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概率统计公式大全

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

Pmn（m!

）!

从m个人中挑出n个人进（mn）!

行排列的可能数。

cm从m个人中挑出n个人进

（mn）!

行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+r某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

论n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来元成，则这件事可由m^n种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序问题

随机试验和随机事件

（5）基本事件、样本空间和事件

行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用”来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间,用°表示。

一个事件就是由"中的部分点（基本事件小组成的集合。

通常用大写字母儿B,C,…表示事件，它们是©的子集。

。

为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1

（6）事件的关系与运算

1关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

AB如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:

A=B

AB中至少有一个发生的事件：

AB,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者ab，它表示A发生而B不发生的事件。

AB同时发生：

AB,或者ABAB=

①，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为a。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

2运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分配率：

（AB）UC=（AUC）n（BUC）（A

UB）nC=（AC）U（BC）

德摩根率：

i1i1ABAB,ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0

2°P（Q）=1

3°对于两两互不相容的事件A1,A2，…有

PAP（Ai）

i1i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（8）古典概型

1°1,2n，

O°1

（1）P

（2）P（n）；。

设任一事件A，它是由1,2m组成的，

则有

P（A）=P

（1）

（2）（m）

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数

n基本事件总数

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A,p（A）L（A）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=Q时，P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设AB是两个事件，且P（A）>0，则称PPAB）为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）嗨。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如：

P（Q/B）=1P（b/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）P（B）P（A/B）

更一般地，对事件A,A,•…A,若P（AA…

An-1）>0，则有

P（A1A2・・・An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）

P（An|A1A2・・・An1）。

（14）

独立性

1两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0,则有

P（AB）P（A）P（B）

P（B|A）P（A）P（A）P（B）

若事件A,B相互独立，则可得到A与B,A与B,A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件①与任何事件都相互独立。

①与任何事件都互斥。

2多个事件的独立性

设A,B,C是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;

P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概率公式

设事件B®,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，

p（Bi）0（i1,2,，n），

oABi

2i1，

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16

设事件B1,B2，…，Bn及A满足

1°B1,B2，…，Bn两两互不相容，

P（Bi）＞0,i1,2,…，n,

）

oABi,_r

2i1，且P（A）0,

贝叶斯

公式

（用于

则

P（Bi/A）nP（Bi）P（A/B）,i=1,2,…n。

求'

后验

P（Bj）P（A/Bj）

概率）

此公式即为贝叶斯公式。

骅），（i1，丫，…,n），通、常叫先验概率验概率I。

贝1叶斯公式反映3“通1果称”为的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。

（17）

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发

生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的

伯努利

概型

概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，

Pn（k）CnPq,k0,1,2,,n。

第二章随机变量及其分布

设离散型随机变量X的可能取值为X（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=X<）的概率为

P（X=x<）=pk,k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

x|X—X2,,xk,

P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件:

pk1

（1）pk0,k1,2,,

（2）k1。

设F（x）是随机变量X的分布函数，

若

存在非

负函数f（x），对任意实数x，有

F（x）f（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概

率密度函数或密度函数，简称概率密度。

（

密度函数具有下面4个性质：

2）

1°f（x）0,

连续

2°f（x）dx1

型随

。

3P（X1XX2）f（x）dx,

机变

y.O

量的

4若f（x）在点x处连续，则有F'（x）f（x）。

分布

密度

（

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

3）

积分兀f（x）dx在连续型随机变量理论中所

离散

起的作用与P（xxk）Pk在离散型随机变量

与连

理论中所起的作用相类似。

续型

随机

变量

的关

系

对于离散型随机变量，F（x）p

xkX

对于连续型随机变量,F（x）f（x）dx

0-1

分布即

B（1，P）

P（X=1）=p,P（X=0）=q

在n重贝努里试验中，设事件A发

生的概率为P。

事件A发生的次数

是随机变量，设为X，则X可能取

（

值为0,1,2,,n。

5）

P（Xk）Pn（k）C；；pkqnk，其中

八大

q1P,0p1,k0,1,2,,n，

分布

一项

则称随机变量X服从参数为n,p

分布

的二项分布。

记为X〜B（n,p）。

即

当n1时，P（Xk）pkq1k，k0.1，这

B（n,p）

就是0-1分布，所以0-1分布是

二项分布的特例。

设随机变量X的分布律为

P（Xk）k!

e，0，

0,1,2…，

泊松分布

即

P（）

则称随机变量x服从参数为的

泊松分布，记为X~（）或者P（）。

泊松分布是二项分布的

极限分布

（np=入，nfx）。

CM?

