知识点：
函数在某点可导的充要条件
思路：
利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别
解：
帥弋+f（Xl：
⑴
.3X-1-2
=lim,=3
5x—1
x2+1-2
=lim=2
X—1
J1-
（1）
”f（x）在X=1处不可导.
★8.用导数的定义求f（X）=（
（x，帆1+x）,
X*0在X=0处的导数.
x>0
知识点：
函数在某点可导的充要条件
思路：
利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件
解:
40）弋+f（X］；（0）JWx）—0glimfdo）
^0—
X-0
=lim=1
J0+X-0
X—0
=lim=1
T—x—0
:
々0）=匚（0）/.f\0>f（O）fR）
|sinX,
★★9.设f（X）=J
LX,
Xv0,
X.0'求f（X）.
解：
当Xc0时，
f（x）=（sinX）'=cosx
当XA0时，
「（X）=x'=1
当X=0时，
N（0）=limJXT（0）
XT中X-0
f・（0）=limf（X）—f（0）_XT-x-0
二f（0）
=1
知识点：
分段函数的导数
思路：
分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导
=lim』=1t+x
rsinX
=lim=1
T-X
二f（X）
Jcosx,
=5
11,
Xc0
x>0
★★10.试讨论函数y=
jx2sin」.
X
0,
xHO在x=0处的连续性与可导性.
X=0
知识点：
函数在某点连续与可导的定义
思路：
利用函数在某点连续与可导的定义判断
21
解：
limf（x^limXsin=0=f（0）
二y=f（x）在X=0处连续.
&si-r1-
li且=lim
弹书Z也AAx
-肿[（M]0
2I
”y=xsi在x=0处可导.
X
★★11.设W（X）在X=a处连续，f（x）=（x2-a2）护（X）,求f'（a）.
知识点：
函数在某点处导数的定义思路：
利用导数的定义求导数
解:
W（x）在X=a处连续
「.lim护（X）=W（a）
二f（a）=limf（X）—f（a）TX—a
lim（X~a严（X）-0=lim（x+a）W（x）=2a申（a）TX-aF
x-a
★★12.设不恒为零的奇函数f（X）在X=0处可导，试说明X=0为函数
的何种间断点.
知识点：
导数以及间断点的定义思路：
利用导数的定义求极限
解：
；f（x）为奇函数”f（0）=f（_0）=_f（0）/.f（0>0
又f（X）在X=0处可导
f（x）-f（0），f（X）,
T少（x\0（（即四X'f（0）
匚凶在X=0处有极限.
X
”X=0为函数丄凶的可去间断点.
X
★★13.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间t的函数关系为
T=T（t）,应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？
知识点：
导数的定义
思路：
导数反映的是函数的变化率，在t时刻的冷却速度即为函数T=T（t）对时间t的导数
解:
t时刻该物体的温度为T=T（t）,则t+it时刻物体的温度为T=T（t+人t）.
二物体在t时刻的冷却速度
T（t+也t）—T（t）_dT
At
dtFt）.
★★★14.设函数f（X）在其定义域上可导
f（X）是偶函数，证明f'（X）是奇函数；若f（X）是奇函数，
则f'（X）是偶函数（即求导改变奇偶性）.
知识点：
导数的定义
思路：
利用导数的定义求导数
解:
若f（x）为偶函数时，f（—x）=f（x）
=&f2x）—f（x）
Ax
=_limf（x4x）—f（x）
-Ax
-f（x）
”f\x）为奇函数.
若f（x）为奇函数时，f（—x）=—f（x）
lim-f（x-WWI
Ax
=J『xZf（x）"x）
—Z
:
.f（x）为偶函数.
习题2-2
★1.计算下列函数的导数：
知识点：
基本初等函数的导数和导数的四则运算法则
思路：
利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数
（1）y=3x+57x;
解：
y'=（3x+57x）'=（3x）'+（5Vx）'=3+5
（2）y=5x2-3X+3ex；
解：
y=（5x2-3x+3ex）'=（5x2）'-（3x）'+（3ex）'=10x-3xln3+3ex
（3）y=2tanx+secx-1；
解：
/=（2tanX+secxT）=（2tanx）‘+（secx）'-
（1）=2sec2x+secxtanx
（4）y=sinxcosx；
解：
y=（sinxcosx）'=（sinx）'cosx+sinx（cosx）'=cos2x-sin2x=cos2x
（5）y=x3lnX；
解：
y，=（x31nX）'=（x3）'lnX+x3（lnx）'=3x2Inx+%3[_丄=x2（3lnx+1）X
x
（6）y=ecosx；
解:
y=（excosxV=（ex）*cos^ex（cosx^excosx-e*sinx
（7）亠
X
解：
y'=（lnx）'x—x'lnx
〔LJx-Inx
1—Inx
2
X
（8）y=（x-1）（x-2）（x-3）;
解：
y，=（x_1）'（x-2）（x-3）+（x_1）（x-2）（x-3）+（x_1）（x-2）（x-3）'
=（x-2）（x-3）+（X-1）（x-3）+（X-1）（x-2）
（9）s=禽
1+cost
解：
s-（1+sint）（1+cost）-（1+sint）（1+cost）'_cost（1+cost）-（1+sint）（-sint）
（1+cost）2
（1+cost）2
1+sint+cost
（1+cost）2
（10）
y=VXsinx+aXeX；
解:
y=（皈sinx）'+（aXeX）'=（Vx）'sinx+Vx（sinx），+（aX）g
1-■1
=一X3sinX+x3cosx+aXeXlna+aXeX3
（11）
y=xlog2X+1n2；
2
5x—3x+4
rx^1
（X2-1）2
解:
y,_（5x2-3x+4）（x2-1）-（5x2-3x+4）（x2-1）
（10-3x）（x2-1）-（5x2-3x+4）（2x）3（x2-6x+[）
（X2T）2
（X2-1）2
★2.计算下列函数在指定点处的导数：
利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数
知识点：
基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：
3
3—X
3
+—,求y（0）;
3
丄+x2
（3-X）2
1
"（0）二
⑵y=eX（x2—3x+1）,求y'（0）.
