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1、概率统计公式大全概率统计公式大全第1章随机事件及其概率（1） 排列组 合公式Pmn （ m!）! 从m个人中挑出n个人进 （m n）!行排列的可能数。cm 从m个人中挑出n个人进n !（m n）!行组合的可能数。（2） 加法和 乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+r 某件事由两种方法来完成，第一种方法 可由m种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n种方 法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件 事）：论n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤 可由m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来元成，则这件事可由 m n种 方法来完成。（3） 一些常 见排列重复

2、排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个）顺序问题随机试 验和随 机事件（5） 基本事 件、样 本空间 和事件行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出 现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总 可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质：1每进行一次试验，必须发生且只能发 生这一组中的一个事件；2任何事件，都是由这一组中的部分事 件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本 事件，用”来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间, 用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事 件小 组成的集合。通常用大

3、写字母儿 B, C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，0为不可能事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为 零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Q ）的概率为1,而概率为1（6） 事件的 关系与 运算1关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的 组成部分，（A发生必有事件B发生）：A B 如果同时有A B，B A，则称事件A与 事件B等价，或称A等于B: A=BA B中至少有一个发生的事件：A B, 或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事 件，称为A与B的差，记为A-B，也 可表示为A-AB或者ab，它表示A发生 而B不发生的事件。A B同时发生：A B,或者AB A B=，则

4、表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。 基本事件是互不相容的。Q -A称为事件A的逆事件，或称A的 对立事件，记为a。它表示A不发生的 事件。互斥未必对立。2运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) n (B U C) (AU B) n C=(AC)U (BC)德摩根率：i1 i1 A B A B ,ABAB(7) 概率的 公理化 定义设 为样本空间，A为事件，对每一 个事件A都有一个实数P(A)，若满足下 列三个条件：1 0 P(A) 0， 则称PPAB)为事件A发生条件下，事件B 发生

5、的条件概率，记为P(B/A) 嗨。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性 质都适合于条件概率。例如：P( Q/B)=1 P(b/A)=1-P(B/A)(13 ) 乘法公 式乘法公式： P(AB) P(A)P(B/A) P(B)P(A/B)更一般地，对事件A ,A, A,若P(AAAn-1 )0，则有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P( An | A1A2 An 1)。(14 )独立 性1两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事 件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0 ,则有P(AB) P(A)P(B)

6、P(B|A) P(A) P(A) P(B)若事件A , B相互独立，则可得到A与B , A与B , A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事 件都相互独立。与任何事件都互斥。2多个事件的独立性设A, B, C是三个事件，如果满足两两 独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15 ） 全概率 公式设事件B ,Bn满足1 B1,B2, ,Bn两两互不相容，p(Bi)0(i 1,2,，n)，no A Bi2 i 1 ，则有P(A)

7、 P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2) P(Bn)P(A|Bn)。(16设事件B1 , B2，Bn及A满足1 B1 , B2，Bn两两互不相容，P（Bi）0, i 1, 2,，n ,)no A Bi ,_r2 i1 ，且 P(A)0 ,贝叶斯公式（用于则P(Bi/A) nP(Bi)P(A/B), i=1 , 2,n。求后验P(Bj)P(A/Bj)j 1概率）此公式即为贝叶斯公式。骅），（i 1，丫，,n ），通、常叫先验概 率验概率I。贝1叶斯公式反映3 “通1果称”为 的概率规律，并作出了“由果溯因”的 推断。(17)我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或

8、A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的伯努利概型概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验A发生与否 是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯 努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发 生的概率为1 p q，用Pn(k)表示n重伯努利 试验中A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) CnPq , k 0,1,2, ,n。第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X的可能取值为 X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件 (X=X)的概率为P(X=x 0,几何q=1-p。分布随机变量X服从参数为 分布，记为G(p)。p的几何均匀 分布设随机变量X的值

