专题50圆中的翻折综合问题解析版.docx
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专题50圆中的翻折综合问题解析版
为()
专题50圆中的翻折综合问题
1、如图,将半径为12的二O沿AB折叠,弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长
【分析】延长CO交AB于E点,连接OB,构造直角三角形,然后再根据勾股定理求出AB的长
C
/\D\
代--方一予5
J-/
【解答】解:
延长CO交AB于E点,连接OB,
ZCEZAB,
二E为AB的中点,
二OC=6,CD=2OD,
二CD=4,OD=2,OB=6.
二DE=1(2OC-CD)=4(6x2-4)=38=4,
ZOE=DE-OD=4-2=2,
在Rt二OEB中,二OE2+BE2=OB2,
ZBE=y/0B2-0E2=a/62-42441
ZAB=2BE=8V2.故选:
B.
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
2、已知如图:
匚0的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AniB经过圆心0,再把弧AOB沿CD折叠,使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为()
A.8cmB.8-73cmC.2a/7cmD.4<7cm
【分析】连接OE并延长交CD于点F,交CD于点F,交弧AmB于点G,根据翻折的性质得出OF=6,再由勾股定理得出.
二0F'=6cm,
ZCT'=CF=a/s2-62=2yHcnuF
ZCD=2CD=4^7cm.故选:
D.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质,是基础知识要熟练掌握.
3、如图,AB是二0的直径,且AB=4,C是n0上一点,将弧AC沿直线AC翻折,若翻折后的圆弧恰好经过点0,仙314,、5=L41,73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是()
A.3.2B.3.6C.3.8D.4.2
【分析】作0E二AC交二。
于F,交AC于E,根据折叠的性质得到OE=|OF,求出二ACB的度数即可解决
问题.
【解答】解:
作OE:
:
AC交二0于F,交AC于E.连接OB,BC.
由折叠的性质可知,EF=OE】OF,二0E=120A.
在Rt二AOE中,OE=|OA,
二二CAB=30。
,
ZAB是直径,
二二ACB=90。
,二BOC=2二BAC=60。
,
匚AB=4,
二BC=|aB=2,AC=V3BC=2V3,MV
二线段AB、AC和弧BC所惘成的曲边三角形的而枳为
S=1・AC・BC+Sobc-Szobc=1x2y/3x22=V5+pt;=3.8,故选:
C.
zz3oU45
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理,折穆是一种对称变换,折卷前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
4、如图,将匚O的劣弧懑沿AB翻折,D为优弧貌上一点,连接AD,交赢■于点C,连接BC、BD;若
BC=5,则BD=.
【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到二ADB=:
BCD,根据等腰三角形的判定定理解答.
【解答】解:
由翻转变换的性质可知,
ZADB所对的弧是劣弧还,
ZCAB所对的弧是劣弧正,
ZCBA所对的弧是劣弧立,
ZZADB=ZCAB+ZCBA>
由三角形的外角的性质可知,二BCD=:
2CAB+二CBA,
ZZADB=ZBCD,
二BD=BC=5,
故答案为:
5.
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用,掌握翻转变换是一种对称变换,折卷前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键.
5、如图,AB是二0的直径,且AB=4,C是口0上一点,将弧AC沿直线AC翻折,若翻折后的圆弧恰好经过点0,71=314,、历=1.41,73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是()
A.3.2B.3.6C.3.8D.4.2
【分析】作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于连接AM、AM'构造全等三角形,然后利用勾股定理、割线定理解答.
MB、~1N
【解答】解:
如图,作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于B1连接AM、AM,,
可得M、A、M'三点共线,MA=M'A,MB=M'B'=4,MN=MN=10.
连接AB\
二四边形AMNB堤圆内接四边形,
二二MABVMNM,
二二M,=二
二二MAB二二MNM,
_M'AMB
一屈=^1^
二M'A41\1=\1夕'小1的,HPKrA>2NrA=4x10=40.则\1'a2=20,
又二MAWN2-AN2,
:
:
20=100-AN2,
ZAN=4^5.故选:
B.
【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合,考查了同学们的综合应用能力,要善于观察图形特点,然后做出解答.
6、如图,是一个圆心角为90。
的扇形,AO=2cm,点P在半径AO上运动,点Q在弧AB上运动,沿PQ将
它以上的部分向下翻折,使期折后的弧恰好过点O,则OP的最大距离为
【分析】作0关于PQ的对称点0、恰好落在二0上,于是得到OP=cos%j,推出二OO'Q为等边三角形,根据等边三角形的性质得到OQ=O'Q=OCT=R,当coslOE最小时,二POE最大,当二QOB=0。
时,二POE=30。
于是得到结论.
