第二章导数与微分课后答案.docx

1、第二章导数与微分课后答案错误!找到引用源。第二章 导数与微内容概要主要内容f(x o+ ix)-f(Xo) f(x02毋 zx I- f (Xo +h)- f (Xo) f (Xo) =hmf (xo) = lim f(x) f(Xo)To X -X(1)导数的四则运算法则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.u(x) +v(x)r =(x) +v(x).u(x) v(x)f =ux)v(x)+ u(x)V(x).譽,(x)v(x)2u(xM(x)(v(x)ho) v(x)v* 2(x)复合函数的求导法则(链式法则)dy dy dudx du dx(1)(1)求隐函数的

2、导数时，只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量 x求导,凡遇到含有因变量 y的项时，把y当作中间变量看待，再按照复合函数求导法则求之，然后从所得等式中解出 虫， dx 对数求导法：对幂指函数y = u(X)v(x)，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量X求导，最后解出所求导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数，即1f (X)=石，其中X =d(y)为y = f (x)的反函数 叫y)习题2-1课后习题全解 1.用定义求函数y = x3在X =1处的导数.知识点:思路：函数在某点处导数的定义按照三个步骤：（1）求增量；（2）算比值；（3）求极限解:Ay = (1 + 3)3 -13

3、 =3Ax +3Gix)2 +(ix)3Ay 2=3 +3Ax +(Ax)Ax Ay 2y 1心=四总=四(3十3心x+ex) )=3 2.已知物体的运动规律 s = t2 （m）,求该物体在t = 2（s）时的速度.知识点：导数的定义 思路：根据导数的定义，按照三个步骤求导v|th 鹦At=I冋(2+时一 22 pm =4 d At 口 AtAt3.设f x0）存在，试利用导数的定义求下列极限:知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式lim f (Xo中；-f (Xo) = f-(xo)求极限f(Xo -Ax)-# (Xo)AmP Axf (Xo -4) - f (Xo) f (Xo-也x)

4、 f(Xo) 、fe ZX 一 兀一f wf (Xo +h)-f (Xo -h)lim T hf (xo 中 h) f(Xoh) f(Xo+h)f(Xo) +f(Xo)f(Xo h)lim =lim hT h T h-h (1)解:解:hlimfX+h)-)讪T h hT f (Xo +比X)-f(XoMx) (3) IjmAt納.f (Xo +也X)- f (Xo -2也X) 解：lim = limA-o 2 Ax2Zf (Xo +也X)- f (Xo) + f (Xo) - f (Xo -2Ax)2也X顶牛fu雪汽严-2恢)+伦戸討xo) 4.设 f (x)在 x=2 处连续，且 lim

5、1=2 ,求 f(2). T x-2知识点：导数和连续的定义 思、路:关键求出f (2),再利用导数的定义解: ； f(x)在x=2处连续f(x)f(2) =Hm2f(x)又 lim f(X)= lim( x -2) = lim( x -2) lim = 0 -lim = 0T T X-2 T Tx-2 7x-2二 f(2) =0=ixm/(x)fx-2= lim =2Tx-2 5.给定抛物线 y2=X -X + 2 ,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解：y = 2x-1 切线的斜率 k = ylx二=2j-1 =1二切线的方程

6、为y-2 =1(x-1),即y = x+1法线方程为y 2 = (1)(x 1),貝卩y = X + 3 6.求曲线y = ex在点(0，)处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:y，=eX 切线的斜率 k = y，|x=e0=1二切线的方程为y1=x0),即y=x+11法线方程为y -1 = 一一(X 0),即y = -x +11x2 +1,.3x 1, 7.函数 f (x) = 0 X 1在点X =1处是否可导？为什么？1 0知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件解:40）弋+f（X；（

7、0）JWx）0 glim fdo）0 X-0=lim =1J0+ X-0X 0=lim =1Tx 0:0)=匚(0) /. f0 f (O) f R)|si n X, 9.设 f(X)= JL X,X v0 ,X.0求 f(X).解：当X c 0时，f (x) = (sin X) = cosx当X A 0时，（X）=x=1当X = 0时，N(0)=limJXT(0)XT 中 X-0f(0)=lim f(X)f(0) _ XT- x-0二 f (0)=1知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导=lim=1 t+xr sin X=lim = 1

