初中数学各种公式包括应用题.docx
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初中数学各种公式包括应用题
中考数学各种常用公式及性质
1．乘法与因式分解
2－b2；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3；
①（a＋b）（a－b）＝a
④（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3；a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；（a－b）2＝（a＋b）2－4ab。
2．幂的运算性质
①am×an＝am+n；②am÷an＝am-n；③（am）n＝amn；④（ab）n＝anbn；⑤（a
b
n＝
）
n
a
n
b
；
⑥a-n＝1
n
a
，特别：
（）-n＝（）n；⑦a0＝1（a≠0。
）
3．二次根式
2＝a（a≥0；）②＝丨a丨；③＝×；④＝（a＞0，b≥0。
）
①（）
4．三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|（a|定+|b理|）；
加强条件：
||a|-|b||≤|a±b|≤也|a成|+立|b，|这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别
为向量a和向量b）
|a+b|≤|a|+；|b||a-b|≤||+a|b|；|a|≤b<-=b>≤a≤；b
|a-b|≥|-a|b||；-|a|≤a≤；|a|
5．某些数列前n项之和
2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+n=n（n+1）/2；1+3+5+7+9+11+13+15+⋯+（2n-1）=n
；
2+22+32+42+52+62+72+82+⋯+n2=n（n+1）（2n+1）/6；
2+4+6+8+10+12+14+⋯+（2n）=n（n+1）；1
1
3+23+33+43+53+63+⋯n3=n2（n+1）2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+⋯+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3；
6．一元二次方程
2
对于方程：
ax＋bx＋c＝0：
①求根公式是x＝
24
bbac
2a
2
，其中△＝b－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：
当△≥0时，方程有实数根。
2
②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax＋bx＋c可分解为a（x－x1）（x－x2）。
第1页共12页1
2
③以a和b为根的一元二次方程是x－（a＋b）x＋ab＝0。
7．一次函数
一次函数y＝kx＋b（k≠0的）图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距）。
①当k＞0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；
②当k＜0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）；
③特别地：
当b＝0时，y＝kx（k≠0又）叫做正比例函数（y与x成正比例），图象必过原点。
8．反比例函数
反比例函数y＝（k≠0的）图象叫做双曲线。
①当k＞0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；
②当k＜0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。
9．二次函数
2是常数，a0），那么y叫做x的二次函数。
（1）.定义：
一般地，如果yaxbxc（a,b,c
（2）.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。
①a的符号决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。
（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
2
yaxx0（y轴）（0,0）
yax
2x0（y轴）（0,k）
当a0时
k
开口向上2
yaxhxh（h,0）
yaxh
当a0时
2xh（h,k）
k
2
yaxbxc
开口向下
x
b
2a
（
b
2a
2
4acb
，）
4a
（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：
y
2
22
b4acbb4acb
2，∴顶点是（，）
axbxcax
，对称轴是
2a4a2a4a
第2页共12页2
直线x
b
2a
。
2的形式，得到顶点为②配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk
（h,k），对称轴是直线xh。
③运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点
是顶点。
若已知抛物线上两点（x1,y）、（x2,y）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：
x
xx
12
2
2
（5）.抛物线yaxbxc
中，a,b,c的作用
①a决定开口方向及开口大小，这与
2
yax中的a完全一样。
2的对称轴是直线。
②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc
x
b
2a
b
，故：
①b0时，对称轴为y轴；②0
a
（即a、b同号）时，对称轴在y轴
b
左侧；③0
a
（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。
2与y轴交点的位置。
③c的大小决定抛物线yaxbxc
2与y轴有且只有一个交点（0，c）：
当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc
①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.
b
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0
。
a
（6）.用待定系数法求二次函数的解析式
2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
①一般式：
yaxbxc
2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
②顶点式：
yaxhk
③交点式：
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
yaxx1xx2。
（7）.直线与抛物线的交点
2得交点为（0,c）。
①y轴与抛物线yaxbxc
②抛物线与x轴的交点。
2的图像与x轴的两个交点的横坐标
二次函数yaxbxc
x、x2，是对应一元二次方程
1
2bxc
ax0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a有两个交点（0）抛物线与x轴相交；
b有一个交点（顶点在x轴上）（0）抛物线与x轴相切；
c没有交点（0）抛物线与x轴相离。
③平行于x轴的直线与抛物线的交点
同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，
2的两个实数根。
设纵坐标为k，则横坐标是axbxck
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2bxca
ax
④一次函数ykxnk0的图像l与二次函数y0的图像G的交点，由
方程组
y
y
kxn
2的解的数目来确定：
axbxc
a方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；
b方程组只有一组解时l与G只有一个交点；
c方程组无解时l与G没有交点。
2与x轴两交点为⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线yaxbxc
Ax1，，Bx，，则
020ABxx
12
10．统计初步
（1）概念：
①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取
的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现
次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在
最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．
（2）公式：
设有n个数x1，x2，⋯，xn，那么：
①平均数为：
12......