【解答】解:
作0关于PQ的对称点O',CT恰好落在二0上,
=OP=cosZPOE,
二二00Q为等边三角形,
二OQ=O'Q=OO'=R,二POE+二QOB=30°,当cos二POE最小时,二POE最大,
当二QOB=0。
时,二POE=30。
=op12V3
cos3003
故答案为:
士.3
【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题,等边三角形的判定和性质,正确的在才辅助线是解题的关键.
7、如图,二。
的半径为5,弦AB的长为8,将沿直线AB折叠,折叠后如右图,则二O到所作的圆的切线
OC的长为()
A.V22B.5C.3D.JTT
【分析】根据题意先画出图形,可知翻转过后的弧AB所在的圆和二0全等,且两个圆的圆心相距为6,又己知圆的半径,故根据勾股定理即可求出答案.
【解答】解:
根据题意画出图形如下所示:
BD=4,0B=5,
点0,为翻转过后的弧AB所在圆的圆心,
则有O'D=OD==4y=3.又O'C=5,00=6.
ZOC=A/o,O2-Ot2=-x/62-52=VTT.故选:
D.
【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质,难度不大,找出翻转过后的弧AB所在圆的圆心是解题关键.
8、如图,将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6,DB=7,则BC的长是()
A.屈B.7百C.V134D.V130
【分析】连接CA、CD,根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是二CBD,再根据AC弧所得的圆周角也是二CBA,然后求出AC=CD,过点C作CEZAB于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=1AD,根据直径所对的圆周角是直角可得二ACB=90。
,然后求出二ACE和二CBE相似,根据相似三角形对应边成比例求出CE?
再求出BE,然后利用勾股定理列式冲算即可求出BC.
【解答】解:
如图,连接CA、CD,根据折叠的性质,弧CD所对的圆周角是二CBD,二孤AC所对的圆
周角是二CBA,ZCBA=ZCBD,
二AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等),
过点C作CEZAB于E,则AE=ED=1aD=|x6=3,
二BE=BD+DE=7+3=10,二AB是直径,
二二ACB=90。
,二CE二AB,
ZZACB=ZAEC=90%
二ZA+ZACE=ZACE+ZBCE=90°,
ZZA=ZBCE,
二二ACE二二CBE,
AECE
二无=BE,RfJCE』AE・BE=3x10=30,
在RUBCE中,BC=ylBE2+CE2=V1O2+3O=V13Ot
故选:
D.
【点评】本题考查了翻折的性质,相似三角形的判定与性质,圆的性质,等腰三角形的判定与性质,作辅助线并求出AC=CD是解题的关键.
9、如图,在匚O中,点C在优弧逋上,将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,连接AC,CD.则下列结论中错误的是()
A.AC=CDB.AC+BD=BC
C.ODZABD.CD平分匚ACB
【分析】A、作辅助线,构建折叠的性质可得AD=CD:
B、相等两弧相加可作判断:
C、根据垂径定理可作判断:
D、延长0D交二0于E,连接CE,根据垂径定理可作判断.
【解答】解:
A、过D作DD二BC,交二0于连接CD:
BD\
由折叠得:
CD=CD\ZABC=ZCBD\
二AC=CD'=CD,故二正确;
B、ZAC=CD\ZAC=CD\由折叠得:
而=66’,
ZACFBD=BC,故二正确:
C、二D为AB的中点,二0D二AB,故二正确:
D、延长0D交二0于E,连接CE,二0D二AB,
ZZACE=ZBCE,二CD不平分二ACB,故二错误;故选:
D.
【点评】本题考查了折登的性质:
折卷是一种对称变换,它属于轴对称,折卷前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.
11、如图,二ABC内接于匚O,BC=2V2,CBAC=45°,将劣弧懑和花分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,点S、T是弦AB、AC上的动点,则二MST的周长的最小值为()
A.2>/2
B.4
C.4>/2
D.8
【分析】作点M关于AB的对称点M,,关于AC的对称点M",根据折叠的性质得到点MlM”在圆周上,连接M*M”,交AB于S,交AC于T,则二MST的周长最小,连接AM、AM".OB,OC,根据圆周角定理得到MRI”是二O的直径,即可得到结论.
【解答】解:
作点M关于AB的对称点M',关于AC的对称点M”,
二将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,
二点M"在圆周上,
连接交AB于S,交AC于T.
则二MST的周长最小,
连接AM'AM",OB.OC,
则二MAM"=2二BAC,
ZZBAC=45%
二二M,AM"=2:
BOC=90。
,
二BC=2、5,二OB=2,
二MW20BW
二二MST的周长的最小值为4,故选:
B.
夕7一
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,轴对称-最短路线问题,翻折变换(折叠问题),圆周角定理,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关犍.
12、如图,在二0中,点C在优弧匚ACB上,将弧沿二BC折叠后刚好经过AB的中点D,若匚0的半径为y/5,
AB=4,则BC的长是.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、0C,作CE二AB于E,OF二CE于F,如图,利用垂径定理得到OD二AB.则AD=BD=1aB=2,于是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得到菽所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1,然后计算出CF后得到CE=BE=3,「是得到BC=3、历.
