几何中的尺规作图法可编辑.docx
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几何中的尺规作图法可编辑
几何中的尺规作图法【可编辑】
第七讲尺规作图
尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义
含义:
给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义:
建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法;学以致用;为制图学提供理论基础;培养逻辑思维能力。
二、作图公法
（1）通过两个已知点可作一直线;
（2）已知圆心和半径作圆;
（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，
则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法
我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下面列举一些:
（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。
（
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
1
（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（15）作两已知圆的内、外公切线。
2
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段的第四比例项。
abc,,
（21）作已知两线段的比例中项。
ab,
2222xab,，ab,（22）已知线段作一线段为，或作一线段为。
xabab,,,（）
3
四、解作图题的步骤
?
分析:
遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。
这个过程就是分析，是解题重要的一步。
?
作法:
利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。
?
证明:
证所作图确实具有所设条件。
?
讨论:
作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。
尺规作图法举例
一、交轨法
一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件和，CC21如果能求出合于条件的轨迹和合于条件的轨迹，那么和的交点同时满足FCFCFF211212和，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。
CC21
决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。
上求一点M，使弦的比为。
例1在已知弧AmBMAMBpq:
:
1,,
分析:
设点M已求到，满足，则点M既在弧上，又在一个阿氏圆上，AmBMAMBpq:
:
内分、外分AB于C、D，使，阿氏圆是以CD为直径的圆。
ACCBADBDpq:
:
:
,
作法:
如分析过程定出C、D两点，以CD为直径作圆，它与相交于所求点M。
图形AmB
略。
证明:
略（阿氏圆的性质知显然）
讨论:
本题恒有一解。
（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直
径CD的另一侧，不在AmB上）。
解法二:
由角平分线性质知，?
AMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出
C和N即可，而N为的中点，作AB的中垂线即可。
如下图所示。
AB
4
222例2已知?
ABC的底边，顶角A以及余二边的平方和，求作这三角形。
bck，,a
222BCa,分析:
如图，设?
ABC已作成，，且ABACk，,。
任作后，BCaA,,,,A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于的圆弧。
若以M表示BC的中点，则,
122222（斯特瓦尔特定理）kABACAMa,，,，22
1222ka,即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为的圆周，因而A点定。
2
122BCa,作法:
作线段（,2）Mka,，在BC上作内接角等于的圆弧;作;圆与圆,2
弧的交点为所求的A点。
证明:
略。
22akaa2,,2ka,讨论:
显然，否则无意义;若A为锐角，当,,cot时，2222
122,,,,,ABCABCA（,2）Mka,与圆弧AmB有两交点A与，但，只算作一解;否2
则无解。
aa,122,,,cot2ka若A为钝角，当时有一解，否则无解。
2222
若A为直角，a=k时显然有无穷多解，当a?
k时无解。
5
二、三角形奠基法
作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。
该方法称为三角形奠基法。
ABC例3已知的三中线的长度，求作该三角形。
mmm,,abc
ABCGGLLKGL,K分析:
设已作出，为重心，图中无奠基的三角形。
延长到,使，,BGK2/3则三边已知，各为中线长的。
BGKGKLGKm,（2/3）GBm,（2/3）BKm,（2/3）作法:
作，使，，，作的中点，abc
CLCBL,LGGALG,2,ABCBLA并延长到使。
延长至使，则即所求者。
BC,ABCGALG,2G,ABCLAL证明:
由作法，是的中点，因而是的中线。
由于，是
NCAGMABALLGGKm,,,3（3/2）的重心，并且，以、表、的中点，由于是a
ABCBMBGm,,（3/2）CNCGBKm,,,（3/2）（3/2）重心，则，，所以合于条件。
bc
BGK讨论:
本题有无解，取决于是否存在，存在的条件是:
mmm，,mmm，,mmm，,，，.abcbcacab
6
故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。
例4已知?
ABC的，求作该三角形。
htm,,aaa
分析:
?
