云南省玉溪一中届高三数学上学期期中试题文.docx
《云南省玉溪一中届高三数学上学期期中试题文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南省玉溪一中届高三数学上学期期中试题文.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
云南省玉溪一中届高三数学上学期期中试题文
云南省玉溪一中 2020 届高三数学上学期期中试题 文
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写
在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：
本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = {x | log （ x + 3） < 1} , B = {x | -4 < x < -2} ,则 A ⋃ B =
2
A. {x | -3 < x < -2}B.{x | -4 < x < -1}C.{x | x < -1}D.{x | x > -4}
2.“ m = 4
3
”是“直线 x - my + 4m - 2 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 4 相切”的
A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3.在 ∆ABC 中,若 b cos C + c cos B = a sin A ,则角 A 的值为
A.
π π π
B. C. D.
3 6 2
2π
3
4.已知定义域为[a - 4,2a - 2] 的奇函数 f （ x） 满足 f （ x） = 2020 x3 - sin x + b + 2 ,
则 f （a） + f （b） =
A. 0B.1C. 2D.不能确定
5.设 m , n 为空间两条不同的直线, α , β 为空间两个不同的平面,给出下列命题:
①若 m ⊥ α , m // β ,则 α ⊥ β ;②若 m ⊂ α , n ⊂ α , m // β , n // β ,则 α // β ;
③若 m // α , n // α ,则 m // n ;④若 m ⊥ α , n // β , α // β ,则 m ⊥ n .
其中所有正确命题的序号是
A.①②B.②③C.①③D.①④
6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图 1 所
示,若总体中 85%的数据不超过 b ,则 b 的估计值为
A. 25B. 24C. 91
4图 1
D. 70
3
7.设 a = sin 2 , b = log
0.3
π , c = 40.5,则
A. c < a < bB. a < b < cC. b < a < cD. b < c < a
8.已知 cos（α - π
2 2π
则 cos（2α + ） =
3 3
A. -
1
9
B.
C.
1 4 5
9
4 5
9
9.如图 2,在区域 x 2 + y 2 ≤ 4 内任取一点 ,则该点恰好取自阴影部分
（阴影部分为“ x 2 + y 2 ≤ 4 ”与“ （x - 1）+ （ y -1 ）2 ≤2”在第一、
第二象限的公共部分）的概率为
131313
-B. -D.
10.公元前 5 世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论 :
他提出让乌龟在阿
基里斯前面 1000 米处开始与阿基里斯赛跑 ,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的
10 倍.当比赛开始后 ,若阿基里斯跑了 1000 米,此时乌龟便领先他 100 米;当阿基
里斯跑完下一个100 米时,乌龟仍然领先他10 米.当阿基里斯跑完下一个10 米时,
乌龟仍然领先他1 米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟
恰好领先阿基里斯10 -2 米时,乌龟爬行的总距离为
A.
10 4 - 1
90
10 4 - 1 105 - 1
B. C.
900 90
D.
10 5 - 1
900
11.在 ∆ABC 中, CA = 1 , CB = 2 , ∠ACB =
则 MA ⋅ MB =
2π
3
点 M 满足 CM = CB + 2CA ,
A. 0
B. 2 C. 2 3 D. 4
12.已知 F , F 分别为椭圆
12
x 2 y 2
+
a 2 b 2
= 1 （a > b > 0） 的左、右焦点,点 P 是椭圆上位
于第一象限内的点 ,延长 PF 交椭圆于点 Q ,若 PF ⊥ PQ ,且 PF = PQ ,则椭
211
圆的离心率为
A. 2 -2B. 3 -2C. 2 - 1D. 6 - 3
二、填空题：
本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量 a = （1,2） , b = （2,-2） , c = （1, λ ） ,若 c //（a + 2b ） ,则 λ =．
14.已知数列{a } 满足 a = 1 , a
n1
n+1 = + 1
n
n ∈ N *,则 a
2019 = ．
15.设 a , b ∈ R, a 2 + 3b2 = 4 ,则 a + 3b 的最小值是．
16.已知函数 f （ x） = x2 - ax （ 1 ≤ x ≤ e , e 为自然对数的底数）与 g （ x） = e x 的图像上
e
存在关于直线 y = x 对称的点,则实数 a 的取值范围是．
三、解答题：
共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：
共 60 分.第 17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.
