届湖南省长郡中学高三下学期第三次高考适应性考试数学文试题及答案.docx
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届湖南省长郡中学高三下学期第三次高考适应性考试数学文试题及答案
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湖南省长沙市长郡中学
2020届高三毕业班下学期第三次高考适应性考试
数学（文）试题
本试题卷共8页，全卷满分150分。
注意事项：
1.答题前，考生可能需要输入信息。
请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答：
请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑,或者在空白纸张上注明所写题目,然后开始作答。
一、选择题：
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
集合N＝{x|x2－3x＋2≤0},则M∩N＝
A.
B.{1}C.{2}D.{1,2}
2.已知单位向量a满足等式2|a|＝|b|,|a＋2b|＝
则a与b的夹角为
A.30°B.60°C.90°D.120°
3.己知a>0,函数f（x）＝ax2＋bx＋c。
若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0,则下列选项的命题中为假命题的是
A.
x∈R,f（x）≤f（x0）B.
x∈R,f（x）≥f（x0）
C.
x∈R,f（x）≤f（x0）D.
x∈R,f（x）≥f（x0）
4.已知某函数图象如图所示,则图象对应的函数可能是
A.f（x）＝e|x|－|x|B.f（x）＝e|x|－2x2C.f（x）＝
D.f（x）＝e|x|－x2
5.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：
他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米。
当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米……,所以,阿基里斯永远追不上乌龟。
根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时,乌龟爬行的总距离为
A.
B.
C.
D.
6.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn＝（－1）nan＋
则S1＋S3＋S5＝
A.0B.
C.
D.
7.已知数据1,2,3,4,x（0A.
B.
C.
D.
8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成,其三视图如图所示,其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2,正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形,则该几何体的体积为
A.
B.
或
C.
D.
或6
9.已知函数f（x）＝
g（x）＝
。
若对任意的x1,x2∈[
1],不等式f（x1）A.（0,1－ln2）B.（0,
）C.（ln2,＋∞）D.（
＋∞）
10.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2c＝bsin2A＋2asinAcosB,点D在△ABC的内部,且满足∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝
。
若a＝2,∠ABC＝
则AD＋BD＋CD＝
A.3B.6C.7
11.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示。
劳伦茨曲线为直线OL时,表示收入完全平等。
劳伦茨曲线为折线OKL时,表示收入完全不平等。
记区域A为不平等区域,a表示其面积,S为△OKL的面积,将Gini＝
称为基尼系数。
①Gini越小,则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x）,则对
x∈（0,1）,均有
>1；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0,1]）,则Gini＝
；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0,1]）,则Gini＝
；
上述说法正确序号的是
A.①④B.②③C.①③④D.①②④
12.我们把形如y＝
（a>0,b>0）的函数因其图象类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当a＝1,b＝1时,所有的“囧圆”中面积的最小值为
A.2πB.3πC.4πD.12π
二、填空题：
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知复数z＝
（i为虚数单位）,则
＝。
14.如图,函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<π）的图象与坐标轴交于点A,B,C,直线BC交f（x）的图象于点D,O（坐标原点）为△ABD的重心,A（－π,0）,则点C的坐标为＝,f（0）＝。
（本题第一空2分,第二空3分）
15.若函数f（x）满足：
定义域为R,f（－x－a）＝f（x－a）,且f（－x）＝f（x）,则称函数f（x）为“双对称a函数”。
已知函数f（x）为“双对称1函数”,且当x∈[0,1]时,f（x）＝x3。
记函数g（x）＝f（x）＋f（x－1）－3x（5≤x≤6）,则函数g（x）的最小值为。
16.已知南北回归线的纬度为23°26',设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|。
当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值,如果在北半球某地（纬度为φ0）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离应不小于。
（结果用含有h0和P0的式子表示）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
如图所示,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA＝AB＝1。
（I）求证：
EF//平面DCP；
（II）求F到平面PDC的距离。
18.（本小题满分12分）
若数列{an}的前n项和为Sn,且a1＝1,a2＝2,（Sn＋1）（Sn＋2＋1）＝（Sn＋1＋1）2。
（I）求Sn；
（II）记数列
的前n项和为Tn,证明：
1≤Tn<2。
19.（本小题满分12分）
某企业积极响应国家“科技创新”的号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据（xi,yi）（i＝1,2,3,4,5,6）,如下表所示：
（I）求出p的值；
（II）已知变量x,y具有线性相关关系,求产品销量y（件）关于试销单价：
x（百元）的线性回归方程
（计算结果精确到整数位）；
（III）用
表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值。
当销售数据（xi,yi）的残差的绝对值
<1时,则将销售数据称为一个“有效数据”。
现从这6组销售数中任取2组,求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率。
附参考公式：
。
参考数据：
。
20.（本小题满分12分）
已知椭圆Ω：
。
双曲线
的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点,双曲线
的焦距等于椭圆Ω的长轴长。
（I）求双曲线
的标准方程；
（II）设直线1经过点E（3,0）与椭圆Ω交于A、B两点,求△OAB的面积的最大值。
（III）设直线1：
y＝kx＋m（其中k,m为整数）与椭圆Ω交于不同两点A、B,与双曲线
交于不同两点C、D,问是否存在直线l,使得向量
若存在,指出这样的直线有多少条?
若存在,请说明理由。
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝
。
（I）若直线l：
与y＝f（x）的图象相切,求实数k的值；
（II）设a≥
求证：
对
k<0,直线l：
y＝kx＋a与y＝f（x）的图象有唯一公共点。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ。
以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是：
（t是参数）。
（I）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|＝
试求实数m值；
（II）设M（x,y）为曲线C上任意一点,求x＋y的取值范围。
23.（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x－1|。
（I）求不等式f（x）≤4的解集；
（II）设函数f（x）的最小值为m,当a,b,c∈R＋,且a＋b＋c＝m时,求
的最大值。
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