冲刺重点班系列专题之一动态相切问题.docx

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冲刺重点班系列专题之一动态相切问题

动态直线与圆的相切问题

一模对考生中考的水平起到的是预测作用，也是对前一阶段老师教学和学生复习的检测。

考生通过这样一次考试可以查漏补缺。

所以大家要重视这次考试，当作是中考的预考，在备考的过程中要全力以赴。

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动态直线与圆的相切问题是近年中考试卷中的一个亮点。

这类试题既考查学生的动手操作能力和空间想象能力，还考察学生的分类思想，数形结合思想，计算能力等。

解决此类问题的主要思路是在动中取静，在静中探静。

也就是用运动和变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，灵活运用切线的判定方法，结合所学知识解决问题。

灵活运用切线的判定方法，就是根据题目中是否给出直线与圆有公共点的情况，选择不同形式的判定途径，当题设给出直线与圆有公共点时，可根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的直线”来判定。

具体操作上，先连接公共点和圆心，再证明直线垂直于这条半径。

当题设没有给出直线与圆有公共点时，可根据圆心到直线的距离等于半径这一数量关系来判定。

具体操作上，先经过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段长等于圆半径，这条直线就是圆的切线。

类型之一、定圆和动直线相切问题

类型之二、动圆和动直线相切问题

（12江南，26）在直角坐标系中，A（0，4），B（4

，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒（t＞0）．过点C作CE⊥BO于点E，连接CD、DE．

（1）当t为何值时，线段CD的长为4；

（2）当线段DE与以点O为圆心，半径为

的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；

（3）当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与

（2）中的⊙O相切？

（2013北塘一模）已知，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点），点P从点C出发，以2cm/s的速度，沿CD作匀速运动．连接PM，过点P作PM的垂线与边DA相交于点E（如图），设点P运动的时间为t（s）

（1）DE的长为__________（用含t的代数式表示）；

（2）若点P从点C出发的同时，直线BD沿着射线AD的方向以3cm/s的速度从D点出发，以CP长为直径作圆⊙O，当点P到达点D时，直线BD也停止运动．当⊙O与直线BD相切时，求DE的值．

（13南长，27，2010连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为

．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）。

（1）连接CO，求证：

CO⊥AB；

（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；

（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．

（4）请在（3）的条件下，直接写出点M运动路径的长度。

（13省锡中，25）如图，□ABCD中，对角线AC长为10cm，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°。

点P从点A出发，以1cm/s的速度，沿AC向点C作匀速运动，到点C停止运动。

以点P为圆

心，PA长为半径作圆。

设点P运动的时间为t（s）。

（1）⊙P与平行四边形ABCD的某一边所在直线相切时，求t的值；

（2）若⊙P与AC、AD所在的直线交于E、F两点，设四边形ABEF的面积为s，试求出s与t的函数关系式。

（11育才，27）已知，如图平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB与x轴重合，AD与y轴重合。

AB＝4，BC＝3，将矩形沿y轴正方向平移2个单位。

（1）求平移后对角线AC所在的直线的解析式；

（2）若P是射线AC上一动点。

以P为圆心，1为半径的动圆沿AC方向以每秒5个单位的速度运动，⊙P能与BC所在的直线相切吗？

若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，当动圆P运动了4秒后，另一半径为2，圆心在A点的动圆Q从A点出发，沿AC方向以每秒10个单位的速度运动。

请求出⊙Q与⊙P从开始相切到最后一次相切持续多少时间？

如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C，设运动时间为t．

（1）求出矩形ABCD的边长BC；

（2）如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；

（3）当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似？

若能，求出t的值；若不能，说明理由．

（12外国语，28，2005长春）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y＝

x，AD＝8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14秒．

（1）求矩形ABCD的周长．

（2）如图2所示，图形运动到第5秒时，求点P的坐标．

（3）设矩形运动的时间为t，当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式．

（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？

若能，求出t的值；若不能，说明理由．

（10西漳，28）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2cm，BC＝6cm，AB＝4

cm。

动点P从点A出发，沿A→D→C的路线，以2cm/s的速度，向点C运动；动点Q从点C出发，沿C→B的路线，以1cm/s的速度，向点B运动。

若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t（s）。

（1）当t为何值时，PQ与DC平行？

（2）在整个运动过程中，设△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）与t（s）之间的函数关系式；

（3）当点P运动到DC上时，以P为圆心、PD长为半径作⊙P，以B为圆心、BQ长为半径作⊙B。

问：

是否存在这样的t，使得⊙P与⊙B相切？

若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由。

（11省锡中，27）如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝

，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发以1个单位/s的速度沿着线段AB向终点B运动，同时点Q从点E出发也以1个单位/s的速度沿着线段EF向终点F运动，设运动的时间为t（s）。

（1）填空：

当t＝5时，PQ＝_________________；

（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比；

（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？

如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由。

（13省锡中，27）如图，一抛物线经过点A、B、C，点A（－2，0），点B（0，4），点C（4，0），该抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D坐标；

（2）如图，若P为线段CD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAB的面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）过抛物线顶点D，作DE⊥x轴于E点，F（m，0）是x轴上一动点，若以BF为直径的圆与线段DE有公共点，求m的取值范围．