解：
八0X（x2-3x+1）]=eX（x2-3x+1）+eX（2x-3）=eX（x2-x-2）
y（0）=eX（x2-X-2）
★3.求曲线y=2sinX+X2上横坐标为X=0的点处的切线方程与法线方程
知识点：
导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：
利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率
解：
Ty'=2cosX+2x
”•.在X=0的点处切线的斜率k=y‘|x±=2cos0+2_0=2
又当X=0时，y=0
二在X=0的点处切线方程为y=2x，法线方程为y=-1x
2
1
★4.写出曲线y=x-—与
X
知识点：
导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则
思路：
利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率
11
解:
y，=（x-一）’=1+—f
XX
1
当y=0时，即X——=0解得x=1或一1/.曲线与X轴的交点为（1,0）,（—1,0）X
X轴交点处的切线方程.
「.点（1,0）处的切线的斜率为k,=y'|xm=2二切线方程为y=2（x-1），即y=2x-2
二点（一1,0）处的切线的斜率为k2=y'|x=4=2”切线方程为y=2（x+1），即y=2x+2
★5.求下列函数的导数：
知识点：
基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则
思路：
利用链式法则求复合函数的导数
（1）y=cos（4-3x）;
解：
y=[cos（4-3x）y（4-3x）'=-sin（4-3x）L（-3）=3sin（4-3x）
解：
y丄（6衣）’=/"（Jx2）'=-6xeE
⑶y=Ja2-X2
解-（a2-x2y
解：
y=
2
-x
⑷y=tan（x2）；
解：
y'=sec（x2）（x2）'=2xse（2（x2）
（5）
y=arctan©）；
解：
y'
（e）—1+@）2
ex
—1+e2x
（6）
y=arcsin（1-2x）；
解:
y*
1
Jx-X
（7）y=arccos8;
x
（b
解：
y'=-
1
ix|7X匸1
+tanx
secx
（secxtanx+secx）=secx
（9）y=ln（cscx-cotx）.
解:
y=（CSCX-cotX）‘=、（-CSCXcotX+csc2X）=cscx
CSCX-cotXcscX-cotX
★6.求下列函数的导数：
知识点：
导数的四则运算法则和复合函数的求导法则
思路：
禾U用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数
⑴y=（2+3x2）j1+5x2;
2
解：
y'=（2+3x2）'j1+5x2+（2+3x2）&+5x2）'二^16^45^^71+5x2
（2）y=1njx+jmx；
解：
八*（Q'+翳
1+
1+7X心k；
y=1-VX（1+7X）,=1-7X2?
X'（1+依）
1+仮U-仮丿
1+7X
（1-仮）2
（1-x），JX
y=lntanX;
2
1
解：
y'=
tan°
2
（tan|^1
tan|
2x1sec一一22
1
==cscx
sinX
（5）y=|nInX；
1
解：
y，=（lnX）'=
lnX
xlnx
（6）y=xJ-x2+arcsinx；
解:
y=J1-X2+X債1-x2），+
二J]-X2+x
—2x
2J1-X2
2J1-X2
x2
（7）y=（arcsin5）；
解:
y/arcsinf（arcsin»2arc曲
2arcsin^
2j4-x2
（8）y=J1+ln2x;
2lnx（lnX）'
2J1+In2x
2J1+ln2x
_2lnX]（1x）
2J1+In2X
Inx
xj1+ln
2x
_、arctan我
（9）y=e*
解：
y'=earctan、匚（arctanJX）'=e'
arctan^i^x
1+（7x）2
arctan^x
=e
1
1+x2
1
2VX
arctan战
e
2^X（1+x）
（10）y=10xtan2x
解：
y，=10xtan2x.ln10（xtan2x）'=10xtan2xln1O[tan2x+xsec2x（2x）1
=10仙2xIn10（tan2x+2xsec2x）
j4x
（11）y叫耳
1
解：
y=-[lne4x—In（e4x+1）]=2x
2
14x
—ln（e+1）
2
”y'=[2x-—ln（e4x+1）]'=2——
22
（e4x+1y2e4x
=2一齐
e4x+1
丄in21
（12）y=ex
.21..21_sin_-1_sin-
解：
y'=ex（-sin2-）'=ex
x
（-2sin丄）
x
（si门丄厂二©^J（—2sin丄）（cos-）‘（丄）'
xxxx
1_ain2l2
=—eXgin-
xx
★★7.设f（x）为可导函数，求dy：
dx
知识点：
复合函数的导数
思路：
利用链式法则求复合函数的导数
⑴y=f（x3）；
解:
f\x3）（x3/=3x2f（x3）
22
⑵y=f（sinX）+f（cosx）;
解：
y'=f'（sin2x）（sin2x/+f'（cos2x）（cos2x^sin2x[f'（sin2x）—f'（cos2x）]
1
（3）y=f（arcsin-）.
