五、正多边形和圆
1、有关概念
正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距
2、方法思路:
构造等.腰.(等.边.)三角形、直.角.三角形,在三角形中求线、角、面积。
六、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2r,l=
n
180
r
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S
圆=r
2
,
S扇形=
n
r
360
2
,或S
1(即S
扇形=lr
2
扇形=
2
nr=lr
3602
1)
S圆锥=
r
底面圆l
母线
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即:
割补法(和差法)→进行等量代换
与圆有关的计算
一、周长:
设圆的周长为C,半径为r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.
①圆的周长:
C=2πR;②扇形的弧长:
nr
l。
180
例题1.(05崇文练习一)某小区建有如图所示的绿地,图中4个半圆,邻近的两个半圆相切。
两位老人同时
出发,以相同的速度由A处到B处散步,甲老人沿ADA1、A1EA2、A2FB的线路行走,乙老人沿ACB的
线路行走,则下列结论正确的是()
(A)甲老人先到达B处(B)乙老人先到达B处(C)甲、乙两老人同时到达B处(D)无法确定
例题2.如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF⋯叫做正三角形的“渐开线”,其中CD、DE、EF⋯的圆心依次按A、B、C循环,将
它们依次平滑相连接。
如果AB=1,试求曲线CDEF的长。
例题3.(06芜湖)已知如图,线段AB∥CD,∠CBE=600,且
AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm,⊙O的半径为10cm,从A到D的表面很粗糙,求⊙O从A滚动到D,圆心O
所经过的距离。
例题4.如图,一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑
动旋转直至回到原出发位置时,则这个圆共转了()圈。
A4B3C5D3.56.
例题5.(08大兴二模)如图,一个人握着板子的一端,另一端放在圆柱上,某人沿水平方向推动板子带动圆
柱向前滚动,假设滚动时圆柱与地面无滑动,板子与圆柱也没有滑动.已知板子上的点B(直线与圆柱的横
截面的切点)与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm,当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时,
人前进了_________m.
例题6.(08房山二模)如图,∠ACB=60,半径为2的⊙0切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则
当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为.
二、面积:
设圆的面积为S,半径为r,扇形的面积为S扇形,弧长为l.
①圆的面积:
2
Sr②扇形的面积:
21
nr
S扇形lr③弓形面积:
3602
SSS
弓形扇形
例题1.(05丰台练习二)如图,△ABC内接于⊙O,BD是⊙O的直径,如果∠A=120°,CD=2,则扇形
OBAC的面积是____________。
例题2.(江西省)如图,⊙A、⊙B、⊙C两不相交,且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形(即三个阴影部
分)的面积之和为()
A
12
2B
cm
8
2C
cm
6
2D
cm
4
2
cm
例题3.(08大兴)北京市一居民小区为了迎接2008年奥运会,计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化,如图阴影部分为绿化
地,以A、B、C、D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径,已测得AB6m,则绿化地的面
积为()
mA.18πB.36πC.45
2
4
πD.
9
2
π
例题4.如图,⊙O的半径为20,B、C为半圆的两个三等分点,A为半圆的直径的一个端点,求阴影部分的面积。
例题5.(08房山)如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案,其图案设计是:
①三等分AD(AB=BC=CD)②以点A为圆心,以AB
长为半径画弧,交AD于B、交AG于E;③再分别以B、E为圆心,AB长为半径画弧,交AD于
C、交AG于F两弧交于H;④用同样的方法作出右上角的三段弧.图2是用图1所示的四块地砖
2
铺在一起拼成的大地砖,则图2中的阴影部分的面积是_______cm(结果保留).
例题6.(08西城)如图,在RtABC中,BAC90,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点
A
C
D,则阴影部分的面积是.
D
B
例题7.(08朝阳)已知:
如图,三个半径均为1m的铁管叠放在一起,两两相外切,切点分别为C、D、E,直
线MN(地面)分别与⊙O2、⊙O3相切于点A、B.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)请你直接写出图中最
上面的铁管(⊙O1)的最低点P到地面MN的距离是______________m.
例题8.(08海淀)如图,一种底面直径为8厘米,高15厘米的茶叶罐,现要设计一种可以放三罐的包装盒,请你
估算包装用的材料为多少(边缝忽略不计)。
三、侧面展开图:
①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的;
②圆锥侧面展开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的。
例题1.(05丰台)圆柱的高为6cm,它的底面半径为4cm,则这个圆柱的侧面积是()
A.48
2
cmB.24
222
cmC.48cmD.24cm
例题2.(05丰台)如果圆锥的底面半径为4cm,高为3cm,那么它的侧面积是()
A.15
2
cmB.20
2
cmC.24
2
cmD.40
2
cm
例题3.(05海淀)如图圆锥两条母线的夹角为120,高为12cm,则圆锥侧面积为______,底面积为______。
例题4.(05朝阳)如果圆柱的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆柱的侧面积是()
A.10
22
cmB.10cmC.20
22
cmD.20cm
例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是()
2B.10πc2mC.12πc2mD.9πc2m
A.8πcm
四、正多边形计算的解题思路:
正多边形
连OAB
转化等腰三角形
作垂线OD
转化直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的知识进行求解。
例题1.(05朝阳)正n边形的一个内角是135,则边数n是()
A.4B.6C.8D.10
例题2.如图,要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形,得到正六边形,它的边长为__________。
例题3.如图扇形的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形,点C、D、E分别在OA、OB、AB上,过点A作AF⊥ED,交ED的延
长线于点F,垂足为F。
若正方形的边长为1,则阴影部分的面积为______。
(福建福州)