电磁场与电磁波第三版课后答案第1章.docx

1、电磁场与电磁波第三版课后答案第1章第一章习题解答给定三个矢量A、B和C如下:A =ex+ev2-e:3B =Yv4 + qC = 5-0-2求：(1 ) aA : (2) |A-B|； (3) a； &肋;(5) a 在 B 上的分量;(6)AxC ；(7)A(BxC)和(Ax)C； (8) (AxB)xC 和 Ax(xC)。解ex+ey2-ez3Vl2 + 22+(-3)2 A-B =|(ex + ev 2 - e. 3) - (-e v 4 + e,) | = |cv +ey6-e.4| = -53(3) AB= (J +务2-3) (-j.4 +j) = 11(4 )由e,B = cos

2、 (- -y=) = 135.54B _ 11 _H_|A|B| V14xV17 7238(5)A在B上的分量 A = |A|cos%=节船(6)AxC =J ey ez1 2 - 35 0-2=一 “4一0、13-0.10x (7)由于BxC= 0 -4 1 =ev8 + ev5 + 205 0-2AxB =1 2 -3 = -et10-evl-e.40 -4 1所 以 xC) = (e* +e、.2e；3)(v8 + e.,5 + e：20) = 42(AxBC = (一e0-1 一e：4) 5-e：2) = -42 J 务e.(8)(AxB)xC= -10 -1 -4 =er2-ev40

3、 + e;55 0-25 5 冬Ax(BxC)= 1 2 -3 =耳55-e、44 一 e；ll8 5 20三角形的三个顶点为人(0丄-2)、P2 (4,1,-3)和P5 (6,2,5) o(1)判断是否为一直角三角形；(2)求三角形的面积。解(1)三个顶点片(0,1,-2)、/(4,1,-3)和璟6,2,5)的位置矢量分别 为2, r2=ex4+ey-ez3 f r3=ex6+ey2+ez5则 Rn=rir =4-e：, Riy=r-r2 =ex2 + ey+e.S ,尺31=斤_巧=一乙6_0_冬7由此可见RifRy = (v4-c.)(v2 + ev +e.8) = 0故纠出出为一直角三

4、角形。( 2 ) 三 角 形 的 面 积S = -|/?l2xl?23| = -|7?12|x|7?23|=丄 Vi7x 他= 17.132 2 2求P(-3丄4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。解 rpf=-ex3 + ey+ez4 , rp = j2yv2 + j3 ,且Rp、p与x、y、z轴的夹角分别为给定两矢量A=ex2 + ey3-e:4和 =54-匕5 +耳6,求它们之间的 夹角和4在B上的分量。解A与B之间的夹角为&AB一31V29x/77)=13A在B上的分量为 A厂4侖=7= = -3.532给定两矢量 A=ex2 + ey3-eA 和 B = -ex6-ey

5、4 + e：,求 AxB 在 C =乞- j+q上的分量。解 Ax= 2 3 -4 = -03 + y22 + e()-6 -4 1所以AxB在C上的分量为(AxB)c证明：如果 A.B = A.C 和 4xB = AxC,贝 Ub = C；解由 AxB = AxC ,则有 Ax(AxB) = Ax(AxC),即(AB)A 一 (AM)B = (AC)A 一 (AA)C由于AB=AC,于是得到 (AA)B = (AA)C故 B=C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么 便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，P = AX而P = AxX, P 和P已知，试求X。解由P = AxX

6、 9有AxP = Ax(AxX) = ()A (AA)X = pA AA)X故得 x = pA-AxPAM在圆柱坐标中，一点的位置由(4,年,3)定出，求该点在：(1) 直角坐标中的坐标；(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中 x = 4cos(2/3) = 2 y = 4sin(2/3) = 2 /3 Z = 3故该点的直角坐标为(-2,2点3)。(2)在球坐标系中 广=存厨=5、6 = tan_,(4/3) = 53.1 = 2/3 = 120故该点的球坐标为(5,53.1。, 120。)用球坐标表示的场E=e三,广(1 )求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的E和Ex ;(2)求在

7、直角坐标中点(-3,4,-5)处E与矢量B =ex2-ey2+ez构成 的夹角。解(1)在直角坐标中点(一3,4,-5)处,r2 =(-3)2+42+(-5)2 =50 , 故丄2尸 刀I创 q 1 一3 3近Er =eE =Ecos0 =x=- v r 1 1 rr 2 5/2 20(2)在直角坐标中点(-3,4,-5)处，r = -ex3 + eyA-ez5 ,所以厂 25 25r Yv3 + y4 - “510/2E = - 一故 E 与 B 构成的夹角为 0EB = cos-1 （/： ） = cos-1 （- = 153.6间网 3/2球坐标中两个点（斤0,0）和（巧,&2妙）定出两