8、T- X二 f（X）Jcosx,=511,X c0x0 10.试讨论函数 y =jx2s in.X0,xHO在x=0处的连续性与可导性.X =0知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断2 1解：lim f(xlim X sin =0 = f(0)二y = f (x)在X = 0处连续.& si-r1 -l i 且=l i m 弹书Z 也A Ax-肿(M 02 I” y=x si 在 x=0 处可导.X 11.设W(X)在 X =a处连续，f(x) =(x2 -a2)护(X),求 f(a).知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数解: W(x)

9、在X = a处连续.lim 护(X)=W(a)二 f (a) =lim f(X)f(a) T Xalim(X a 严(X)-0 = lim(x + a)W(x) = 2a申(a) T X-a Fx-a 12.设不恒为零的奇函数 f(X)在X = 0处可导，试说明X = 0为函数的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义 思路：利用导数的定义求极限解：；f(x)为奇函数 ” f (0) = f (_0) =_f(0) /. f(0 0又f(X)在X =0处可导f(x)- f( 0) ， f (X) ,T少(x0 ( (即四 Xf(0)匚凶在X =0处有极限.X”X = 0为函数 丄凶 的可去间断

10、点.X 13.当物体的温度高于周围介质的温度时 ，物体就不断冷却，若物体的温度 T与时间t的函数关系为T =T(t),应怎样确定该物体在时刻 t的冷却速度？知识点：导数的定义思路：导数反映的是函数的变化率，在t时刻的冷却速度即为函数 T =T(t)对时间t的导数解:t时刻该物体的温度为T=T(t),则t+it时刻物体的温度为T =T (t +人t).二物体在t时刻的冷却速度T(t +也t) T(t) _dTAtdt Ft). 14.设函数f (X)在其定义域上可导f(X)是偶函数，证明f (X)是奇函数；若f (X)是奇函数，则f (X)是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利

11、用导数的定义求导数解:若f (x)为偶函数时，f(x)=f(x)=&f2x) f(x)Ax=_ lim f(x4x) f(x)-Ax-f(x)”f x)为奇函数.若f (x)为奇函数时，f(x)= f(x)lim -f(x-WW IAx=JxZf(x)x)Z:.f (x)为偶函数.习题2-2 1.计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)y =3x+57x;解：y=(3x+57x) = (3x) + (5Vx) = 3+ 5(2) y =5x2 -3X +3ex；解：y =(5x2-3x +3ex) = (5x

12、2)-(3x) + (3ex) = 10x-3xln3 +3ex(3)y =2ta nx+ secx-1；解：/ =(2tan X +secx T) = (2tan x) + (secx) -(1) = 2sec2 x+secxtanx(4) y =sin x cosx ；解： y =(sinx cosx) = (sinx)cosx +sinx(cosx)= cos2x-sin2x = cos2x(5) y =x3ln X；解：y，=(x31n X) =(x3)ln X +x3(ln x) = 3x2 In x+ %3_丄=x2 (3ln x+1) Xx(6)y =e cosx；解:y =(e

13、x cosxV = (ex)*cosex(cosxex cosx -e* sin x(7)亠X解：y = (ln x)xxlnxLJx-Inx1 Inx2X(8)y =(x-1)(x-2)(x-3);解：y，= (x_1)(x-2)(x-3) +(x_1)(x-2)(x-3) + (x _1)(x-2)(x-3)=(x -2)(x -3) +(X -1)(x -3) +(X -1)(x -2)(9)s=禽1 +cost解：s -(1+sin t)(1 +cost) -(1 +sin t)(1 + cost) _ cost(1 +cost) -(1 +sin t)(-sint)(1 +cost)

14、2(1 + cost)21 +sin t +cost(1 +cost)2(10)y =VXsi nx + aXeX；解:y =(皈 si nx) + (aXeX) =(Vx)si nx + Vx(si nx)，+(aX) g1 - 1=一 X 3 sin X +x3 cosx +aXeX ln a +aXeX 3(11)y =xlog2 X +1 n 2；25x 3x+4r x1(X2 -1)2解:y, _(5x2 -3x+4)(x2 -1)-(5x2-3x+ 4)(x2 -1)(10-3x)(x2 -1)-(5x2 -3x +4)(2x) 3(x2 -6x +)(X2 T)2(X2-1)2