x
解：
y，=f（arcsin、-（arcsin丄）’=f'（arcsin丄）1xx
=-f（arcsin1）”.
x|x|Vx2-1
★★8.设f（1-x）=xe7,且f（X）可导，求f'（X）.
知识点：
抽象函数的导数
思路：
利用换元法求函数表达式，然后求导数
解:
令1_x=t,则X=1-t
”f（t）=（1-t）e工H=（1_t）eM
f（x）=（1-x）eX」
”f'（X）=[（1-x）eX」r=（1-X）g5+（1-x）（e4）'=—xeX」
★★9.设f（u）为可导函数，且f（x+3）=X5，求f\x+3）,f'（X）.
知识点：
复合函数的导数
思路：
f（X+3）表示对（X+3）的导数，f'（X）表示对x的导数，注意求导的变量
解:
由f（x+3）=x5有f（x+3）=[（x+3）-3]5
・44
f（x+3）=5[（x+3）-3]1=5x
令X+3=t,则X=t-3
f（t）=（t-3）5二f（x）=（x-3）5
54
二f'（x+3）=（x）'=5x
1X
★★10.已知f（-）=，求f'（X）.
X1+x
知识点：
抽象函数的导数
思路：
利用换元法求函数表达式，然后求导数
1
解：
令一=t,则
X
1
二心七
1+丄
t
—1+t
1
f（x）=—
21
★★11.已知申（X）=af（x）,且f'（X）=
f（x）lna
f2（x）
证明W'（X）=2®（x）.
知识点：
复合函数的导数思路：
利用链式法则求导数
f2（x）
解^（x）=a^（x）Ina[f2（x）f=2af'（x）lna”f（x）f（x）
11
由口，得f3f（x）石
「W（x）=2af2（x）=2®（x）
★★12.设f（X）在（二，咼）内可导，且F（x）=f（x2-1）+f（1-x2）,证明：
F'
（1）=F'（-1）
知识点：
复合函数的导数思、路:
利用链式法则求导
解：
由F（x）=f（x2-1）+f（1-x2）,有
F'（X）=f（x2-1）2x+f（1-X2）（-2x）
/.F'
（1）=2f'（0）-2f'（0）=0
F'（-1）=—2f'（0）+2f'（0）=0
★13.求下列函数的导数：
知识点：
复合函数的导数思路：
利用链式法则求导数
（1）y=ch（shx）;
解：
y'=sh（shx）（shx）'=sh（shx）“chx
（2）y=shx■echx;
解：
y=（shx），€chx+shx■echx（shx/=chx+shx■echx£hx=echx（chx+shx）
⑶y=th（lnx）；
11
解：
八齐（lnx）、x：
c亦
（4）y=shx+ch2x；
（5）
y=arch（e2x）；
解：
y'=3sh2x（shX'+2chx（chx）'=3sh2xchx+2chxshx
八[arch（e2x）]'=-^=4=（6）
2
y=arsh（1+x）.
2x
（1）
y=x5+4x3+2x;
y'=5x4+12x2+2
y”=20x3+24x
3x-2
y=e
解:
/=e3x-©x-e^Ve3^
八3e3x-（3x-2y=9e3u
（3）y=xsinX；
解：
y=x'sinX+x（sinx）'=sinx+xcosxy"=（sinx）’+x'cosx+x（cosx）‘=2cosx-xsinx
（4）y=e丄sint；
（cost-sint）
-sint）’=-2^tcost
解:
y'=（e丄）'sint+epsint）'=ey”Ne^Hcost-sint）+e丄（cost
（5）y=J1-x2；
2J1-X2
X
J1-x2
y”xM1-X2-x（J1-X2），
J1-x2-x（-x\/1-x2）
（T^）2
1-x2
J（1-x2）3
（6）y=1n（1-x2）;
-（1-X2）'
解:
八口
2x
1-x2
y"
（2x）（1-x2）-2x（1-x2）'
2（1+x2）
（1-x2）2
“2x2
（1—X）
（7）y=
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