ABC若已作成，高，角平分线，中线.AHh,ATt,AMm,aaa
RtAHT,,AMH,AMH和都可作出，取为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为BC的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。
然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。
,AHM，,AHM90作法:
作直角，使，AHh,，AMm,.aa
在射线HM上作T点使ATt,，过M作HM的垂线与直线AT相交于P。
作AP的中垂a
ABC线交PM于O。
以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C，则即所求。
ABCBC证明:
因O在AP的中垂线上，则OP,OA，从而P是的中点，从而AM是的
，BAC,ABCAHh,AMm,中线，而AP是的平分线。
可见中，有高，中线，平分aa
ABCATt,角线，即合于所设条件。
a
讨论:
htm,,?
当三者有两个相等时，?
ABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若aaa
7
都相等便成不定问题，有无穷多解。
?
当互不相等时，解要存在，则?
AMH存在且P存在，并且P和A落在HMhtm,,aaa
的异侧（若，则P与A落在MH同侧），才能保证B、C存在，要保证这些事项，mt,aa
则必有T介于H和M之间，有解的条件是:
.htm,,aaa
例5求作?
ABC，已知.hm,m,abc
1SS,分析:
设?
ABC已作出，G为重心，由重心的性质知，从而,,BCGABC3
11GMAHh,,，?
BCG可作。
a33
证明:
略（关键是证G为重心，连AG交BC于点F，证明N是中点）
GMGC,GMGB,讨论:
?
ABC能否作出决定于?
BCG能否作出。
显然，且，即
hm,2且hm,2时有一解，否则无解。
abac
三、合同变换法
将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的
方法。
常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。
，,，,BC,ah,例6求作?
ABC，已知，两底角之差.a
8
BCa,分析:
?
ABC已作出，先作，由于，故A点的一个轨迹是BC的一条平hAH,a
行线XY。
现为了把表示在图形上，延长BA到E，作C关于XY的对称点D，则,
,，,，,，,，,，,，BCEAYCAYEAYDAY
,?
，,,BAD180,，从而A的另一轨迹是以BD为弦内接角等于180,,的弓形弧。
作法证明:
略。
,,,ABCA180,,讨论:
以BD为弦内接角等于的弓形弧的对称弧交XY于一点，但中，，,，,CB,，不符合条件，故本题只有一解。
例7给定两平行线及y和它们外侧各一点A、B（如下图），求自A至B的最短路线，x
y使介于、间的部分与定直线平行。
xz
9
,,,,,,,,,XYz//分析:
在、上任取点、满足，最短在于最XYAXXYYB，，AXYB，yx
TMN（）TMN（）,,短。
现，C为定点（实际上，），且AXCY,,,,AC,,,,
,,,AXBYCYBYBC，,，,.则Y定，进而X定。
X、Y为所求。
作法:
略。
证明:
略。
讨论:
本题恒有一解。
例8给定?
ABC，求作一直线平行于BC，交AB、AC于D、E，使AD,EC.
TED（），,，,，BAFDFACAF，AECDF,,,,分析:
如图，将，则，所以AF为的平分线。
由F定D，然后定E即可。
恒有一解。
作法:
由分析作法显然。
证明:
略。
b例9给三平行线，求以上一定点A为顶点作正三角形ABC，使余二点分别落在、aabc,,
上。
c
10
RA（,60）,,,AHb,bbb分析:
设?
ABC已作好，作，，这时，旋转为，,,,,,,,ABHACH
C与的交点为，进而可定B。
c
,,,,,,AHb,bAH,b作法:
作于H，作且，过作，交于点AHAH,H，,HAH60c
,C，BACb，再作，使与有相同转向，B是直线AB与的交点。
，HAH，,BAC60
ABC，,，BACHAH'证明:
只要证明AB,AC就足以保证是正三角形。
由于，立刻推，,BAHCAH'CAH'出。
所以两个直角三角形和有一直角边及一锐角对应相等，BAH
因而合同。
所以AB,AC。
,RA（,60）RA（,60）,,,,,讨论:
由于或，所以有两解。
AHAH,,,,,AHAH,,,,,
四、代数分析法
有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法。
lB并切于已知直线。
例10求作一圆，使通过两定点A、
11
分析:
如图，关键在于确定切点T的位置，如能定，过A、B、T三点的圆就为所求。
2lOxOT,设AB与交于，，则，即是线段OA、OB的比例中项，即TxAOOB,,x可确定，进而圆可定。
作法:
如分析所作，见下图1。
证明:
略。
讨论:
ll?