（13省锡中，28）如图，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段AB长

为6，将线段AB绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上点D处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．

（1）求点C、点D的坐标；

（2）如图②，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—B—D—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒1个单位长的速度匀速增加，当运动到点C时运动停止，运动时间为t

秒，试问在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？

（3）在

（2）的条件下，当⊙P在BD上运动时，过点C向⊙P作一条切线，t为何值时，切线长有最小值，最小值为多少？

（10天一，28）等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB＝BC＝1，∠ABC＝90º，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5。

现两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大。

（1）△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

（2）从△ABC的边与圆第一次相切到最后一次相切，共经过多少时间？

（3）是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？

若存在，求出恰好符合条件时两个图形各运动了多少时间；若不存在，请说明理由。

※关键词※：

2013江南二模，改编自2011青岛

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．

（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；

（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？

（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？

若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

（13江南一模，28，13育才初三期中卷）

在平面直角坐标系中，直线y＝－

x＋6与x轴、y轴分别交于点B、A，点D、E分别是AO、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；与此同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）分别写出点P和Q坐标（用含t的代数式表示）；

（2）①当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBOD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

②在①的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BODE两部分的面积之比为S△PQE：

S五边形PQBOD＝1：

29？

若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（3）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：

在整个运动过程中，当t为何值时，⊙P能与△ABO的一边相切？

（13东林期中卷，11南菁，27）已知A（2

，0），直线y＝（2－

）x－2交x轴于点F，交y轴于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A′，连接AA′、A′D．直线l从AB开始，以1个单位每秒的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．

（1）求A′点的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）请猜想AB与AF长度的数量关系，并说明理由；

（3）过点C作直线AB的垂线交直线y＝（2－

）x－2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

（2012省锡中一模，27）如图，四边形ABCD的边AB在x轴上，A与O重合，CD∥AB，D（0，6

）。

直线AE与CD交于点E，DE＝6。

以BE为折痕，把点A翻折恰好与点C重合；动点P从点D出发沿着D→C→B→O路径匀速运动，速度为每秒4个单位；以P为圆心的⊙P半径每秒增加

个单位，当点P在点D处时，⊙P半径为

；直线AE沿y轴正方向向上平移，速度为每秒

个单位；直线AE、⊙P同时出发，当点P到终点O时两者都停止运动，设运动时间为t。

（1）求点B的坐标；

（2）求当直线AE与⊙P相切时t的值；

（3）在整个运动过程中直线与⊙P相交的时间共有几秒？

（直接写出答案）

（2010外国语二模，28）如图，正方形ABCD的边长为6cm,动点P由点C出发沿折线CB-BA-AD向终点D运动，速度为acm/s；点Q由点B出发，以

cm/s的速度沿对角线BD向终点D运动。

两点同时出发，当其中有一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t（s）。

（1）若a＝3，求PQ所在直线与BC垂直时t的值；

（2）是否存在一个大于2的正数a，使得整个运动过程中，以PQ为直径的圆与直线BD相切三次？

若存在，请求a的值或范围；若不存在，说明理由。

（2012崇安，27）直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝4

，CD＝8．过C点且垂直于AC的直线l以每秒2个单位的速度沿CA向A点运动；与此同时，点P、Q分别从A、B出发向C点运动，P点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒

个单位，设P、Q点与直线l的运动时间为t．

（1）试说明△ACD为等边三角形．

（2）t为何值时，以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线l相切？

（3）求梯形ABCD与直线l在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）．

（13天一，27，2006潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y＝kx＋1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（－4，4）．平行于x轴的直线l过（0，－1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

（13天一，26）已知：

正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°。

（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？

并证明你的猜想。

（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.

（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动。

试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系。

（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2。

问△EGF与△EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由。

（13天一，27，2012河北）如图，A（－5，0），B（－3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．

（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

（13大桥，28，2008泉州）在下图中，直线l所对应的函数关系式为y＝－

x＋5，l与y轴交于点C，O为坐标原点．

（1）请直接写出线段OC的长；

（2）已知图中A点在x轴的正半轴上，四边形OABC为矩形，边AB与直线l相交于点D，沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA＝1．

①试求点D的坐标；

②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围．

（13南长，28）如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA＝4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP＝x．

（1）CD的长度是否随着x的变化而变化？

若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度．

（2）△PBC的面积是否存在最小值？

若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由．

（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．　　

（4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值．

（10天一，27）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，cosB＝

．点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．

（1）当BO＝AD时，求BP的长；

（2）在点O运动的过程中，线段BP与MN能否相等？

若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；

（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．

（11江南，27）如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A、B两点，经过原点的直线MN切⊙O1于点M，圆心O1的坐标为（2，0）．

（1）求切线MN的函数解析式；

（2）线段OM上是否存在一点P，使得以P、O、A为顶点的三角形与△OO1M相似？

若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若将⊙O1沿着x轴的负方向以每秒1个单位的速度移动；同时将直线MN以每秒2个单位的速度向下平移，设运动时间为t（t＞0），求t为何值时，直线MN再一次与⊙O1相切？

（本小题保留3位有效数字）

（2011侨谊二模，27）已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，

（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）当△FNP的面积为32时，求∠FNP的正切值；

（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求出x的值，若不能，请说明理由．