15、2.计算下列函数在指定点处的导数：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：33X3+ ,求 y(0);3丄+x2(3-X)21(0)二 y =eX(x2 3x +1),求 y(0).解：八0X(x2 -3x +1) =eX(x2 -3x + 1) + eX(2x-3) =eX(x2-x-2)y(0) =eX(x2 - X -2) 3.求曲线y = 2sin X + X2上横坐标为X = 0的点处的切线方程与法线方程知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得

16、切线的斜率解：Ty = 2cos X +2x”.在X = 0的点处切线的斜率k = y |x = 2cos0 + 2_0 = 2又当X = 0时，y = 0二在X = 0的点处切线方程为 y = 2x，法线方程为y =-1x21 4.写出曲线y=x-与X知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率1 1解:y，= （x-一） = 1 + fX X1当y=0时，即X =0 解得x=1或一1 /.曲线与X轴的交点为（1,0）, （1,0） XX轴交点处的切线方程.点（1,0）处的切线的斜率为k,=y|xm = 2二

17、切线方程为y=2（x-1），即y = 2x-2二点（一1,0）处的切线的斜率为k2 = y |x=4 = 2 ” 切线方程为y = 2（x + 1），即y=2x + 2 5.求下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则思路：利用链式法则求复合函数的导数(1) y=cos(4-3x);解：y = cos(4-3x) y (4 -3x) = -sin(4 -3x)L(-3) = 3sin(4 -3x)解：y丄(6衣)=/ (Jx2) = -6xeE y = Ja2 -X2解-(a2-x2y解：y =2-x y=tan(x2)；解：y = sec(x2) (x2) = 2xse

18、(2(x2)(5)y =arcta n)；解：y(e) 1 +)2ex1+e2x(6)y = arcsi n(1 -2x)；解:y*1Jx-X(7) y= arccos8 ;x(b解：y = -1ix|7X匸1+ tan xsecx(secxtan x + sec x) = secx(9) y=ln(cscx-cotx).解:y = (CSCX - cot X) = 、(- CSC X cot X + csc2 X)= cscxCSCX - cot X csc X - cot X 6.求下列函数的导数：知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：禾U用导数的四则运算法则和复合函数的求导

19、法则求导数 y =(2+3x2)j1+5x2;2解：y = (2+3x2)j1+5x2 +(2+3x2) &+5x2)二1645 71+5x2(2)y =1 n jx +jmx；解：八* (Q +翳1+,1+7X 心k；y = 1 -VX(1+7X), = 1-7X 2?X (1+ 依)1 +仮U -仮丿1+7X(1-仮)2(1-x)，JXy =ln tan X;21解：y= ta n2(ta n| 1tan|2 x 1 sec 一 一 2 21= =cscxsin X(5)y =|n In X；1解：y，= (ln X)=ln Xxln x(6)y =x J -x2 + arcsinx；解:

20、y = J1 -X2 + X 債1 -x2)，+二 J - X2 +x2x2 J1 - X22J1-X2x 2(7) y = (arcsin 5)；解:y/arcsinf(arcsin2arc曲2arcs in2 j4-x2(8) y = J1 +ln2x;2ln x(ln X)2J1+I n2x2J1 +ln2x_ 2ln X(1x)2J1+In2 XIn xxj1 + ln2x_、 arcta n 我(9) y =e *解：y = earctan、匚(arctanJX) = earcta nix1 +(7x)2arcta n x=e11+x212VXarcta n 战e2X(1+ x)(1

21、0)y =10xtan2x解：y，=10xtan2x .ln10 (xtan2x)=10xtan2xln1Otan2x +xsec 2x (2x)1=10仙2x In 10(tan 2x + 2xsec 2x)j 4x(11)y叫耳1解：y=-ln e4xIn(e4x+1)=2x214xl n(e +1)2”y=2x- ln(e4x +1) = 2 2 2(e4x+1y 2e4x=2 一齐e4x+1丄in21(12) y =e x.21 . .21 _sin _ - 1 _sin -解：y = e x (-sin2- ) =e xx(-2sin 丄)x(si门丄厂二 J(2sin 丄)(cos