8、个位置矢量&和 %。证明&和禺间夹角的余弦为cos 丫 = cos q cos 02 + sin 0 sin 02 cos( 0)解 由 R =exr sinq cos +ej sin sig +ej cosqR、= sin cos必 +ev/; sin0. sin% +ej; cos3得到cos/岡陶sin q cos 叭 sin & cos 必 + sin sin g sin 02 sin 0 + cos cos & =sin q sin (cos 叭 cos 0 +】sin 琳 sin 0) + cos q cos 0、=sin q sin 0 cos(g 0J + cos q cos

9、02一球面S的半径为5,球心在原点上，计算：43sin&)dS的S值。3sind/9=752解 g3sin&)dS =g3sin&)*erdS = jgjS o o在由r = 5、z = 0和乙=4囲成的圆柱形区域，对矢量A =err2 +e.2z 验证散度定理。解在圆柱坐标系中 V.A = - (rr2) + (2) = 3r + 2r dr dz.4 2才 5所以J A dr = jdzjdj (3r + 2)rd r = 1200/r r ooo又=rdr = J |J3r2sinrdr ooo求矢量A =exx+eyx2 +e.y2z沿心平面上的一个边长为2的正方 形回路的线积分，此正

10、方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 xA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。又所以故有Vx A =y y6 0dx dy= ex2yz + e:2x2 2V x Ad S = J J (ex 2yz + e: 2x)叫 dxdy = 8 0 0扌 Ad / =8 = j Vx Ad Sc s求矢量A = exx+eyxy2沿圆周x2 + y2 =a2的线积分，再计算VxA对 此圆面积的积分。解AdZ =(j)xdx + xydy= f(_fl2 cossin+a4 cos2 sin2 )d = c c i 4fVxA.dS = fe_(-).,d5= fy2dS= j f r2 s

11、in2 rddr = i idy f H 4证明：(1 ) ? = 3； (2) VxR = O : (3) V(A7?) = A 0 其中 R=exx + ery + ezz 9 a 为一常矢量。解(1) “占+警+鼻3ox cy czu d d d nox dy dzx y y(3)设A=exAx +eyAy +ezAz, ji! AR = Axx + Ayy + Azz ,故q eV(A7?) = rv (Axx + Av v + A. z) + e v (Axx + Ayy + A.z) +dx dyQez (Axx + Ayy + Azz) = ex +S4 +冬4 = A 6z一径

12、向矢量场F=erf(r)表示，如果VF=O,那么函数/(门会 有什么特点呢解 在圆柱坐标系中，由 VeF=lA(r) = or dr可得到/(r) = - C为任意常数。r在球坐标系中，由 V.F=-lr/(r) = Or d r可得到 /(D = r给定矢量函数E = exy + evx ,试求从点R(2,1,-1)到点P2(& 2,-1)的 线积分jEd/： (1)沿抛物线x = /： (2)沿连接该两点的直线。这 个E是保守场吗|Ev d x + Ev d y = J y d x + xd y = c c(2)连接点A(2,l,-1)到点人(82-1)直线方程为x-6y+4=0故2 2j

13、Ed/ = JE dx + Evdy = Jyd(6y_4) + (6y-4)dy = j(12y-4)dy = 14 c c 1 1由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数 = x2yz的梯度及”在一个指定方向的方向导数， 此方向由单位矢量J嵩+ ev捺+冬捺定出；求3,1)点的方向导数 值。 ex2xyz. +evx2z+故沿方向勺7掃f忌7島的方向 导数为6屮cl点（2,3,1）处沿勺的方向导数值为6” 36 16 60 1121F = W+W+75o = 75o试采用与推导直角坐标中今+斜嚳相似的方法推导 圆柱坐标下的公式V.A = 1(Mr) + + o r dr rd(f d

14、z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场4沿-方向 穿出该六面体的表面的通量为算=J J 人丄+曲 + 心)- J J Ar|frdrd0 Z 0 Z(r + Ar)Ar(r + A/0,z) rArr.札)A0z a %)ArA0z =-“儿)Ar dr r dr同理r+3r z+Az r+Ar z+HJ J Ajgod/dzr z-J f A|drdzoAa oAa比(几0 + A0,z)-A0(/0z)JAAz 2 ArAlz = Ar60 rcr+Ar 什? d? d- j j Aj.rdrdr+Ar 0+A0J J Alr 0 rA.(/ 0, z + Az) 一 A：(匚

