法知

发散．

3．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′（x）（万元/百台），边际收入为R′（x）=7－2x（万元/百台）．

（1）求生产量为多少时总利润最大？

（2）在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

解：

（1）当C′（x）=R′（x）时总利润最大．

即2=7－2x，x=5/2（百台）

（2）L′（x）=R′（x）－C′（x）=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL（x）=

．

即此时总利润减少1万元.

4．求半径为R，高为h的球冠的表面积．

解：

=2πRh．

5．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：

;

解：

原式=