CNMk0,1,2,l

超几何

分布

（）CN'lmin（M,n）

随机变量X服从参数为

n,N,M的

超几何分布，记为H（n,N,M）。

P（Xk）qk1p,k1,2,3,，其中P>0,

几何

q=1-p。

分布

随机变量X服从参数为分布，记为G（p）。

p的几何

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数心在［a，b］上为常数b1，即

f（x）ba，aW其他

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

分布函数为

［Qa，

Jba，a

F（x）f（x）dx

当a

（X1K）内的概率为

x2x1

P（X1Xx2）21。

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1（x）2

f（x）圧」，%，

其中、o为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为

X~N（,）。

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于x对称

的；

2°当X时，f（）丁2匚为最大

值；

若X~N（•2），贝X的分布函数为

F（x）丁e2dt

参数0、1时的正态分布称为

标准正态分布，记为X〜N（0,1），其密度函数记为

（x）-j^e2

J2,x,

分布函数为

1x耳

（x）jedt。

（x）是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①（-X）—1-①（x）且

①（0）—1/2

如果X~N（,2），则〜N（0,1）。

P（X1XX2）X2x1。

（

6）

分位

数

下分位表：

P（X）=；上分位表：

P（X）=。

（

7）

函数分布

离散

型

已知X的分布列为

XX1,X2,,xn,

P（XXi）p1,p2,,pn,?

yg（X）的分布列（yig（Xi）互不相等）如下：

Yg（x1）,g（x2）,,g（xn）,

P（丫yi）P1,P2,,pn,

若有某些g（xi）相等，则应将对应的P.相加作为g（x）的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=P（g（X）

第三章二维随机变量及其分布

如果二维随机向量=（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机向量。

Y）的所有可能取值

），且事件｛=（x「yj）｝,称

Pij（i,j1,2,）

设=（X，

为（x,,yj）（i,j1,2,的概率为Pij,

P｛（X,Y）（x，yj）｝

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

这里Pij具有下面两个性质：

（1）py>0（i,j=1,2,…）;

（2）Pj1.

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在

非负函数f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即

D={（X,Y）|a

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>0；

（2）f（x,y）dxdy1.

（2

）

二维随机变量的本质

（Xx,Yy）（XxYy）

（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

F（X2,y2）F（X2，yjF（X1，y?

）Fgyj0.

（

4）

离散型与连续型的关系

P（Xx,Y

y）P（xXxdx，yYydy）f（x，y）dxdy

X的边缘分布为

离散型

P（XXi）Pj（i,j1,2,）；

Y的边缘分布为

jP（Yyj）Pj（i,j1,2,）。

（5

）

边缘分布密度

连续型

X的边缘分布密度为fx（x）f（x,y）dy；

Y的边缘分布密度为

fY（y）f（x,y）dx.

（6）

条件分布

离散型

在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为

Pij

P（Yyj|XXi）—；

Pi?

在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为

Pij

P（XXi|Yyj）丄，

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f（x|y）ff（；

fY（y）‘

在已知X=x的条件下，丫的条件分布密度为

f（y|x）f（x，y）

fx（X）

（

7）

般型

F（X,Y）=Fx（

x）FY（y）

离散型

PijPi?

有零不独立

独

f（x,y）=fx（x）fY

立性

连

y）

续型

直接判断，充要条件：

①联合概率密度函数可分离变

量。

②正概率密度区间为矩形。

1x12（x1）（y2）y2

12（12）1122f（x，y）212J12e'

维正

其中1.2,1o,20,1i1是5个参数

态

分布

若X,X2,…Xm.Xm+1,…X相互独立，

随机

h,g为连续函数，贝

变量

h（X1,X…X）和g（Xm+1,…％）

的函

相互独立。

数

特例：

若X与丫独立，贝y：

h（X）

和g（Y）独立。

例如：

若X与丫独立，则：

3X+1

和5Y-2独立。

设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

1x12（x1）（y2）y2

f（x,y）

12（12）1122

12J12,

其中1,

2,10，20,||1是5个参数,则称（X,

Y）服从二维正态分布，记为（X,Y）〜N（1，2,12，；，）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正

（9）

态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

一维

即X〜N（1,12）,y~n（2,f）.