17.（本小题满分 12 分）设等差数列{a } 的前 n 项和为 S , a + S = -5 , S = -15 .
nn225
（1）求数列{a } 的通项公式;
n
（2）求1
a a
1 2
1 1
+ + + .
a a a a
2 3 n n+1
18.（本小题满分 12 分）已知向量 a = （2 cos x, sin x） , b = （cos x,-2 3 cos x） ,
且 f （ x） = a ⋅ b - 1 .
（1）求 f （ x） 的单调递增区间;
（2）先将函数 y = f （ x） 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍（纵坐标不
变）,再将所得图象向左平移
π
12
个单位,得到函数 y = g （ x） 的图象，求方程
π
g （ x） = 1 在区间 x ∈ [0,] 上所有根之和.
2
19. （本小题满分 12 分）已知三棱锥 P - ABC（如图 3）的展开图如图 4,其中四边形
ABCD 为边长等于 2 的正方形, ∆ABE 和 ∆BCF 均为正三角形.
（1）证明:
平面 PAC ⊥ 平面 ABC ;
P D（P） A
（2）若 M 是 PC 的中点,点 N 在线
E（P）
段 PA 上，且满足 PN = 2NA ,求直线
A
C B
MN 与平面 PAB 所成角的正弦值.C
B
图 3
20.（本小题满分 12 分）如图 5,在 ∆ABC 中,角 A , B , C
F（P） 图 4 A
的对边分別 a , b , c , cos A =
3
4
B = 2 A , b = 3 .
（1）求 a ;
C
M B
（2）如图 5，点 M 在边 BC 上,且 AM 平分 ∠BAC ,求 ∆ABM 的面积.图 5
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f （ x） = x（1 + ln x） , g （ x） = k （ x - 1） （k ∈ Z ） .
（1）求函数 f （ x） 的极值;
（2）对任意的 x ∈ （1,+∞） ,不等式 f （ x） > g （ x） 都成立,求整数 k 的最大值.
（二）选考题:
共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.作答时用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分 10 分） 选修 4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 （ x - 3） 2 + （ y - 1） 2 = r 2 （ r > 0 ）,
以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,直线 l 的极坐标方程为
π
ρ sin（θ -） = 1,且直线 l 与圆 C 相切.
3
（1）求实数 r 的值;
（2）在圆 C 上取两点 M , N ,使得 ∠MON =
π
6 ,点 M , N 与直角坐标原点 O 构
成 ∆OMN ,求 ∆OMN 面积的最大值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5:
不等式选讲
已知函数 f （ x） = 2 x - 1 + a x - 1 .
（1）当 a = 2 时, f （ x） ≤ b 有解,求实数 b 的取值范围;
1
（2）若 f （ x） ≥ x - 2 的解集包含[ ,2] ,求实数 a 的取值范围.
