专题研究全等三角形证明方法归纳及典型例题.docx
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专题研究全等三角形证明方法归纳及典型例题
专题12：
全等三角形的证明
全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（3）有公共边的，公共边常是对应边．
（4）有公共角的，公共角常是对应角．
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角．
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
三角形全等的作用：
能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
一、找边相等的方法
1、利用等角对等边（注意：
必须在同一个三角形中才能考虑）
例1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
AB=CD
2、
利用公共边相等
例1、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
练习、已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
D
B
Cc
A
F
E
3、利用等量代换
（即AB+公共边=DE+公共边，那么AB=DE）
例1如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
4、利用三角形中线定理，或者等边三角形
例1．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
练习、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
5、利用三角形角平分线定理
例1、如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DC垂直AC,连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。
练习、已知：
如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．
二、找角相等的方法
1、利用平行直线性质
例1已知：
如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明：
（1）DF∥CE；
（2）DE＝CF．
2、巧用公共角
要点：
在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角
例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：
AD=AE
已知：
如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：
OD＝OE．
三、利用对顶角相等
例1、已知：
四边形ABCD中,AC、BD交于O点,AO=OC,BA⊥AC,DC⊥AC．垂足分别为A,C．求证：
AD=BC
已知：
如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：
∠B=∠C
四、利用等量代换关系找出角相等
例1.已知：
如图，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：
△EAD≌△CAB．
A
C
B
E
D
已知:
如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:
BD=CE
（1）常用的在直角三角形中找出角相等的条件
例1、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：
BD=2CE．
△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
求证:
（1）AE=CD;
（2）若AC=12cm,求BD的长.
三、常见辅助线补充
全等三角形
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；
（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
例1.已知:
点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.
①求证：
AN=BM
②求∠AOB的度数。
③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：
PQ∥AB。
A
B
C
M
N
O
P
Q
变式训练：
：
如图,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，
B
A
P
R\R
C
Q
S
垂足分别是R、S,AQ=PQ,PR=PS.
求证：
（1）AS=AR;
（2）QP∥AR.
例3.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，直线
为经过点A的任一直线，BD⊥
于D,
CE⊥
于E，若BD>CE，试问：
（1）AD与CE的大小关系如何请说明理由.
（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何你能说明清楚吗不妨试一试.
A
B
C
D
E
L
变式训练：
在⊿ABC中,D为BC的中点.过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G.DE⊥GF,并交AB于点E.连结EG..
（1）求证:
BG=CF.
（2）请猜想BE+CF与EF的大小关系,并加以证明.
例4.如图，△ABC中，∠B＝600，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，
A
C
D
B
E
O
求证：
AE＋CD＝AC
变式训练：
如图，BE、CF分别是⊿ABC的高，且BP=AC,CQ=AB,
试判断AP与AQ是否垂直并说明理由。
A
B
C
E
F
P
Q
【作业】
1、在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD=8cm，则点D
到AB的距离是_______cm.
2、如下左图，△ABC中,AD⊥BC，BE⊥AC，BF=AC，那么∠ABC＝___度.
4、如下中图，在四边形ABDE中，AB⊥AE,AC=CD=5cm,AC⊥BD,ED⊥BD，则四边形ABDE的面积是。
A
E
D
C
B
A
C
F
D
B
E
A
A′
E
D
C
B
2
1
5、如下右图把△ABC沿DE对折，顶点A落在A′处，且∠1=20°、∠2=40°，则∠A=度。
二、解答题:
1.如图,已知△ABC≌△ADE,BC的边长线交AD于F,交AE于G,∠ACB=105°,
D
E
G
C
A
F
B
F
∠CAD=10°,∠ADE=25°,求∠DFB和∠AGB度数.
2、如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90º，试探索AC+CD与AB的关系，并说明理由.
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