高等代数第六章自测题.docx

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高等代数第六章自测题

高等代数第六章自测题

第六章线性空间自测题

一、选择题

1．设M是R上全体n阶矩阵的集合，定义（A）=|A|,A∈M，则是M到R的一个（）.

A．单射B．满射C．双射D．既非单射也非满射

2．把复数域C看成R上的线性空间，这个空间的维数是（）.

A．一维B．二维C．三维D．无限维

3．R是复数域，P是任一数域，则集合R∩P对于通常的数的加法与乘法是（）.

A．C上的线性空间B．R上的线性空间

C．Q上的线性空间D．不构成线性空间

4．已知P2的两组基：

与，

则由基、、的过渡矩阵为（）.

A．B．

C．D．

5．全体正实数集集合R+中，加法与数乘定义为：

a⊕b=ab,k。

a=ak，其中a、b∈R+，

k∈R，则R+构成R上的线性空间，它的维数与基为（）.

A．维数=0，没有基B．维数=1，1是基

C．维数=1，2是基D．维数=2，3、5是基

6.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是（）.

A．B．

C．D．

7.数域P上线性空间的维数为，且中任意向量可由

线性表出，则下列结论成立的是（）.

A．B．C．D．

8.设，则（）.

A．2B．3C．4D．5

9.已知在R上构成线性空间，则的基为（）.

A．B．C．D．

10.若均为线性空间的子空间，则下列等式成立的是（）.

A．B．

C．D．

11．已知，下列集合中是的子空间的为（）.

A．B．C．D．

12．下列集合有（）个是的子空间.

；

；

；

；

A．1个B．2个C．3个D．4个

13.设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（）的过渡矩阵.

A．B．C．D．

二、判断题

1．设V是n维线性空间，，且V中的每一个向量均可由它们线性表示，则.（√）

2．（1，1，1），=（1，-1，1），=（-1，1，1）是三维空间R3的一组基.（√）

3．若V1,V2为有限维线性空间V的子空间，则V1V2也是V的子空间.（×）

4．设是线性空间V的一组线性无关向量，则

L（）=L（，）⊕L（，）.（√）

5．设V1、V2、V3是线性空间V的三个子空间，且V1∩V2=，V2∩V3=，V1∩V3=，则和V1+V2+V3是直和.（×）

6.中的子集为子空间.（√）

7.中的子集为子空间.（×）

8.中的子集为子空间.（√）

9.的向量线性相关.（×）

10.的向量线性相关.（√）

11.的向量的线性相关.（×）

12.设是线性空间的两个子空间，那么它们的和也是的一个子空间.（√）

13.设是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间.（√）

14.设都是数域上的线性空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且.（√）

三、填空题

1．设-1=.

2．设V是三维线性空间，则V的二维子空间有无数个.

3．设有P2的一组基，则向量=（a，b）在这组基下的坐标为.

4.（1，2，3），=（3，-1，2），=（2，3，x）,则x=5时，、、线性相关.

5．向量组（1，0，0），=（0，1，0），=（3，-1，0）的极大无关组是.

6.向量空间V的基到基的过渡矩阵为.

7.复数域作为实数域上的向量空间，则,它的一个基为.

复数域作为复数域上的向量空间，则,它的一个基为.

8.设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为

.

9.设与都是上的两个有限维线性空间，则.

10.数域上任一维向量空间都与.（不同构，同构）

11.任一有限维的向量空间的基是的，但任两个基所含向量个数是.

12.令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则=.

13.令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则=.

14.令是数域上一切阶上三角形矩阵所成的线性空间，则=.

四、简答题

1．证明：

x2+x，x2-x，x+1是线性空间R[x]3的一组基，并求2x2+7x+3在这组基下的坐标.

2.证明：

是的一个基，并求多项式与在该基

下的坐标.

3.已知,，求在基下的坐标.

4）____________________664.已知是线性空间的一组基，

求向量在基下的坐标.

5．设有P4的两个子空间，，

，求的基与维数.

6．设，

，求及.

7．设

（1）证明：

中与可以交换的矩阵集合W是的子空间；

（2）求W的基和维数；

（3）写出W中矩阵的一般形式.

8．设

（1）证明：

全体与A可交换的矩阵组成的一子空间，记作;

（2）当A=E时，求;

（3）当时，求的维数与一组基.

9．设U与W分别n阶对称集合与n阶反对称集合构成的的子空间，

证明：

=U⊕W.

10．已知的两个子空间，，

证明：

．

11．在线性空间中，求由线性方程组：

所确定的的子空间的一组基和维数.

12.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.

13.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.

14.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.

15．设在线性空间中，有向量组，，,

，求的一组基与维数.

16.已知向量组=（1,1,0,-1）,=（1,2,3,4），=（1,2,1,1），=（2,4,2,2），试求

它们的生成子空间（,,,）的维数和一组基.

17.考虑中以下两组向量

；，

（1）证明和都是的基；

（2）并求出由基到的过渡矩阵.

18.已知中的两向量组，

（1）证明它们都是的基；

（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵；

（3）如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标.

19．设中的两组基分别为,，,

.

（1）求由基的过渡矩阵；

（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标.