直线AB与交于一点且A、B在的同侧时，有二解，如图1。
ABl//l?
或A、B之一在上时，有一解如图2和3。
l?
A、B在的异侧时无解。
例11求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。
分析:
设图已作成，设AB交CD于O，，则OAaOBbOEx,,,,,
11SSS,，SSS,,，,,OEFOADABCD,,OEFOBCABCD22
1222SSS,，（）由此，又，SSSxab:
:
:
:
,,,OEFOADOBC,,,OEFOADOBC2
1222xab,，（）所以.故E点定。
2
作法:
如图。
证明:
略。
讨论:
恒有一解。
12
尺规作图可能性的判断
一、判断准则
任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。
在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程或xcyd，，,0
22,或三种不同组合组成的方程组的解。
而方程组的解是通yd，,0xyexfyd，，，，,0
过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为:
定理:
一个作图题中所求线段，可由一次齐次式表示，则能由尺规xFaaa,（,,,）？
xx12n
作出F仅含关于已知线段的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且ain（1,2,,）,？
i
F在定义域中能取实值。
二、几个古典几何作图题
1（倍立方问题:
求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。
33设已知立方体棱长为，求作的立方体的棱长为，则xa,2，惟一的实根为ax
3xa,2，不可能由经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。
不能由尺规作出。
a
,,,32（三等分任意角问题:
设是任一角，求，使.,
3cos,,xcoscos34cos3cos,,,,,,,由三倍角公式，令，则方程化为
3430xxa,,,（已知）a,cos,
1,3,,60a,8610xx,,,不妨取，这时，方程为，此方程无有理根，故不可能分解为2
以有理数为系数的两因式之积。
不能由尺规作出。
3（化圆为方问题:
求作一正方形，使面积等于已知圆的面积。
2x,,,设已知圆为单位圆，正方形的边长为x，则，为超越数，故x不能作出。
4（作圆内接正多边形
nx,,10?
正多边形的尺规作图，归结为方程的n次本原单位根的尺规作图问题。
（如果某一个n次单位根的各次幂可得出所有n次单位根，这样的n次单位根叫做本原单位根。
24,,ii2333,,,,,,ee,,1,如三次单位根中，,,,,,,1，可见为本原单位根;同1123121
2,in,,,,e理也是本原单位根，但不是。
）在n次单位根中，必是n次本原单位根。
231
him2nn（3）,nppp,,,2？
?
定理:
圆内接正边形可用尺规作图（,mop,,，,2112ir
13
的素数或者为1，）。
ir,1,2,,？
n,100当可作正n边形有24种，;;n,3,6,12,24,48,96n,4,8,16,32,64
n,51n,85;;;;.n,5,10,20,40,80n,15,30,60n,17,34,68
例12十等分圆周（黄金分割，即内外比）
分析:
设半径为R，正十边形边长为，AB为其中一边，如下图1。
显然x
,,,OABBAC，BC平分角ABO，则，,，,AOBOAB36,72
OAABABAC:
:
OCBCAB,,OAOCOCAC:
:
?
，又由得，称点C将线段OA分成外内比或黄金分割，即全线段与长部分的比等于长部分与短部分的比。
?
圆内接正十边形的边长是将半径分成黄金分割所得的长部分。
下面作，由x
R22OAOCOCAC:
:
x,,（51）xRxR，,,0，得，从而，作法如下图2所示，OC2
为所求.x
注:
Ra,,（51）?
圆内接正十边形长.102
AB1,,2Rsin18（51）,,?
由弦与圆周角的关系知.圆周角4
51,?
，即黄金分割数，在优选法上常用，来源于黄金分割。
0.6182
14
例13五角星的作法
法一:
将圆周十等分（例12），从第一个分点起，每隔开三个分点相连即得。
法二:
将圆周五等分，从第一个分点起间点相连即得。
注:
?
圆内接正十边形、五边形、半径的关系
OEAC,,,DACCAB，作于E，交AB于D，则，ABaACBCaOAR,,,,,,510
2ADACACAB:
:
,,AOBODBACABAD,,?
