最值问题解题思路奥数.docx
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最值问题解题思路奥数
马到成功奥数专题:
离散最值
引言：
在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：
1.着眼于极端情形；
2.分析推理——确定最值；
3.枚举比较——确定最值；
4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。
一、 从极端情形入手
从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。
题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
解：
假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。
为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。
题目2. 有13个不同正整数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？
最少有多少个？
解：
①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有5个偶数。
题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。
解：
要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。
需要9+1+1+2=13个。
题目4. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个7
5222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。
3+1+7+4+6=21次
二、枚举法与逐步调整
当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。
这种方法的大意是：
将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。
题目5. 将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？
解：
要使乘积最小，就要每个数尽可能小。
对于10，旁边添6和7，这样积小一些。
于是有两种添法：
----------------------------------------------
题目6. 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？
解法1：
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下：
由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。
说明：
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2：
因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此
车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数
=站号×（15-站号）。
因此只要比较下列数的大小：
1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，
6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，
11×4，12×3，13×2，14×1。
由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。
说明：
此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是：
将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。
题目7.
在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。
如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？
解：
这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。
8和7必然填在1，2两个方格内。
前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。
数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。
三、从简单情形入手
解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。
题目8. 从1234567891011…99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。
分析与解 将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。
本题中从12345678910中划去10个数字剩下9；从111213…484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数9999978596061…99100。
求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数100000123406162…99100。
题目9. 将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。
在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。
求这10个中位数之和的最大值与最小值。
解：
{1，2，3，49，50}{4，5，6，47，48}……{28，29，30，31，32}
3+6+……+30=165（最小值）
{1，2，48，49，50}{3，4，45，46，47}……{19，20，21，22，23}
48+45+……+21=345（最大值）
四、和一定问题
1＋9＝10→1×9＝9
2+8=10→2×8=16
3＋7=10→3×7=21
4+6=10→4×6=24
5+5＝10→5×5=25
例如，和为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？
我们知道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到5个不同的数，如下表：
由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值25。
成立。
也就是和一定时差最小乘积越大。
题目10.
有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。
如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。
问第几号梯形的面积最大？
解：
由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。
可见a+b与c十分接近，所以③的面积最大。
题目11. 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润，售价应定为多少？
解：
设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。
总共可以获利
（50＋x-40）×（500-10x）
=10×（10+X）×（50-X）（元）。
因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。
此时，每个的销售价为50＋20=70（元）
题目12. 用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。
应该怎样排列？
【分析与解】十位数字分别是8、7、6，8>7>6,个位数字分别是5，4，3，5>4>3，依据“接近原则”，大小搭配可得83×74×65，三个数最接近因而它们的乘积最大。
综上数例，可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。
简单地说就是：
数越接近，乘积越大。
综上数例，可以归纳出这样的规律:
较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。
简单地说就是：
数越接近，乘积越大。
五、积一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？
观察下面的表：
我们不难得出如下的规律：
两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。
若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。
题目13. 长方形的面积为144cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
解：
设长方形的长和宽分别为xcm和ycm，则有
xy＝144。
故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（x＋y）也有最小值。
题目14. 农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？
解：
如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有
xy＝432。
占地总面积为S=（x＋6）（y＋8）cm2。
于是
S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。
我们知道6y×8X=48×432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。
六、从整体入手
从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。
题目15. 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。
要求：
（1）算式的结果等于37；
（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。
那么，这些减数的最大乘积是多少？
题目16. 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。
要求：
（1）算式的结果等于37；
（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。
那么，这些减数的最大乘积是多少？
解：
把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。
因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。
9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是
10＋9＋8＋7＋6＋5-4-3-2＋1＝37。
七、抓不等关系
题目17. 某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。