22、-) (丄)x x x x1 _ain2l 2=e Xgin-x x 7.设f (x)为可导函数，求dy：dx知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数 y = f (x3)；解:f x3) (x3/= 3x2 f (x3)2 2 y = f (sin X)+ f (cos x);解：y= f(s in 2x) (s in2 x/ +f (cos2 x) (cos2 x si n2xf(si n2 x) f(cos2 x)1(3) y = f (arcsin -).x解：y，= f (arcsin、-(arcsin 丄)=f (arcsin 丄)1 x x=-f (arcsin1

23、) ” . x |x|Vx2-1 8.设 f (1 -x) =xe7 ,且 f(X)可导，求 f (X).知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令 1 _x =t ,则 X =1 -t”f(t) =(1-t)e工H =(1_t)eMf(x) =(1-x)eX”f(X)=(1-x)eXr = (1-X)g5+(1-x)(e4)= xeX 9.设 f (u)为可导函数，且 f(x +3) =X5，求 f x +3), f(X).知识点：复合函数的导数思路：f （X +3）表示对（X +3）的导数，f （X）表示对x的导数，注意求导的变量解:由 f(x+3)=x5 有 f

24、 (x+3) =(x + 3)-35 4 4f (x+3) =5(x + 3)-3 1=5x令 X +3 =t,则 X =t -3f(t)=(t-3)5 二 f(x)=(x-3)55 4二 f(x + 3) = (x ) = 5x1 X 10.已知 f （-）= ，求 f （X）.X 1 +x知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数1解：令一 =t,则X1二心七1+丄t1+t1f(x)= 2 1 11.已知申(X) =af (x),且 f (X)= f (x)ln af2(x),证明 W (X)=2(x).知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数f2(x)解(x)

25、 =a(x) Ina f 2(x)f =2af(x) lna ”f(x) f(x)1 1由 口，得 f3f（x）石W(x)=2af2(x)=2(x) 12.设 f (X)在(二，咼)内可导，且 F(x)= f(x2 -1)+f(1-x2),证明：F(1) = F(-1)知识点：复合函数的导数 思、路:利用链式法则求导解：由 F(x) =f(x2-1) +f (1-x2),有F (X)= f (x2 -1) 2x + f (1 -X2) (-2x)/. F(1) = 2f(0)-2f(0) = 0F(-1) = 2f (0) +2f(0) =0 13.求下列函数的导数： 知识点：复合函数的导数

26、思路：利用链式法则求导数(1) y =ch(shx);解：y = sh(shx) (shx) = sh(shx) “chx(2) y =shx echx;解：y = (shx)，chx +shx echx (shx/ = chx + shx echx hx= echx(chx+ sh x) y =th(ln x)；1 1解：八齐（lnx）、x：c亦(4) y =shx +ch2x；(5)y =arch(e2x)；解：y = 3sh2x (shX + 2chx (chx) =3sh2x chx + 2chx shx八arch(e2x) = -=4= e2x 心-=4=(6)2y =arsh(1

27、+ x ).2x(1)y =x5 +4x3 +2x;y = 5x4 + 12x2 +2y” = 20x3 +24x3x-2y =e解:/ = e3x- x-eVe3八 3e3x- (3x-2y=9e3u(3) y =xsin X；解：y = xsin X + x(sin x) =sin x + xcosx y =(sin x) +xcosx +x(cosx) = 2cos x - xsin x(4)y =e丄 sint ；(cost -sint)-si nt) = -2t cost解:y = (e丄)sint+epsint)=e y” NeHcost -sint) +e丄(cost(5) y = J1 - x2 ；2J1-X2XJ1 -x2y” xM1 -X2 -x( J1 -X2 )，J1 -x2 -x(-x/1-x2)(T)21-x2J(1-x2)3(6) y =1 n(1 -x2);-(1-X2)解:八口2x1-x2y(2x)(1-x2)-2x(1-x2)2(1+ x2)(1-x2)2“ 2x 2(1 X )(7) y =