电磁场与电磁波第三版课后答案第1章.docx

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电磁场与电磁波第三版课后答案第1章

第一章习题解答

给定三个矢量A、B和C如下:

A=ex+ev2-e:

B=Yv4+q

C=—5-0-2

求：

（1）aA:

（2）|A-B|；（3）a・〃；⑷&肋;（5）a在B上的分量;

（6）AxC；

（7）A>（BxC）和（Ax〃）・C；（8）（AxB）xC和Ax（〃xC）。

解

ex+ey2-ez3

Vl2+22+（-3）2

⑵\A-B\=|（ex+ev2-e.3）-（-ev4+e,）|=|cv+ey6-e.4|=-^53

（3）A^B=（J+务2-《3）•（-j.4+j）=—11

（4）由

e,\B=cos"（--y==）=135.5

4・B_—11___H_

|A||B|"V14xV17"7238

（5）

A在B上的分量A〃=|A|cos%=节■"船

（6）

AxC=

Jeyez

12-3

50-2

=一“4一0、13-0.10

x>《

（7）由于BxC=0-41=ev8+ev5+^20

50-2

AxB=

12-3=-et10-evl-e.4

0-41

所以xC）=（e*+e、.2—e；3）・（^v8+e.,5+e：

20）=—42

（AxB^C=（一e」0--1一e：

4）・©5-e：

2）=-42J务e.

（8）（AxB）xC=-10-1-4=er2-ev40+e;5

50-2

55冬

Ax（BxC）=12-3=耳55-e、44一e；ll

8520

三角形的三个顶点为人（0丄-2）、P2（4,1,-3）和P5（6,2,5）o

（1）判断是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解

（1）三个顶点片（0,1,-2）、/>（4,1,-3）和璟6,2,5）的位置矢量分别为

2,r2=ex4+ey-ez3fr3=ex6+ey2+ez5

则Rn=ri~r\=®4-e：

Riy=r^-r2=ex2+ey+e.S,

尺31=斤_巧=一乙6_0『_冬7

由此可见

RifRy=（^v4-c.）«（^v2+ev+e.8）=0

故纠出出为一直角三角形。

（2）三角形的面积

S=-|/?

l2xl?

23|=-|7?

12|x|7?

23|=丄Vi7x他=17.13

222

求P（-3丄4）点到P（2,-2,3）点的距离矢量R及R的方向。

解rpf=-ex3+ey+ez4,rp=j2yv2+j3,

且Rp、p与x、y、z轴的夹角分别为

给定两矢量A=ex2+ey3-e:

4和〃=54-匕5+耳6,求它们之间的夹角和4在B上的分量。

解A与B之间的夹角为

&AB

一31

V29x>/77

）=13『

A在B上的分量为A厂4•侖=^7==-3.532

给定两矢量A=ex2+ey3-eA和B=-ex6-ey4+e：

求AxB在C=乞-j+q上的分量。

解Ax〃=23-4=-0」3+€y22+e」（）

-6-41

所以AxB在C上的分量为

（AxB）c

证明：

如果A.B=A.C和4xB=AxC,贝Ub=C；

解由AxB=AxC,则有Ax（AxB）=Ax（AxC）,即

（A>B）A一（AM）B=（A>C）A一（A・A）C

由于A・B=A・C,于是得到（A・A）B=（A・A）C

故B=C

如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设A为一已知矢量，P=A・X而P=AxX,P和P已知，试求X。

解由P=AxX9有

AxP=Ax（AxX）=（）A—（A^A）X=pA—{A^A）X

故得x=pA-AxP

在圆柱坐标中，一点的位置由（4,年,3）定出，求该点在：

（1）直角坐标中的坐标；

（2）球坐标中的坐标。

解

（1）在直角坐标系中x=4cos（2^/3）=—2>y=4sin（2^/3）=2>/3>Z=3

故该点的直角坐标为（-2,2点3）。

（2）在球坐标系中广=存厨=5、6>=tan_,（4/3）=53.1°>©=2^/3=120

故该点的球坐标为（5,53.1。

120。

）

用球坐标表示的场E=e三,

广

（1）求在直角坐标中点（-3,4,-5）处的\E\和Ex;