15、0 z)rArAAz az+士丝厂3竝=丝厶dz dz因此，矢量场4穿出该六面体的表面的通量为匹=”,.+咒+氏 1 -/ dr rd（f） dz.： + + -（）r Qr 厂 60 dz故得到圆柱坐标下的散度表达式 竺=1皿)丄讯丄汎方程w=4+4+4给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单/ lr c位法向矢量。解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为现有三个矢量A、B、C为A=er sin cos(/ + ee cos 0 cos 0 - sin 0 B=erzr sin(j+ez2 cos0+e:2rzsin0 C =ex(3y2 -2x)+eyx2 +e:2z,(1)哪些矢量可以由一个

16、标量函数的梯度表示哪些矢量可以由 一个矢量函数的旋度表示(2)求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中1_d_rsinO dO（sin&AG）+rsin d（/| Q | q 6r (尸 sin & cos。) + (sin & cos 0 cos 0) + (sin 0)=r or rsn0 dO 厂 sin & 60-sin cosrsin0dOcos0 2 sin cos cos。 =u rsinddrArsinO rrsine.0d_丽rsinOAread丽rAe1r2 sin 0sin cosddO厂COS。COS 0rsinOed_d(t一厂sin Osin。=0故矢量4既可以由

17、一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函 数的旋度表示；在圆柱坐标系中2 6 0 Q、1 SB, 6BVB = (叫)+ + =r dr r d(/ dzIO/。 八 15.7 八 八 (7z sin 0) + (z cos ) + (2rz sin )= r dr r d(/ dzFsin。 zsin0 夂 人 一 + 2r sin (p = 2r sin(/5 e ezS ree ezd d d_ 1d d ddr d(f dzdr d(f dz.Br 叫 B.z2 sin rz1 cos 2/7 sin=0VxB = -r故矢量可以由一个标量函数的梯度表示;直角在坐标系中二些+些+些=

18、dx dy dzd . d . d-(3/-2x) + (x2) + -(2z) = 0 ox dy ozVxC = e：(2x-6y)6 d d dx dy dz 3b_2x x2 2z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为VB = 2rsin , VxB = 0 :V.C = 0 , VxC=c:(2x-6y)利用直角坐标，证明V.(/4) = /V.A + A.V/解在直角坐标中罕讐“羡诗+ Aoy oz ox cydz(/讐+谱)+(/讐+ A孚)+ (讐+谱)=ox ox oy oy dz cz歆凤)+舟備)+舟证明V.(Ax/7) = HVxA-A.Vx/f

19、解 根据算子的微分运算性质，有Ve(Ax/f) = V4e(Ax/7) + Vz/e(AxH)式中V.4表示只对矢量A作微分运算，J表示只对矢量H作微分运 算。由 ab xc) = ca xb),可得同理故有Va.(A X H) = H.(yAxA) = /VxA)Vz/e(AxH) = -Ae(Vz/ x H) = -A(VxH)VVxH利用直角坐标，证明Vx(/G) = /VxG + V/xG解在直角坐标中e 厂刃 QG. dG dGx 0G、 dGv/VxG = /ev(-) + ev(-) + r:(-)J oy oz oz ox ox oyWxG = 6(q Z G、.?) + ey

20、(G, Z q Z)+ ：(Gy?-G, oy dz dz ox dx所以门2 +可2 =叮(0纟+ /学)-、.纟+ /乞)+oy cy cz czof dG df dG竹/于)-(0丄+ /亠)+oz dz ox oxdf dG、 df dG呗(G、.丄 + / 于)_ G 吕 + / )=ox ox dy oy6(/GJ 8(/GJ oy oz dz dxox cydz. dx利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 Vx(Vw) = OV.(VxA) = O,试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯 定理有|(VxVz/)*d5 =)Vwd/ =-d/ s c c $由于曲面S是任意的，故有Vx(Vm) = O(2)对于任意闭合曲面s为边界的体 积厂，由散度定理有J V(V xA)dr = (Vx A)d 5=j(Vx A)S S +J(Vx A)dS=AdZS G sd / + Ad/ = 0r c c2 c2 c2由于体积厂是任意的，故有 V(VxA) = O