y/;
③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。
［例3］已知某质点振动的初位置j0=-O.3AJL|vo|=0.95^14。
由仗0=--^-=>0的可能值•00
由丿0的正负确定P的值.
注意！
由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始条件确定初相位。
2.
已知某质点的振动曲线求初相位：
H
若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t=0
时刻粛^振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。
[例4]一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。
求：
1）该质元的振动初相。
2）该质元在态A■B时的振动相位分别是多少？
解：
1）由图知初始条件为：
%>°
t=0时，丿o=-—A
2
由旋转矢量法知：
3.已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：
已知某时刻t的波形曲线求某点处质元振动的初相位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移力的大小正负及速度的正负。
y\
关键：
确定振动速度的正负。
O
矛法：
由波的传播方向，确定比该质
元先振动的相邻质元的位移y。
比较力
由图知：
r/VRj
和y。
若y>y（r则儿>°；若yvy。
，贝如0<0。
对于1:
[例5]—列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。
求：
1）该波线上点A及B处对应质元的振动相位。
2）若波形图对应（=0时，点A处对应质元的振动初相位。
3）若波形图对应2774时，点A处对应质元的振动初相位。
解：
1）由图知A、B点的振动状态为：
升=A"b=°
由旋转矢量法知:
2癱若波形图对应/=0时，兀
点A处对应质元的振动初相位：
04。
—2
3）若波形图对应2"4时，点A处对应质元的振动初相位:
兀2/r
心+°40=三•—0AO=°
求振动方程和波动方程
例1•—简谐波沿r轴正向传播，几=4m,T=4s,兀=0处振动曲线如图:
（1）
（2）
（3）
写出兀=0处质点振动方程;
写出波的表达式；
画出t=ls时的波形。
•
（1）y=Acos（3怙卩）；
/—2兀兀
A=血;3=—
由t=0，¥=VIcose；得。
=土;；又出＜0,所以卩=扌；
所以y=V2cos（-t+-）;
（2）u=—=1,y=V2cos[?
（t-x）+-]
23T23
2’
心）
y=・4cosGOOrt+
2）x=100m
[例2]—平面简谐波在t=o时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下,2=200/wo求：
1）该波的波动方程；
2）在距O点为〃加处质点的振动方程与振动速度表达式。
:
1）由题意知：
co—2^v=500^
2=200m
传播方向向左。
设波动方程为：
2/zx
y=Acos宓+^—+0o）
几7C
由旋转矢量法知：
0o=万
4
2tdc兀、
+—）
2004
/•y=Acos^OOrt）
4
$==—50ChE4sin^0Q?
rf+~~）
［例3］位于A，B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为兀，其A，B相距30米，波速为400米/秒，求:
A，B连线之间因干涉而静止各点的位置。
解：
取A点为坐标原点，A、B联线为兀轴，取A点的振动方程:
yA=Acosta+7T）轴上A点发出的行波方程：
▲z2亦、
yA=Acos宓+兀）
B点的振动方程：
yB=4cos宓+0）
k=0，±1，±2,…
轴上B点发出的行波方程：
儿=Acos0+O-空普凹］因为两波同频率同振幅同方向振动，所以相干为静止的点满足：
2"
IW
k=0,土1，±2,…
二可见在A、B两点是波腹处。
J30-x一
-30m>
^EiJH
B
»入射
冗、兀、
+严听）
又由x=0处，/=0时y—2Acos0=0且卩V0故有：
0=兀/2
以有y=2Acos（^^
D点的坐标代入上式，有
"°t、兀、c7兄/12
DT22
■
=-2Acos—cos（2龙—+—）
6T2
*73t兀
=-2AtCosQ”〒+；）=V3Asin2^U（SZ）
例5.设入射波的表达式为y产Acos271（：
+扌）在兀=0处发生反射，反射点为一固定端.设反射时无能量损失，求
（1）反射波的表达式；
（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置•解：
⑴反射点是固定端，所以反射有相位突变兀，且反射波振幅为A,因此反射波的表达式为y2=Acos[27r（x/2-r/T）+7r]
（2）驻波的表达式歹=%+J2=2Acos（27u/^+|7i）cos（27ir/T--7r）
（3）波腹位置：
2kx/2+—7t=rm
2
1
mt+—n
2
x=—hZ,兀=1,2,3,4,...