x+x++x
n
x=；
n
②极差：
用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法
得到的差称为极差，即：
极差=最大值-最小值；
③方差：
数据
x、x2⋯⋯,xn的方差为
1
2
s，
1轾
222
2
则x-x+x-x+.....+xn-x
s=（）（）（）
犏
12
n臌
④标准差：
方差的算术平方根。
数据
x、x2⋯⋯,xn的标准差s，
1
1轾
222
则s=（）（）（）
犏
x-x+x-x+.....+xn-x
12
n
臌
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
第4页共12页4
11．频率与概率
（1）频率
频率=
频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各
总数
个小长方形的面积为各组频率。
（2）概率
①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的
概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
12．锐角三角形
①设∠A是△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：
sinA＝，∠A的余弦：
cosA＝，
2A＋cos2A＝1。
∠A的正切：
tanA＝．并且sin
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。
②余角公式：
sin（90o－A）＝cosA，cos（90o－A）＝sinA。
③特殊角的三角函数值：
sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，sin60o＝cos30o＝，
tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝。
④斜坡的坡度：
i＝
铅垂高度
水平宽度
＝．设坡角为α，则i＝tanα＝。
h
α
l
13．正（余）弦定理
（1）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：
其中R表示三角形的外接圆半径。
正弦定理的变形公式：
（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；
（2）sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c
（2）余弦定理b
2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；
注：
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
14．三角函数公式
（1）两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
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ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）
（2）倍角公式
tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
（3）半角公式
sin（A/2）=√-（c（1osA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2-）√=（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√-（c（1osA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（-（c1osA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））
（4）和差化积
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
（5）积化和差
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）
2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）
15．平面直角坐标系中的有关知识
（1）对称性：
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关
于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。
（2）坐标平移：
若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），
向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），
向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：
点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右
平移5个单位，则坐标变为A（7，1）。
16．多边形内角和公式
多边形内角和公式：
n边形的内角和等于（n－2）180o（n≥3，n是正整数），外角和等于360o
17．平行线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图：
a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F，
第6页共12页6
ABDEABDEBCEF
则有,,
BCEFACDFACDF
。
（2）推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图：
△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：
ADAEADAEDEDBEC
,
DBECABACBCABAC
l
1
l
2A
E
D
A
D
a
A
b
BE
DE
c
FC
B
BC
C
18．直角三角形中的射影定理
C
o
直角三角形中的射影定理：
如图：
Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，
则有：
（1）
2
CDADBD
（2）
2
ACADAB（3）
2
BCBDAB
ADB
19．圆的有关性质
（1）垂径定理：
如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：
①经过圆心；②垂直弦；
③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性
质．注：
具备①，③时，弦不能是直径。
（2）两条平行弦所夹的弧相等。
（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（8）90o的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o，直径是最长的弦。
、
（9）圆内接四边形的对角互补。
20．三角形的内心与外心
（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点。
第7页共12页7
（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
常见结论：
①Rt△ABC的三条边分别为：
a、b、（cc为斜边），则它的内切圆的半径
abc
r；
2
②△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则
1
Slr
2
21．弦切角定理及其推论
（1）弦切角：
顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图：
∠PAC
为弦切角。
（2）弦切角定理：
弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
B
如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则
11
PACACAOC
22
A
O
C
推论：
弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
P
如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则PACABC
22．相交弦定理、割线定理和切割线定理
（1）相交弦定理：
圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图①，即：
PA·PB=PC·PD
（2）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。
如图②，即：
PA·PB=PC·PD
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
的比例中项。
如图③，即：
PC2=PA·PB
C
C
C
D
P
BO
OP
O
D
A
A
BB
A
P
①②③
23．面积公式
2
①S正△＝×（边长）
．
③S菱形＝底×高＝×（对角线的积），
②S平行四边形＝底×高．
④
1
S梯形（上底下底）高中位线高
2
第8页共12页8
2
⑤S圆＝πR
．
⑨S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，
⑥l圆周长＝2πR．
2
S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr
⑦弧长L＝．⑩S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb，
⑧
21
nr
Slr
扇形
3602
2
S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr
初中数学各种应用题公式
平均数问题公式（一个数+另一个数）÷2
反向行程问题公式路程÷（大速+小速）
同向行程问题公式路程÷（大速－小速）
行船问题公式同上
列车过桥问题公式（车长+桥长）÷车速
工程问题公式1÷速度和
盈亏问题公式（盈+亏）÷两次的相差数
利率问题公式总利润÷成本×100％
盈亏（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2
水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2
浓度
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣
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利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×（株数－1）
株距＝全长÷（株数－1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×（株数＋1）
株距＝全长÷（株数＋1）
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数1每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
21倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数7被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
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8因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数和差问题
（和＋差）÷2＝大数
（和－差）÷2＝小数
和倍问题
和÷（倍数－1）＝小数
小数×倍数＝大数
（或者和－小数＝大数）
差倍问题
差÷（倍数－1）＝小数
小数×倍数＝大数
（或小数＋差＝大数）图形面积、周长、体积⋯⋯那些个要吗？
晕，@_@||因式
分解，三角不等式，一元二次方程，和差化积，三角函数，两角和公式，倍角半
角，正弦余弦。
。
。
。
那啥啥的，都要吗？
昏迷中。
。
。
。
。
。
小学数学图形
计算公式----上
1正方形
C周长S面积a边长
周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
2正方体
V:
体积a:
棱长
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3长方形
C周长S面积a边长
周长=（长+宽）×2
C=2（a+b）
面积=长×宽
S=ab
4长方体
V:
体积s:
面积a:
长b:
宽h:
高
（1）表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2
S=2（ab+ah+bh）
（2）体积=长×宽×高
V=abh
5三角形
s面积a底h高
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