，即，由有
2，?
，ABOBOBDBOBABAD:
:
:
（）,,,RABABAD,,,（）
222ABACR,，与上两式相加即得，
22222?
，即同圆的正五边形、正六边形、正十边形的边构成直角三角aaRaa,，,，510106
形，由此得正五边形更简单的作法。
MAMN,作法:
PQ、AS为二垂直直径，M为OQ的中点，作;作AN,AB;则
ABaONa,,,.510
222222ABANAOONRON,,，,，证明:
，
5R，得证。
ONMNOMMAMORa,,,,,,,1022
15
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教育实习总结专题15篇
第一篇:
教育实习总结
一、实习学校
中学创办于清光绪33年（年），校址几经变迁、校名几度易名，年，中学得以复名并于领导和老师，虚心听取他们的意见，学习他们的经验，主动完成实习学校布置的任务，塑造了良好的形象，给实习学校的领导、老师和学生都留下了好的印象，得到学校领导和老师的一致好评，对此，本人甚感欣慰。
在这短暂的实习期间，我主要进行了教学工作实习、班主任工作实习和调研工作。
二、教学工作方面
1、听课
怎样上好每一节课，是整个实习过程的重点。
9月17日至9月27日的一个多星期的任务是听课，在这期间我听了高一级12位语文老师14节课，还听了2节历史课和1节地理课。
在听课前，认真阅读了教材中的相关章节，并且简单思考了自己讲的话会怎样讲。
听课时，认真记好笔记，重点注意老师的上课方式，上课思想及与自己思路不同的部分，同时注意学生的反应，吸收老师的优点。
同时简单记下自
16
己的疑惑，想老师为什么这样讲。
听完课后，找老师交流、吸取经验。
12位语文老师风格各异，我从他们身上学到了很多有用的经验。
9月28日至30日，高一进行摸底考试。
10月1日至7日国庆放假，8日至14日高一学生军训。
9日，我们几个语文实习生帮高二语文科组改月考试卷。
10日，我们帮忙改高一语文摸底考试卷。
11日至18日这一个星期，我到高二听课，听了体会到教师工作的辛劳，也深刻理解了教学相长的内涵，使我的教学理论变为教学实践，使虚拟教学变成真正的面对面的教学。
要想成为一位优秀的教师，不仅要学识渊博，其它各方面如语言、表达方式、心理状态以及动作神态等等都是很重要的，站在教育的最前线，真正做到“传道、授业、解惑”，是一件任重道远的事情，我更加需要不断努力提高自身的综合素质和教学水平。
三、班主任工作方面
在班主任日常管理工作中，积极负责，认真到位，事事留心。
从早晨的卫生监督，作业上交，早读到课间纪律，课堂纪律，午休管理，自习课，晚自修等等，每样事务都负责到底，细致监督。
当然，在监督他们的同时不忘结合他们的个性特点进行思想道德教育，以培养他们正确的学习目标......
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第二篇:
高校生教育实习总结
17
学校秉承“崇德、博学、强身、尚美”的校训，形成“以人为本，发展个性，追求卓越”的办学理念，致力走“以德立校、依法治校、科研兴校、质量强校”的发展之路，全面推进素质教育，形成了“初见成效的人本管理，进取型的团队精神，低进高出的成才之路”三大办学特色。
在均中近2个月的教育实习，时间过得很快，在这期间，我受益匪浅。
我学会了如何教学，学习了如何应对学生之间的各种突发的事件，更重要的是让我感受到了教师这个职业的神圣重任，体会到了教师工作的辛苦，特别是班主任就比一般的任课老师付出的心血多一倍。
以下主要对学科教学和班主任工作进行总结。
1.听课
来到均中的第1周，我主要是听课和自己进行试讲工作。
我的指导老师鼓励我进行跨年级听课，推荐各个年级的优秀教师。
我分别听了高中三个年级的课，体验不同老师的讲课风格。
在听课前，我会认真阅读教材中的相关章节，如果是习题课，则事前认真做完题目，把做题的思路简单记下，并内心盘算自己讲的话会怎样讲。
听课时，认真写好听课记录，重点注意老师的上课方式，上课思想及与自己思路不同的部分，同时注意学生的反应，吸收老师的优点。
同时简单记下自己的疑惑，想老师为什么这样讲。
课后及时找老师对本节课的教学进行交流，学习老师的教学方法，体会教师应具备的教态及掌控课堂的方法。
18
2.备课与上课
来到均中的第2周，科任老师开始叫我备课，内容是蛋白质一节。
自己终于有机会走上讲台，真正以一名教师的身份面对阅读，然后查看相关的教案及教学设计，上网查看相关教学视频。
在把握好本节课的教学重难点后，就是对教授班级的学生进行学情的分析，不同的学生知识水平是不同的。
在备人生的第一节课中，真的是用了很大的功夫。
由于是在普通班上的课，考虑到学生对相对抽象的知识学习比较困难，所以采用类比和直观教学，将直观教学法充分贯穿在本节课的教学设计当中。
写好教案做好课件后请老师提出修改意见......