正态

但是,

若X〜N（1,12）,y~n（2,2）,（X,Y）

分布

未必是二维正态分布。

根据定义计算：

Fz（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型,fz（z）f（x,zx）dx

X+Y

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,122）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

（1

Cii,2Ci2i2

0）

关于随机变量的函数的分布

Z=max,min（

X1,X2,

…Xn）

若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为f“（x）,Fx2（x）FXn（x）,则Z=max,min（X1,X2,…Xn）的分布函数为：

Fmax（X）FX1（x）FX2（X）FXn（X）

Fmin（X）1[1Fx1（X）][1Fx2（X）][1Fxn（x）]

2分布

设n个随机变量X1,X2,,X”相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

WX：

的分布密度为

1-1-

—u2e2u0,

f（u）22n

0,u0.

我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W2（n），其中

n-1

x2exdx.

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：

设

Yi2（nJ,

则

ZYi~（n1n2nk）.

t分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y〜（n）,

可以证明函数

T芹

的概率密度为

n1n1

2t2—

f（t）——2—1t（t）.

vVnn

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2）,且X与Y独立，可以证明FX；n1的概率密度函数

Y/n2

为

n1n2比叫匕

2小2聲1n12

f（v）y1y,y0

f（y丿n1n2n2n2

0,y0

我们称随机变量F服从第一个自由度为nt,第二个自由度为n2的F分布，记为F〜f（n1,n2）.

F1（n1,n2）

F（n2,nJ

第四章随机变量的数字特征

离

散型续型

期望

（期望就是平均值）

设X是离散型随机变量，其分布律为P（XXk）=

Pk‘k=1,2,…,n,

设X是连续型机变量，其概率度为f（x）,

E（X）xf（x）

（要求纟1收敛）

E（X）

（要对收敛）

XkPk

昙求绝

Y=g（X

一维随机变量的函

）

（X）

（1）

数的期望

E（Y）

g（Xk）Pk

E（Y）g（x）f

维

方差

随机

D（X）=E[X-E（X）

D（X）[xE（X）]2f

变量

]2，

D（X）[Xk

E（X）]2pk

的数

标准差

字特

（X）TD（xy，

征

①对于正整数

k，称随机变量X

称随机变量X

的k次幂的数学

次幂的数学期

期望为X的k阶

为X的k阶原

原点矩，记为

矩，记为Vk,即

Vk,即

vk=E（X>

k=E（X）=xkf（x

XiPi,

k=1,2,…

矩

k=1,2,…

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k,

②对于正整数称随机变量X

（X）差的k次的数学期望为的k阶中心矩为k，即

kE（XE（X

即

=（XE（X））kf（

kE（XE（X））k

k=1,2,・

=（XiE（X））Pi,

-1

k=1,2,・・・

■

设随机变量X的数学期望E（卩，方差D（X）=u2,则对于任正数&，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等

式

P（|x|）P

切比雪夫不等式给出了在未知分布的情况下，对概率

P（|xI）

的一种估计，它在理论上有重要义。

（1）

（2）

期望

的性

质

E（C）=C

（2）E（CX）=CE（X）

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），e（gx」ge（xj

i1i1

（4）E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：

X和丫独立;

充要条件:

（3）方差的性质

（1）D（C）=0；E（C）=C

（2）D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）

（3）D（aX+b）=a2D（X）；E（aX+b）=aE（X）+b

（4）D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和丫独立

充要条件：

X和Y不关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）

2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）常见分布的期望和

期望

方差

0-1分布B（1,P）

p（1p）

二项分布B（n，P）

叩（1p）

泊松分布P（）

几何分布G（p）

超几何分布H（n,M,N）

nMMNr

NNN1

均匀分布U（a,b）

（b

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