2
讨论：
平面波和球面波的振幅
借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化:
在均匀不吸收能量的媒质中传播的平
面波在行进方向上振幅不变。
证明：
因为
在一个周期F内通过S］和S?
面的能量应该相等
—pu（D2A^S^T=丄pua）2A^S^T
22
1LI」1
—puco2A^S（T=—pua）2AlS2T
22
球面波S]=4航;S2=4羁
所以振幅与离波源的距离成反比。
如果距波源单位品巨离的振幅为A
r
由于振动的相位随距离的增加而A门了、
落后的关系，与平面波类似，球J=—COS^--）面简谐波的波函数：
u
Hl
例6—个点波源位于O点，以O为圆心作两个同心球面，半径分别为R1、R2»在两个球面上分别取相等的面积ZS］和Zls2,U通过它们的平均能流之比Pi/P2为：
P=—pA2G）2uS
2
戸二戸
1R1rR2
—pA^CD2uSx=—p^2CD1uS2
A/4咨2=&24迅2n£=牛
I9I7
jFj=—pAxcouAS1P’=qpA2coA2_R；
2
习题
1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米,
时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为：
[c]
A）x=2cos（2M/34-/3^cm
=2cos（2加/3—2兀/
C）x=2cos&//3+2兀13）cm
D）x=2cos（4加/3—2兀/3）cm
4、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，
程分别为勺=0.05cos（tar+兀/4）
x2=O.OScosfer+19^r/12）
它们的振动方
（SI）
（SI）
1其合成运动的运动方程为"（0.05cos（N_尹
XIHplcosm
X2H0・1CossI2）Io
0
X3Ho・lcos（m+〈）—o
x（cg
6、两相干波源S］和S2的振动方程是必=Acos（m+；）y2=Acos^,S］距P点6个波长，S2^P点为13/4个波长。
两波在P点的相位差的绝对值为？
？
13
△x=6兄Ax2=——A
124
=Acos\a）（t+
u2
Ajr
2兀八132,
0厂〒（1石）
T4u
［例］一平面简谐波沿&轴的负向传播，波长为八F处质点的振动规律如图。
求：
1）P处质点的振动方程。
2）该波的波动方程。
3）若图中乙=¥，求坐标原点0处质点的振动方程。
:
1）设P点的振动方程为：
yp=Acos0+0o）
由旋转矢量法知：
00=兀
（o=^-=—y=
KBflAZ22
2）设B点距O点为小则波动方程为：
—cosS辺口+刃
22
3）
-/x=0d=—y=Acos—t
fX
4
u=—
7T
j=0.01cos（4^—^zx——）:
.a）=4（pQ=—
x=5m处的振动方程为：
y=O.Olcos&r—5兀—扌）=O.Olcos^—~
反射波在该点引起的振动方程为：
y=0.01cos（4Z—+兀）=O.Olcosgt—】了）
反射波的波函数为：
y=0.0lcos|4（Z-乞）-W]u3
=0.0lcos--—]
u.3
=0.0lcos（4Z+7vc——）
I
•/y=0.0lcos—tzx—彳）
O点的振动方程为：
y=0.0lcos（4Z—
反射波到达x处引起的振动方程即波函数为:
y=0.0lcos[4（Z————
u3
=0.0lcos-5+5—）———tt]
u3
=O.Olcos^+7tr—IOtf]
4冗3
or:
=0.0lcos+7zx——]
or:
=0.0lcos+tzx+^^1
升级会员 