（2）求在直角坐标中点（-3,4,-5）处E与矢量B=ex2-ey2+ez构成的夹角。

解

（1）在直角坐标中点（一3,4,-5）处,r2=（-3）2+42+（-5）2=50,故

丄

尸刀I创q1一33近

Er=e^E=\E\cos0=—x—=-

vr11rr25>/220

（2）在直角坐标中点（-3,4,-5）处，r=-ex3+eyA-ez5,所以

厂2525rYv3+y4-“5

10>/2

E=—-一

故E与B构成的夹角为0EB=cos-1（/：

"）=cos-1（-—=153.6

间•网3/2

球坐标中两个点（斤0,0）和（巧,&2妙）定出两个位置矢量&和%。

证明&和禺间夹角的余弦为

cos丫=cosqcos02+sin0{sin02cos（©—0）

解由R{=exr}sinqcos^+ej\sinsig+ej\cosq

R、=sincos必+ev/;sin0.sin%+ej;cos3

得到

cos/岡陶

sinqcos叭sin&cos必+sinsingsin02sin0+coscos&=

sinqsin（cos叭cos0+】sin琳sin0）+cosqcos0、=

sinqsin0cos（g—0J+cosqcos02

一球面S的半径为5,球心在原点上，计算：

4©3sin&）・dS的

值。

3sin<9x52sin6>d/9=75^2

解g©3sin&）・dS=g©3sin&）*erdS=jgj

S'oo

在由r=5、z=0和乙=4囲成的圆柱形区域，对矢量A=err2+e.2z验证散度定理。

解

在圆柱坐标系中V.A=-—（rr2）+—（2^）=3r+2

rdrdz.

42才5

所以

JAdr=jdzjd^j（3r+2）rdr=1200/rrooo

又

=<^（err2+e,2z）^erdSr+e0dS^+e_dS,）=

42疗52/

|j52x5d^dz+J|2x4rdrd^=1200^

0000

故有

JV.Adr=1200^=^A.dS

求

（1）矢量A=exx2+eyx2y2+ez24x2y2Z3的散度;

（2）求g对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求a对此立方体表面的积分，验证散度定理。

1dxdy

（2）

对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（1）VM=^2）+^2r）+a（24.rr?

）=2x+2x2y+12x2y2z2

V21/21/2

▽•Adr=

-1/2-1/2-1/2

（3）

A对此立方体表面的积分

JJj（2x+2x2y+72x2y2z2）dJtdydz=—

1/21/21/21/2

§A・dS=门（-）2dydz-门（--）2dydz+

5-1/2-1/2/-1/2-1/2/

1/2V2]1/21/2i

ff2x2（—）2dxdz-|[2x2（--）2dxdz+

-1/2-i/22-1/2-1/22

V21/2]1/21/2]]

门24x2y2（-）3dxdy-JJ24x2y2（--）3dxdj=—-1/2-1/22-1/2-1./2224

故有JV・Adr=丄=§A・dS

计算矢量「对一个球心在原点、半径为d的球表面的积分，并求▽才对球体积的积分。

2用JT

dS=Jd外aa2sin060=4/ra'

又在球坐标系中，=4—（r2r）=3,所以r"dr

Iffa

Jv>rdr=J|J3r2sinrd

rooo

求矢量A=exx+eyx2+e.y2z沿心平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。

再求▽xA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

又

所以

故有

VxA=

dxdy

=ex2yz+e:

VxA・dS=JJ（ex2yz+e:

2x）叫dxdy=800

扌A>d/=8=jVxA>dS

求矢量A=exx+eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算VxA对此圆面积的积分。

解

§A・dZ=（j）xdx+xy^dy=f（_fl2cos^sin^+a4cos2^sin2^）d^=—cci4

fVxA.dS=fe_（—-^）.^,d5=fy2dS=jfr2sin2^rd^dr=—iidyfH4

证明：

（1）"?

=3；

（2）VxR=O:

（3）V（A>7?

）=A0其中R=exx+ery+ezz9a为一常矢量。

解

（1）“占+警+鼻3

oxcycz

udddn

oxdydz

xyy

（3）设A=exAx+eyAy+ezAz,ji!

«]A^R=Axx+Ayy+Azz,故

V（A>7?

）=rv—（Axx+Avv+A.z）+ev—（Axx+Ayy+A.z）+

dx'・dy

ez—（Axx+Ayy+Azz）=ex\+S・4・+冬4=A

♦6z

一径向矢量场F=erf（r）表示，如果V>F=O,那么函数/（门会有什么特点呢

解在圆柱坐标系中，由VeF=lA[^（r）]=o

rdr

可得到

/（r）=-C为任意常数。

在球坐标系中，由V.F=-l—[r/（r）]=O

rdr

可得到/（D=^

给定矢量函数E=exy+evx,试求从点R（2,1,-1）到点P2（&2,-1）的线积分jE・d/：

（1）沿抛物线x=/：

（2）沿连接该两点的直线。

这个E是保守场吗

|Evdx+Evdy=Jydx+xdy=cc

（2）连接点A（2,l,-1）到点人（82-1）直线方程为

x-6y+4=0

故

jE・d/=JEdx+Evdy=Jyd（6y_4）+（6y-4）dy=j（12y-4）dy=14cc11

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

求标量函数^=x2yz的梯度及”在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量J嵩+ev捺+冬捺定出；求⑵3,1）点的方向导数值。

■・

ex2xyz.+evx2z+

故沿方向勺7掃f忌7島的方向导数为

6屮

点（2,3,1）处沿勺的方向导数值为

6”361660112

1F=W+W+75o=75o

试采用与推导直角坐标中"今+斜嚳相似的方法推导圆柱坐标下的公式

V.A=1—（Mr）+—+—ordrrd（f>dz

解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。

矢量场4沿-方向穿出该六面体的表面的通量为

算=JJ人丄+曲+心）"®-JJAr|frdrd^«

0Z0Z

[（r+Ar）Ar（r+A/\0,z）—rAr{r.札^）]A0za°%）ArA0z=-“儿）Ardrrdr

同理

r+3rz+Azr+Arz+H

JJAjgod/dz

-JfA^|^drdz«

oAaoAa

[比（几0+A0,z）-A0（/\0z）JAAz2—ArA^lz=—Ar

60rc

r+Ar什"

•d?