当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？
解：
显然印刷的册数应该大于30。
设印刷了（30＋x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。
故有
80+1.2x≤1.5×（30+x），
答案:
117+30= 147以内。
题目18. 有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。
那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
解：
要使其中任意3袋的总和都超过60块，那么至少也是61，先在每袋中放20个糖块，但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过60。
要使任意3袋中至少一个21，这4个袋子的糖块分别是20，20，21，21。
和为20+20+21+21=82
八、抓相等关系
题目19. 10位小学生的平均身高是1.5米。
其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。
那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？
解:
要最多有多少位同学的身高恰好是1.5米，就要使低于和高于1.5米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b。
可得：
1.2a+1.7b=1.5（a+b） 2b=3a 至少是5人 那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是1.5米。
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题目20. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2个奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等。
这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？
解：
1/奇+1/奇=1/偶+1/偶 偶/奇=（偶+偶）/偶×偶
奇*（偶+偶）=偶*偶*偶。
因为偶*偶*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数 若是8，只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意，因为奇相等;若是16，有1/6+1/10=1/5+1/15 因此本题答案是16。
九、位值展开式
题目21. 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？
解：
设两位数位ab（a表示十位数字，b表示个位数字）
ab=（10a+b）/（a+b）=（9a）/（a+b）+1
a+b最大是18，此时余数为9]
当a+b=17，若a=9余数为13 若b=9 余数为4
题目22. 当a+b=16，若a=9余数为1 若b=9 余数为15此时余数最大。
由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K。
如果K是整数，那么K的最大值是多少？
解：
设这个数为abc（a表示百位数字，b表示十位数字，c表示个位数字）
那么abc/（a+b+c）=K （100a+10b+c）/（a+b+c）=K要使这个算式最大，就要让a尽可能大，b,c尽可能的小。
试一下：
911/（9+1+1）=82……9，811/（8+1+1）=81……1，711/（7+1+1）=79，所以K最大是79。
题目23. 用1，3，5，7，9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。
求算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果的最大值。
解：
要使ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大，FGH*IJ最小。
那么前面最大是751*93。
后面最小是468*20。
那么算式的最小值是751*93-468*20=60483
十、“估计+构造”
“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。
题目24. 把1，2，3，…，12填在左下图的12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？
为什么？
并请你设计一种填法，满足你的结论。
解：
因为1+2＋3＋…＋12=78，78×2÷12＝13，所以n≥13。
又考虑到与12相邻的数最小是1和2，所以n至少是14。
右上图是一种满足要求的填法。
十一、转化与对称思想
转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B，把A、B用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离。
我们可以做一个有趣的实验：
在一个长方体的上面N点放上食品，在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁（如图3），蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法（如图4），我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？
在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结MN则不经过棱AD，与条件不符.为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结MN交AD于P.由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后，再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。
题目25. 如图11某次划船比赛规定从A点出发，先到左岸然后到右岸然后再到B点，时间少者取胜.请你设计一条航线，使船走的路程最短.
由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。
如图，找到A点关于左岸的轴对称点，B点关于右岸的轴对称点，连结A′B′，与左岸、右岸分别有交点C、D，沿折线ACDB航行就是最短航线。
十二、学写说理题
题目26. 23个不同的自然数的和是4845。
问：
这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？
写出你的结论，并说明理由。
.17。
解：
设这23个彼此不同的自然数为
a1，a2，…，a22，a23，
并且它们的最大公约数是d，则
a1=db1，a2=db2，…，a22=db22，a23=db23。
依题意，有
4845=a1+a2+…+a22+a23
=d（b1+b2+…+b22+b23）。
因为b1，b2，…，b22，b23也是彼此不等的自然数，所以
b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276。
因为4845=d（b1+b2+…+b22+b23）≥276×d，所以
又因为4845=19×17×15，因此d的最大值可能是17。
当a1=17，a2=17×2，a3=17×3，…，a21=17×21，a22=17×22，a23=17×32时，得
a1+a2+…+a22+a23
=17×（1+2+…+22）+17×32
=17×253+17×32=17×285=4845。
而（a1，a2，…，a22，a23）=17。
所以d的最大值等于17。
解题在于实践：
题目27. 设a1，a2，a3，a4，a5，a6是1到9中任意6个不同的正整数，并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6。
试用这6个数分别组成2个三位数，使它们的乘积最大。
分析与解：
由于a1，…，a6具体大小不清楚，因此先取特殊数1，2，3，4，5，6这6个不同的数考虑。
要使2个三位数的乘积最大，必须使这2个数的百位数最大，应分别是6，5；而十位数次大，应分别为4，3，个位数最小，应分别为2，1。
因为当2个数之和一定时，这2个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2个数是631和542。
题目28. 8个互不相同的正整数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44。
问：
剩下的数中，最小的数是多少？
解：
因为最大数与最小数的和是56－44=12，所以最大数不会超过11。
去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2～10之间，且总和为44，这6个数只能是4，6，7，8，9，10。
题目29. 采石场采出了200块花岗石料，其中有120块各重7吨，其余的每块各重9吨，每节火车车皮至多载重40吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？
解：
每节车皮所装石料不能超出5块，故车皮数不能少于200÷5=40（节），而40节车皮可按如下办法分装石料：
每节装运3块7吨的和两块9吨的石料，故知40节可以满足要求。
题目30. 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
解：
本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：
4a-b=6a-3b，即a=b.这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得
（xa-a）×2＝（2a-a）×15，化简，得2ax-2a=15a，即2xa=17a.（a≠0）所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.注意：
x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.
题目31. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个减法算式的差最大是多少？
解：
要想差最大必须考虑被减数取最大，那么先考虑百位为9，同样考虑减数最小，百位为1，再通过试算得出936-152=784，此时差为最大既784。
题目32. 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小正整数。
1444。
解：
平方数末位只能为0，1，4，5，6，9。
因为111，444，555，666，999均非平方数，而1000，1111也不是平方数，但1444=382，故满足题设条件的最小正整数是1444。
题目33. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。
13.从整体考虑分两组和不变：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。
另从15到27的任意一数是可以组合的。
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