届高三数学上期入学试题含答案.docx

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届高三数学上期入学试题含答案

高2019届2018~2019学年上期入学考试

数学试卷（理科）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，则 

A．             B．           C．            D．  

2.设集合，若全集，，则 

A．      B．       C．    D． 

3.命题“，”的否定是

A．，        B．， 

C．，     D． ， 

4.在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是

A．3       B．7        C．11      D．33

5.在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为

A．        B．        C．         D． 

6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为

A.2        B.            C.1         D.  

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则 

A．           B．           C．            D． 

8.已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是

A.            B.  

C.            D.  

9．已知约束条件为，若目标函数取最大值时的最优解有无数多个,则的值为

A.                 B.                C.                  D. 或

10.已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为

A．4               B．6                 C．8                 D．10

11.向量满足：

，，在上的投影为4，，则的最大值是

A.24             B.            C.               D. 

12．已知函数，若关于的不等式有且只有一个正整数解，则实数的最大值为

A．   B．       C．   D． 

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为　  　．

14.直线过双曲线 的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为            ．

15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O的直径为       ．

16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为   .

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分

17.（本小题满分12分）

某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：

件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.

（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；

（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．

（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为，求随机变量的分布列和数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图，在中，内角的对边分别为，已知

  分别为线段上的点，且，．

（I）求线段的长；

（II）求的面积．

19.（本小题满分12分）

直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：

每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：

 男 女

认为直播答题模式可持续 360 280

认为直播答题模式不可持续 240 120

（I）根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？

（II）随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.

参考公式：

 ．

临界值表：

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

20.（本小题满分12分）

如图为坐标原点，圆 点 ，以线段为直径的圆内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C.

（I）证明：

为定值，并求曲线C的方程；

（II）设Q为曲线C上的一个动点，且Q在轴的上方，过作直线，记与曲线C的上半部分交于点，求四边形面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数，，其中.

（I）若，讨论的单调区间；

（II）若的两根为，且，证明：

.

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

 22．选修4－4：

坐标系与参数方程

  在平面直角坐标系中，曲线，曲线，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（I）求曲线的极坐标方程；

（II）射线分别交 于两点，求的最大值．

23．选修4-5：

不等式选讲

    已知函数．

（I）解不等式；

（II）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：

．

石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试

数学参考答案（理科）

1-5：

CBBCA 6-10：

ADDBA 11-12：

CA

13、-20  14、   15、13   16、 

17解：

（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率 

网店盈利的概率 由实体店和网店销售量相互独立，

故任取一天,实体店和网店都盈利的概率    .…………3分

（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于的直方图面积为

 ，

销售量低于的直方图面积为 

故网店销售量的中位数的估计值为（件）…………6分

（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率……7分

故,的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为

 ,        ,

 ,       ,

分布列为

0 1 2 3

…………11分

因为,所以期望为.…………12分

18.解：

（1）根据题意，，，，则；

又由，

解可得 

即，则，

在中，

由余弦定理得：

，

则；…………………（6分）

（2）根据题意，平分，

则，

变形可得：

，

 ，则，

 　…………………（12分）

19、解析：

（I）依题意，的观测值，

故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分

（Ⅱ）由题意的取值为，且后四个题每个题答对的概率为.………………6分

 ；

 .

故的分布列为

10 11 12

…………………………………………9分

记该网友当期可平分奖金为事件，则.

故该网友当期可平分奖金的概率为.    ………………………12分

20、解：

（1）由题知：

O，P，N三点共线，连 

 则 ，

所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，

则动点M的轨迹方程是 ．……………………………………4分

（2）如图：

………………………………6分

因为不与y轴垂直，设PR：

，  

所以消去x有：

由弦长公式可得：

又因为点到直线的距离 

所以S＝……………10分

因为，所以（当等号成立）

所以……………………12分

21、解:

（Ⅰ）由已知得，

所以，……………2分

当时，；

当时，．……………3分

故若，的单调递增区间为，单调递减区间为；

若，的单调递减区间为，单调递增区间为．……………5分

（Ⅱ）依题意， ，

同理， 

由①-②得，，……………7分

 ，，……………8分

要证，即证：

，

即证：

，……………9分

令，即证．

 ，……………10分

 在区间上单调递增，

 成立．故原命题得证．……………12分

22.解：

（1）因为 ，，，

所以  的极坐标方程为 ，

因为  的普通方程为 ，

即 ，对应极坐标方程为 ．……………………5分

（2）因为射线，则 ，

则，所以 

              ＝ 

又 ，，

所以当 ，即  时， 取得最大值 ……10分

23、解：

①当时，不等式可化为，．

又∵，∴∅；

②当时，不等式可化为，．

又∵，∴．

③当时，不等式可化为，．

又∵，∴．

综上所得，．

∴原不等式的解集为．…………………（5分）

（Ⅱ）证明：

由绝对值不等式性质得，，

∴，即．

令，，则，，，，

   ，

原不等式得证．…………………（10分）