2
玉溪一中 2019—2020 学年上学期高三年级期中考（第三次月考）
文科数学参考答案
一、 选择题：
题号
答案
1
B
2
C
3
C
4
A
5
D
6
A
7
C
8
B
9
B
10
D
11
A
12
D
二、填空题：
13.-
2 ⎡ 1 ⎤
5 ⎣ e ⎦
三、解答题：
17.解：
（1）设等差数列{a } 的公差设为 d , a + S = -5 , S = -15 ,
n225
∴ 3a + 2d = -5 , 5a + 10d = -15 ,解得 a = d = -1 .………………4 分
111
∴ a = -1 - （n - 1） = -n , n ∈ N *.………………6 分
n
（2）1
a a
n
n+1
1 1 1
= = - ………………8 分
n（n + 1） n n + 1
∴
1 1 1
+ + +
a a a a a a
1 2 2 3 n
n+1
11
++ +
1⨯ 22 ⨯ 3n ⨯ （n + 1）
= 1 -
1 1 1 1 1
+ - + + -
2 2 3 n n + 1
=n
n + 1
…………………12 分
18.解:
（1）函数 f （ x） = 2 cos 2 x - 2 3 sin x ⋅ cos x - 1
π
= -2 sin（2 x -）…………………4 分
6
令
π
2 + 2kπ ≤ 2 x -
π
6 ≤
3π
2
+ 2kπ , k ∈ Z
即
π
3
+ kπ ≤ x ≤
5π
6
+ kπ , k ∈ Z ,
π5π
∴ 函数的单调增区间为[+ kπ ,+ kπ ] , k ∈ Z .…………6 分
36
⎡
⎣
π
12 ） -
= -2sin（4x +
） , ………8 分
由 g （ x） = 1 ,得 sin（4x +
π 1 π π π 13π
6 2 2 6 6 6
π7ππ11ππ5π
∴ 4x +=或 4x +=, ∴ x =或 x =,
6666412
π5π2π
故所有根之和为+=.………………12 分
4123
19.解:
（1）证明:
如图取 AC 的中点 O ,连结 BO PO .
PA = PB = PC =2 ,∴ PO = 1, AO = BO = CO = 1 ,
P
A
在 ∆PAC 中, PA = PC , O 为 AC 的中点, ∴ PO ⊥ AC .
O
在 ∆POB 中, PO = 1, OB = 1, PB =2 ,
C
B
∴ PO 2 + OB 2 = PB 2 ,∴ PO ⊥ OB .
AC ⋂ OB = O , AC , OB ⊂ 平面 ABC ,∴ PO ⊥ 平面 ABC ,
PO ⊂ 平面 PAC ,∴ 平面 PAC ⊥ 平面 ABC ．……………5 分
（2）解:
M 为PC中点
∴ 点 M 到平面 PAB 的距离为点 C 到平面 PAB 距离的一半.
假设 C 到平面 PAB 距离为 d ,则
V
C -PAB
1
∴ S
3
= V
P- ABC
1
⋅ d = S
PAB
ABC
⋅ PO
31
42
∴ d =
2 3
3
3
………………9 分
2 25 2
）2 +（）2 =………………10 分
236
设 θ 为直线 MN 与平面 PAB 所成角，则
3
d '
sin θ ==
MN5 25
6
………………12 分
ba3
==
sin Asin Bsin Asin 2 A
∴ a =3
2 cos A
=
3
2 ⨯
3
4
= 2 . ………………………4 分
A
（2） cos A =
3
4
7
∴ sin A = ,
4
13 7
∴ cos B = cos 2 A = 2 cos 2 A - 1 =,∴ sin B =,
88
C
M B
∴ sin C = sin（ A + B） = sin A cos B + cos A sin B =
5 7
16
…………7 分
由正弦定理知
c a a sin C 5
= =
sin C sin A sin A 2
…………9 分
CMACb6
AM 平分 ∠BAC ,∴===,
BMABc5
5510
∴ BM =BC =⨯ 2 =,…………11 分
111111
∴ S
1 10 5 3 7 75 7
⨯ BM ⨯ AB ⨯ sin B = ⨯ ⨯ ⨯ = . ……12 分
2 2 11 2 8 176