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第三篇:
师范专业中学教育实习总结
作为师范生地我怀着希望与期盼的心情来到腾冲县第一中学，开始了我的教育实习工作，转眼就到了月30日，我的实习生活也划上了圆满的记号，在这段时间里我紧张过努力过深思过，自信过，指导老师们，学生们见证着我的成长，在这段时间里，我既是学生又是老师，作为学生我虚心求教，不耻下问，作为人师，我兢兢业业，倍感骄傲，这段时间我付出很多，收获的更多，也是在这段时间了使我完成了由学生到老师的心理准备和转变，现在我将我学习的情况做如下报告:
实习的内容包括两部分课堂教学和班主任工作，基本情况如下;
一课堂教学内容:
19
本次教学课堂实习主要是实习高一（班级）的地理课教学，课堂实习工作主要是对地理课进行听课，备课，讲课，课后评课课外知道批改作业等。
1，听课
听指导老师在不同班级上课的情况，学习指导教师的讲课方法和教学模式流程，，同时在听课过程中了解学生的情况，听课后设想假如自己上会怎样设计前后进行对比。
2备课
参考之前的听课记录，认真备教材备学生，根据各班学生的特点，预测教学课堂中肯能出现的各种情况，参考配套练习册，结合指导教师的教学方法和教学模式流程及教学标准学校的具体情况设计不同的教学方法，教学环节，写出教案后给指导老师评价，在指导老师指出需要注意的地方后进行修改，最后充分熟悉教案。
3讲课
经过充分的备课之后进行的是讲课，讲课是根据自己的备课本来讲的同时根据课堂的具体情况来灵活处理各种预测不到的情况，及时改变教学方法，讲课是面对全体学生，以学生为主教态自然仪表大方教学语言简洁声音洪亮语速语调适中，讲课过程中不仅要完成课程内容，还要在课堂上布置课堂练习，观察学生的听课效果，为课后的评课做做准备，也为以后的课堂教学积累经验。
20
4评课
上完课之后对所上的课进行评价，记下课堂上出现的问题和指导老师提出的意见并再完善和调整教案，课后反思，争取每一次出现的问题下次不再出现
5课外辅导
课后结合课堂效果针对不同的学生进行课后辅导帮助他们解决课堂上不懂的问题
6，批改作业
收课外作业进行批改，对每一本作业本都细心批改，找出学生出错的地方并改正，让学生可以知道自己错在哪，在批改作业的同时在作业中发现问题了解学生的情况，在接下的课堂上做相应的改变进。
再整个实习期间总共完成:
，听课讲课修改作业。
二:
班主任工作
我本次班主任实习方面，我在原班主任某某的指导下，完成了很多班主任日常工作，班级工作，与原班主任沟通工作，比如早读，晚自习，课间操，清洁卫生班会，课外活动及自习课堂纪律等，在此期间我对班主任工作做了详细的记载，使自己在实习过程中能够全面的了解教学工作的真理，在班主任实习中我积极主动的和学生交流......
21
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第四篇:
大学生中学教育实习总结
教育实习是师范教育的重要组成部分，是师范教育贯彻理论与实践相结合原则的体现，
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