m
成立的有①④，
故选：
B．
【点睛】此题考查了命题和不等式，解题的关键是理解不等式的性质．
二、填空题
9.若代数式 x - 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______．
【答案】 x ≥ 1
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．
解：
∵ x - 1 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得 x≥1．
故答案x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0．
10.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为________．
【答案】6．
【解析】
【分析】
由多边形的外角和等于 360°，可得多边形的内角和为 720°，根据多边形的内角和公式，即可求解．
【详解】∵多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍，
∴内角和是 720 度，
∵720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：
6．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于 360°以及多边形的内角和公式，
是解题的关键．
11.已知 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x=0 时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表
达式_______．
【答案】y=x2-1．
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．
【详解】解：
∵y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x=0 时，y 的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是 y 轴，且顶点坐标为：
（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：
y=x2-1．
故答案为：
y=x2-1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
12.如果 a 2 + a = 1 ，那么代数式
【答案】1
【解析】
【分析】
1 a - 1
-
a a 2 - 1
的值是______．
先根据分式的运算法则将
1a - 1
-
【详解】解：
aa 2 - 1
a - 1
-
a + 1a
=
-
1
=
a （a + 1）
1 a - 1
-
a a 2 - 1
进行化简，再将 a 2 + a = 1 的值代入即可．
=1
a 2 + a
∵ a 2 + a = 1
∴原式 =1= 1
a 2 + a
故答案为：
1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13.如图，在正方形 ABCD 中，BE 平分∠CBD，EF⊥BD 于点 F，若 DE=2 ，则 BC 的长为_________．
【答案】 2 + 1
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，角平分线的性质可得到△DEF 为等腰直角三角形，然后设 BC=CD=x，利用勾股定理解
答即可．
【详解】解：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠C=90°，∠CDB=45°，BC=CD．
∴EC⊥CB．
又∵BE 平分∠CBD，EF⊥BD，
∴EC=EF．
∵∠CDB=45°，EF⊥BD，
∴△DEF 为等腰直角三角形，
∴DF=EF，
设 BC=CD=x，
∵DE= 2 ，
∴EC=x- 2 ，即 DE =EF=x- 2 ，
在
DEF 中， DE 2 = DF 2 + EF 2 ，
222
解得 x= 2 + 1
∴BC= 2 + 1
故答案为：
2 + 1 ．
【点睛】本题考查了正方形性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
14.如图，△ABC 的顶点 A，B，C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D，则 AC 的长为
的
________，BD 的长为_________．
【答案】
（1）. 5
（2）. 3
【解析】
【分析】
根据图形和三角形的面积公式求出△ABC 的面积，根据勾股定理求出 AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】如图所示：
由勾股定理得：
AC＝ 32 + 42 ＝5，
1
△
∵AE＝3，BC＝5，
1
×3×5＝×5BD，
22
解得：
BD＝3．
故答案为：
5；3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出 AC 的长，此题难度一般．
15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M 是△ABC
的外接圆，则点 M 的坐标为___________．
（
【答案】 6，6）
【解析】
【分析】
如图：
由题意可得 M 在 AB、BC 的垂直平分线上，则 BN=CN；证得 ON=OB+BN=6，即△OMN 是等腰直
角三角形，得出 MN=ON=6，即可得出答案.
【详解】解：
如图∵圆 M 是△ABC 的外接圆
∴点 M 在 AB、BC 的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点 A，B，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN 是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点 M 的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其
中判定△OMN 为等腰直角三角形是解答本题的关键．
16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30 天）接待游客人数（单
位：
万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表：
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）
①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”天数仅有 4 天；
②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5~10 广域网人之间；
③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；
的
④这个月 1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境
评价均为好”的可能性为
3
10
．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用统计图与统计表获取的信息逐项判定即可．
【详解】解：
①根据统计表可得日接待游客人数10≤x< 15 为拥挤，15≤x< 20 为严重拥挤，由统计图可知，
游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1 日至 5 日有 2 天，25 日-30 日有 2 天，共 4 天，故①正确；
②本题中位数是指将 30 天的游客人数从小到大排列，第 15 与第 16 位的和除以 2，根据统计图可知 0≤x < 5
的有 16 天，从而中位数位于 0≤x< 5 范围内，故②错误；
③从统计图可以看出，接近 10 的有 6 天，大于 10 而小于 15 的有 2 天，15 以上的有 2 天，
10 上下的估算为 10，则（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考虑为给每个 0 至 5 的补上 3.25，则大部
分大于 5，而 0 至 5 范围内有 6 天接近 5，故平均数一定大于 5，故③错误；
323
④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 ⨯=，故④正确．
5410