•d-jjAj.rdrd^^

r+Ar0+A0

JJAl

r0r

[A.（/\0,z+Az）一A：

（匚0z）]rArA^Aza

z+士

丝厂3△竝=丝厶『

dzdz

因此，矢量场4穿出该六面体的表面的通量为

匹=”,.+咒+氏

1—-

/•drrd（f）dz.

：

++——

"->（）△『rQr厂60dz

故得到圆柱坐标下的散度表达式竺=1°皿）丄讯丄汎

方程w=4+4+4给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单

/lrc"

位法向矢量。

解由于

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

现有三个矢量A、B、C为

A=ersin^cos（/>+eecos0cos0-％sin0B=erzrsin（j>+e^z2cos0+e:

2rzsin0C=ex（3y2-2x）+eyx2+e:

2z,

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示

（2）求出这些矢量的源分布。

解

（1）在球坐标系中

1__d_

rsinOdO

（sin&AG）+

rsin^d（/>

|Q|q]6

r—（尸sin&cos。

）+（sin&cos0cos0）+（—sin0）=

rorrs\n0dO厂sin&60

-sincos

rsin0dO

cos02sincoscos。

=ursin^

rsinOr

rsin^e.

丽

rsinOA^

rea

丽

rAe

r2sin0

sincos

~dO

厂COS。

COS0

rsinOe^

d（t>

一厂sinOsin。

故矢量4既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

2]60Q、1SB,6B・

V>B=（叫）++—=

rdrrd（/>dz

IO/。

•八15.7八八

（7z~sin0）+（z"cos°）+—（2rzsin°）=rdrrd（/>dz

Fsin。

z’sin0•夂°・人

一+2rsin（p=2rsin（/>

5"eez

Sreeez

ddd

drd（f>dz

drd（f>dz.

Br叫B.

z2sin^rz1cos^2/7sin

VxB=-

故矢量〃可以由一个标量函数的梯度表示;

直角在坐标系中

"二些+些+些=

dxdydz

d.d.d

-（3/-2x）+—（x2）+-（2z）=0oxdyoz

VxC=

=e：

（2x-6y）

6dddxdydz3b_2xx22z

故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

V>B=2rsin^,VxB=0:

V.C=0,VxC=c:

（2x-6y）

利用直角坐标，证明

V.（/4）=/V.A+A.V/

解在直角坐标中

罕讐“羡诗+A

oyozoxcy

（/讐+谱）+（/讐+A孚）+（『讐+谱）=

oxoxoyoydzcz

歆凤）+舟備）+舟

证明

V.（Ax/7）=H

解根据▽算子的微分运算性质，有

Ve（Ax/f）=V4e（Ax/7）+Vz/e（AxH）

式中V.4表示只对矢量A作微分运算，J表示只对矢量H作微分运算。

由a^bxc）=c^{axb）,可得

同理

故有

Va.（AXH）=H.（yAxA）=//

Vz/e（AxH）=-Ae（Vz/xH）=-A«（VxH）

VVxH

利用直角坐标，证明

Vx（/G）=/VxG+V/'xG

解在直角坐标中

e厂刃QG.dGdGx0G・、dGv

/VxG=/[ev（-^-—）+ev（-^--^）+r:

（—-^）Joyozozoxoxoy

WxG=6（qZ—G、.?

）+ey（G,Z—qZ）+£：

（Gy?

-G,oydzdzoxdx

所以

oycyczcz

ofdGdfdG

竹/于）-（0丄+/亠）]+

ozdzoxox

dfdG、・dfdG

呗（G、.丄+/于）_G吕+/—）]=

oxoxdyoy

6（/GJ8（/GJoyozdzdx

oxcy

dz.dx

利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明Vx（Vw）=O^V.（VxA）=O,试证明之。

解

（1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有

|（VxVz/）*d5=^）Vw>d/=<^^-d/scc$

由于曲面S是任意的，故有

Vx（Vm）=O

（2）对于任意闭合曲面s为边界的体积厂，由散度定理有

JV<（VxA）dr=^（VxA）

其中s和,如题图所示。

由斯托克斯定理，有

J（VxA）・dS=”d?

j（VxA）>dS=^A

S\Gs

由题图可知G和C,是方向相反的同一回路，则有fA.d/=-^A.d/GQ

所以得至UJ^e（VxA）dr=A>d/+Ad/=0

rc}c2c2c2

由于体积厂是任意的，故有V>（VxA）=O

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