9、只落在a , b 内，其密度函数心在a，b上为 常数b1，即b a1f(x) b a， a W 其他则称随机变量X在a , b上服从 均匀分布，记为XU(a, b)。 分布函数为Q a ，J b a， a xLxF(x) f(x)dx1 ,当aX1VX2W b时，X落在区间(X1K )内的概率为x2 x1P(X1 X x2) 2 1。b a1正态 分布设随机变量X的密度函数为1 (x )2f(x)圧， % ，其中、o为常数，则称随机变 量X服从参数为、的正态分布 或高斯(Gauss)分布，记为2X N(,)。f(x)具有如下性质：1 f(x)的图形是关于x对称的；2 当X时，f()丁2匚为最大

10、值；若XN( 2)，贝X的分布函数为1 xF(x) 丁 e 2 dt参数 0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN (0,1)，其 密度函数记为x2(x) -je 2J2 , x ,分布函数为1 x耳(x) j e dt。(x)是不可积函数，其函数值，已 编制成表可供查用。(-X) 1-(x)且(0) 1/2如果 XN( , 2)，则 N(0,1)。P(X1 X X2) X2 x1 。(6)分位数下分位表：P(X )=； 上分位表：P(X )=。(7)函数 分布离散型已知X的分布列为X X1, X2, , xn,P(X Xi) p1, p2, , pn, ?y g(X)的分布列(yi g

11、(Xi)互不相 等)如下：Y g(x1), g(x2), , g(xn),P(丫 yi ) P1, P2, , pn,若有某些g(xi)相等，则应将对应的 P.相加作为g(x)的概率。连续 型先利用X的概率密度fx(x)写出Y 的分布函数 FY(y) = P(g(X) 0 (i,j=1,2,);(2)Pj 1.j连 续型对于二维随机向量 (X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)( x , y )， 使对任意一个其邻边分别平行于 坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cy 0；(2)f (x,y)dxdy 1.(2)二维 随机 变量 的本 质(X x,Y y) (X x Y y)(4)

12、F( , ) F( ,y) F(x, ) 0,F( , ) 1.F(X2, y2) F(X2，yj F(X1，y?) Fg yj 0.(4)离散 型与 连续 型的 关系P(X x, Yy) P(x X x dx， y Y y dy) f(x， y)dxdyX的边缘分布为离 散型P? P(X Xi) Pj(i, j 1,2,)；jY的边缘分布为P?j P(Y yj) Pj(i, j 1,2,)。i(5)边缘 分布 密度连 续型X的边缘分布密度为 fx(x) f(x, y)dy；Y的边缘分布密度为fY(y) f(x, y)dx.(6 )条件 分布离 散型在已知X=x的条件下，Y取值的 条件分布为P

13、ijP(Y yj |X Xi)；Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的 条件分布为PijP(X Xi |Y yj)丄，P?j连 续型在已知Y=y的条件下，X的条件 分布密度为f (x | y) ff(；fY(y) 在已知X=x的条件下，丫的条件 分布密度为f(y|x) f(x，y)fx(X)(7)般型F(X,Y)=F x(x)FY(y)离 散型Pij Pi?P?j有零不独立独f(x,y)=f x(x)f Y立性连y)续型直接判断，充要条件：联合概率密度函数可分离变量。正概率密度区间为矩形。2 21 x 1 2 (x 1)(y 2) y 21 2(1 2 ) 1 1 2 2 f(x，y)2 1 2

14、J1 2e 维正其中1. 2, 1 o, 2 0,1 i 1是5个参数态分布若X,X2,Xm.Xm+1,X相互独立，随机h,g为连续函数，贝变量h (X1, X X)和 g (Xm+1,)的函相互独立。数特例：若X与丫独立，贝y： h (X)和g (Y)独立。例如：若X与丫独立，则：3X+1和5Y-2独立。设随机向量（X, Y）的分布密度函数为2 21 x 1 2 （x 1）（y 2） y 2f(x, y)21 2(1 2) 1 1 2 21 2J1 2 ,其中1,2, 1 0，2 0,| | 1是5个参数,则称（X,Y）服从二维正态分布， 记为（X, Y）N （ 1，2, 12，；，）. 由