故答案为①④．
【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等知识，利用统计图与统计表获取的有效信息是解答本题的
关键．
三、解答题
1
17.计算：
（ ）-1 + （1- 3） 0 + | - 3 | -2sin 60 °．
2
【答案】3
【解析】
【分析】
先运用负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数对原式化简，然后进行计算即可．
1
【详解】解：
（ ）-1 + （1- 3） 0 + | - 3 | -2sin 60 °
2
=2+1+ 3 - 3
=3
【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相关运
算法则是解答本题的关键．
⎧3（x - 2） < 2 x - 2
⎪
18.解不等式组 ⎨ 2 x + 5．
< x
【答案】
5
2
＜x＜4
< x②
【解析】
【分析】
先分别求出各不等式的解析，然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．
⎧3（x - 2） < 2 x - 2①
⎪
【详解】解：
⎨ 2 x + 5
⎪⎩4
由①得 x＜4
由②得 x＞ 5
2
所以不等式组的解集为：
5
2
＜x＜4
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键．
19.关于 x 的一元二次方程 x2 - （2m + 1）x + m2 = 0 有两个实数根
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，求此时方程的根．
（
【答案】 1）m≥ -
1
4
；
（2） 当 m=0 时，方程的根为 x1=1，x2=0．
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式列出不等式并求解即可；
（2）确定一个满足条件且方便计算的 m，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：
（1）由题意得
=（2m+1）2-4m2≥0,解得：
m≥ -
1
4
；
（2）当 m=0 时，原方程为：
x 2 - x = 0 ，解得 x1=1，x2=0．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠
）的根与=b2-4ac 有如下关系：
①
当
0 时，方程有两个不相等的实数根；②当
时，方程有两个相等的实数根；③当
0 时，方程无
实数根．
20.如图，在 Y ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OB，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E．
（1）求证：
Y ABCD 是矩形；
（2）若 AD= 2 5 ，cos∠ABE= 2 5 ，求 AC 的长．
5
（
【答案】 1）见解析；
（2）5．
【解析】
【分析】
（1）先说明.OA=OC，OB=OD，再证得 AC=BD，即可证明 Y ABCD 是矩形；
（2）先说明∠BAD=∠ADC=90°，再求得∠CAD=∠ABE，最后解直角三角形即可．
【详解】
（1）证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴ Y OABCD 是矩形；
（2）解∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
在
ACD 中，AD= 2 5 ，cos∠CAD=
AD
AC
=cos∠ABE=
2 5
5
∴AC=5．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，掌握矩形的判定和
性质定理是解题答本题的关键．
21.先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图
已知
ABC，D 是边 AB 上一点，如图 1，
求作:
四边形 DBCF，使得四边形 DBCF 是平行四边形．
小明的做法如下：
请你参考小明的做法，再设计一一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形 DBCF 是平行
四边形，并证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用平行四边形的判定方法作图证明即可．
【详解】解：
（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（2）设计作图步骤完成作图
作法：
如图：
①以点 C 为圆心，BC 长为半径画弧；
②以点 D 为圆心，BC 长为半径画弧，；
③两弧交于点 F，四边形 DBCF 即为所求.
（3）推理论证
证明：
∵CF=BD，DF=BC
∴四边形 DBCF 是平行四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的判定等知识点，灵活应用平行四边形的判定方法是解答本题
的关键．
22.运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解 A，B 两种语音识别输入软件的可读性，小秦
同学随机选择了 20 段话，其中每段话都含有 100 个字（不计标点符号），在保持相同条件下，标准普通话来
测试两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整．
（1）收集数据：
两种软件每次识别正确的字数记录如下：
（2）整理，描述数据：
根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图
（3）分析数据：
两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示
平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
84.5
88.91
B
83.7
96
184.01
（4）得出结论：
根据以上信息．判断____种语音识别输入软件准确性较好，理由如下．_______________（至
少从两个不同的角度说明判断的合理性） ．
（
【答案】 2）见解析；（3）92，88.5；（4）见解析．
的
【解析】
【分析】
（2）先统计数据，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据众数和中位数的定义计算即可；
（4）从平均数、方差两个角度分析即可．
（
【详解】解：
2）统计 B 组数据得到：
60-70 的频数为 2,70-80 的频数为 4,则补全频数分布直方图如图所示：
（3）在 A 组数据中 92 出现的次数最多,故 A 组的众数为 92；B 组的中位数为第 10 个和第 11 个数分别为 88
和 89，则中位数为（88+89）÷2=88.5．故答案如图：
（4）A 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：
∵A 种语音的平均数=84.7，B 种语音的平均数=83.7，
∴84.7> 83.7，故 A 种语音识别输入软件的准确性较好，
∵A 种语音的方差=88.91，B 种语音的方差=184.01，
∴88.91< 184.01，故 A 种语音识别输入软件的准确性较好．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、方差等知识，明确题意、灵活应用所学知识是解答本题
的关键．
23.如图，四边形 OABC 中， ∠OAB = 90︒ ．OA=OC， BA=BC．以 O 为圆心，以 OA 为半径作☉O
（1）求证：
BC 是☉O 的切线:
»
①补全图形；
②求证：
OF=OB．
【答案】
（1）证明见解析
（2）①图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，
根据切线的判定定理证明；
（2）①根据题意画出图形；
②根据切线长定理得到 BA＝BC，得到 BD 是 AC 的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得
到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【详解】
（1）证明：
如图 1，连接 AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠
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