21.解:
（1） f （ x） = x（1 + ln x） , x > 0 ,∴ f '（ x） = 2 + ln x ,…………1 分
当 0 < x <
1 1
时, f '（ x） < 0 ,当 x >
2
e e 2
时, f '（ x） > 0 , …………3 分
∴ 当 x =
1 1 1 1 1
时, f （ x） 取得极小值，极小值为 f （ ） = （1 + ln ） =-
e 2 e 2 e 2 e 2 e 2
f （ x） 无极大值．………………………5 分
（2） 对任意的 x ∈ （1,+∞） ,不等式 f （ x） > g （ x） 都成立,
∴ x（1 + ln x） > k （ x - 1） 在 x ∈ （1,+∞） 上恒成立，
即 x（1 + ln x） - k （ x - 1） > 0 在 x ∈ （1,+∞） 上恒成立，
令 h（ x） = x（1 + ln x） - k （ x - 1） , x > 1∴ h'（ x） = 2 - k + ln x ,………6 分
①当 2 - k ≥ 0 时,即 k ≤ 2 时, h'（ x） > 0 在 x ∈ （1,+∞） 上恒成立，
∴ h（ x） 在 （1,+∞） 上单调递增，∴ h（ x） > h
（1） = 1
∴ k ≤ 2 都符合题意,此时整数 k 的最大值为 2 .……………8 分
②当 k > 2 时,令 h'（ x） = 0 ,解得 x = e k -2 ,
∴ 当1 < x < e k -2 时, h'（ x） < 0 ,当 x > e k -2 时, h'（ x） > 0 ,
h（ x）
min
= h（e k -2 ） = -e k -2 + k ,则 - e k -2 + k > 0 , ……………10 分
令 p（k ） = -e k -2 + k ∴ p'（k ） = -e k -2 + 1 , （k > 2） ,
p'（k ） < 0 在 k ∈ （2,+∞） 上恒成立,
∴ p（k ） = -e k -2 + k 在 （2,+∞ ） 上单调递减，
又 p（4） = -e 2 + 4 < 0 , p（3） = -e + 3 > 0 ,
∴ 存在 k ∈ （3,4） 使得 p（k ） = 0 ,故此时整数 k 的最大值为 3 .
00
综上所述:
整数 k 的最大值为 3 .…………………12 分
π
22.解:
（1）直线 l 的极坐标方程为 ρ sin（θ -） = 1 ,
3
转化为直角坐标方程为 3x - y + 2 = 0 .………………2 分
直线 l 与圆 C 相切, ∴ 圆心 （ 3,1） 到直线 3x - y + 2 = 0 的距离 d 满足
3 + 1= r ，解得 r = 2 .
（2）由
（1）得圆的方程为 （ x - 3） 2 + （ y - 1） 2 = 4 .
…………………4 分
转化为极坐标方程为 ρ = 4sin（θ + π
1 2
π
6 ） , … 5 分
S
ρ ρ sin
2
π
6
= 4 sin（θ + π
π
2 ）
= 2sin（2θ +
π
3
） + 3 …………8 分
故当θ =
π
12 时, ∆OMN 的面积取到最大值为 2 +
3 . …………10 分
23.解:
（1）当 a = 2 时,
f （ x） = 2 x - 1 + 2 x - 1 = 2 x - 1 + 2 x - 2 ≥（2 x - 1）（2 x - 2）= 1
（2
当且仅当 （2 x - 1） x - 2） ≤ 0 , 即 1 ≤ x ≤ 1 时取等号,
2
…………2 分
∴ f （ x）
min
= 1 , f （ x） ≤ b 有解, ∴ 只需 b ≥ f （ x）
min
= 1,
∴ 实数 b 的取值范围为[1,+∞） .……………………4 分
1
22
∴ a x - 1 ≥ 3 - 3x 对 x ∈ [ 1 ,2] 恒成立,
2
……………7 分
1
当 x = 1 时, a ∈ R ,当≤ x < 1 时, a（1 - x） ≥ 3 - 3x , 即 a ≥ 3 ,
2
当1 < x ≤ 2 时, a（ x - 1） ≥ 3 - 3x , 即 a ≥ -3 ,……………9 分
综上所述:
实数 a 的取值范围为[3,） .……………10 分
升级会员 