15、边缘密度的计算公式，可以推出二维正(9)态分布的两个边缘分布仍为正态分布，一维即 XN ( 1, 12),yn( 2, f).正态但是,若 XN ( 1, 12),yn( 2, 2) , (X, Y)分布未必是二维正态分布。根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型,f z(z) f (x, z x)dxZ=X+Y两个独立的正态分布的和仍为正 态分布（1 2, 12 2 ）。n个相互独立的正态分布的线性 组合，仍服从正态分布。(1Ci i , 2 Ci2 i2i i0）关于 随机 变量 的函 数的 分布Z=ma x,mi n(X1,X2,Xn)若X1,X2 Xn相互独立

16、，其分布函数 分别为 f“(x), Fx2(x)FXn (x),则 Z=max, min(X 1,X2,Xn)的分布函数为：Fmax(X) FX1 (x) FX2(X) FXn (X)Fmin(X)1 1 Fx1(X)1 Fx2(X) 1 Fxn(x)2分 布设n个随机变量X1,X2, ,X”相互独 立，且服从标准正态分布，可以 证明它们的平方和nW X：i 1的分布密度为n u1 - 1 - u2 e 2 u 0,f(u) 22 n20, u 0.我们称随机变量W 服从自由度为 n的2分布，记为W 2(n)，其中n - 1x2 e xdx.2 0所谓自由度是指独立正态随机 变量的个数，它是随

17、机变量分布 中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi 2(nJ,则k2Z Yi (n1 n2 nk).i 1t分 布设X, Y是两个相互独立的随机变 量，且2X N(0,1),Y (n),可以证明函数T XT芹的概率密度为n 1 n 12 t2 f(t)2 1 t ( t ).vV n n2我们称随机变量T服从自由度为 n的t分布，记为Tt(n)。t1 (n) t (n)F分 布设 X 2( n1),Y 2(n2),且 X 与 Y 独立， 可以证明F X；n1的概率密度函数Y / n2为n1 n 2 比 叫匕2 小2聲1 n1 2f(v) y 1 y ,y 0f(y丿 n1 n2 n2 n2

18、2 20,y 0我们称随机变量F服从第一个自 由度为nt,第二个自由度为n2的 F分布，记为Ff(n 1, n 2).1F1 (n1, n2)F (n2, nJ第四章 随机变量的数字特征离散型 续型期望(期望就是平 均值)设X是离散型随 机变量，其分布 律为 P( X Xk)=Pkk=1,2,n ,设X是连续型 机变量，其概率 度为f(x),E(X) xf (x)(要求纟1 收敛)E(X)(要 对收敛)nXkPkk 1昙求绝Y=g(X一维随机变量的函)(X)(1)数的期望nE(Y)k 1g(Xk)PkE(Y) g(x)f维方差随机D(X)=EX-E(X)D(X) x E(X)2f变量2，D(X

19、) XkkE(X)2pk的数标准差字特(X)TD(xy，征对于正整数对于正整数k，称随机变量X称随机变量X的k次幂的数学次幂的数学期期望为X的k阶为X的k阶原原点矩，记为矩，记为Vk, 即Vk,即vv k=E(Xk = E(X)= xk f (xkXi Pi ,k=1,2,矩ik=1,2,对于正整数 k，称随机变量X 与E (X)差的k 次幂的数学期 望为X的k阶中 心矩，记为k,对于正整数 称随机变量X(X)差的k次 的数学期望为 的k阶中心矩 为k，即k E(X E(X即=(X E(X)kf(k E(X E(X)kk=1,2,k=(Xi E(X) Pi ,i-1k=1,2,设随机变量X的数

20、学期望E ( 卩，方差D(X)=u2,则对于任 正数&，有下列切比雪夫不等式2切比雪夫不等式P(|x | ) P切比雪夫不等式给出了在未知 分布的情况下，对概率P(|x I )的一种估计，它在理论上有重要 义。(1)(2)期望的性质E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)n n(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，e( gxge(xji 1 i 1(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和丫独立;充要条件:(3) 方差 的性 质(1)D(C)=0 ； E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)(3)D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 丫独立充要条件：X和Y 不 关。D(X Y )=D(X)+D( Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4) 常见 分布 的期 望和期望方差0-1 分布 B(1, P)pp(1 p)二项分布B(n，P)np叩(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1p1 p2 p超几何分布H( n,M,N)nMNnM M N r1N N N 1均匀分布U(a,b)a b2(b