【解答】解:
连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE二AB于E,OFZCETF,如图,
二D为AB的中点,
ZODZAB,
二AD=BD/AB=2,
在Rt二OBD中,OD=JoU-BD2=4(后=1
二将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.
二个和①所在的圆为等圆,
匚烈B,
二AC=DC,
二AE=DE=1,
易得四边形ODEF为正方形,
ZOF=EF=1,
在Rt二OCF中,CF=dcO2-OF?
=J(后=2,
二CE=CF+EF=2+1=3,
而BE=BEHDE=2T=3,
二BC=3血.故答案为3、历.
【点评】本题考查了折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折棒前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.
14、如图,AB是半径为2的二0的弦,将俞沿着弦AB折叠,正好经过圆心0,点C是折叠后的®k一动点,连接并延长BC交二0于点D,点E是CD的中点,连接AC,AD,E0.则下列结论:
口匚ACB=120。
,
二二ACD是等边三角形,二E0的最小值为1,其中正确的是.(请将正确答案的序号填在横线上)
E
【分析】根据折趣的性质可知,结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断二二是否正确,E0的最小值问题是个难点,这是一个动点问题,只要把握住E在什么轨迹上运动,便可解决问题.
图1
【解答】解:
如图1,连接OA和0B.作OF二AB.
由题知:
卷沿着弦AB折叠,正好经过圆心0
zof=oa=|ob
ZZAOF=ZBOF=60°
ZZAOB=120°
二二ACB=120。
(同弧所对圆周角相等)
二D=1:
:
AOB=60。
(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)
二ZACD=180°-ZACB=60°
ZZACD是等边三角形(有两个角是60。
的三角形是等边三角形)
故,二二正确
卜而研究问题EO的最小值是否是1
图2
如图2,连接AE和EF
二二ACD是等边三角形,E是CD中点
二AE二BD(三线合一)
又二OF二AB
二F是AB中点即,EF是二ABE斜边中线
二AF=EF=BF即,E点在以AB为直径的圆上运动.
所以,如图3,当E、O、F在同一直线时,OE长度最小
此时,AE=EF,AEZEF
二二O的半径是2,即OA=2,OF=1
ZAF=^(勾股定理)
所以,二不正确综上所述:
二二正确,二不正确.故答案为二二.
E3
【点评】本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的留心角的一半.推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90。
的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.
14、如图,将品沿着弦AB翻折,C为翻折后的弧上任意一点,延长AC交圆于D,连接BC.
(1)求证:
BC=BD;
(2)若AC=1,CD=4,AB=120°,求弦AB的长和圆的半径.
【分析】
(1)作点C关于AB的对称点Ct连接AC,BC\利用翻折不变性,以及周角定理即可解决问题:
(2)连接OA,OB,作OM二AB于M,AH二BC交BC的延长线于H.解直角三角形求出AB,OA即可:
【解答】
(1)证明:
作点C关于AB的对称点连接ACMBU.
由翻折不变性可知:
BC=BC\ZCAB=ZBAC\
ZBD=BC\
ZBD=BC\
ZBC=BD.
(2)解:
连接OA,OB,作OM二AB于M,AH二BC交BC的延长线于H.
二AB=120。
,
ZZD=1x120°=60°,
二二AOB=二ACB=2ZD=120°,
二BC=BD,
二二BCD是等边三角形,
二BC=DC=4,在Rt二ACH中,
二二H二90。
,二ACH=60。
,AC=h
二CH=1,AH=—,22
ZAB=ylAH2+BH2=+
(1)2=、国,
二OM二AB,
历/
二AM=BM=——,在RtZAOM中,2
二二OAM=30°,ZAMO=90%
a
B
(1)题图
【解答】
(1)解:
如图,连接0C,
二B沿CD翻折后,点A与圆心0重合,
二Om4oA=1x2=1,CDZOA,
二0C=2,
二CD=2CM=2、OC?
-OM,=2正-1?
=26;
(2)证明:
ZPA=0A=2,AM=OM=bCM与D=VL二CMP=:
OMC=90。
二PC=Ja/C2+PM?
=7(V3)2+32=2y/3,
二0C=2,PO=2+2=4,
ZPC2+OC2=(273)2+22=16=PO2,
ZZPCO=90°,
二PC是二O的切线:
(3)解:
GE・GF是定值,证明如下,
连接GO并延长,交二O于点H,连接HF
二点G为血的中点
二二GOE=90。
,
二二HFG=90。
,KZOGE=ZFGH
ZZOGEZZFGH
_OGGE
-GF=GH
二GE・GF=OG・GH=2x4=8.
【点评】本题是圆的综合题型,主要利用了翻折变换的性质,垂径定理,勾股定理,勾股定理逆定理,圆的切线的定义,相似三角形的判定与性质,难点在于(3)作辅助线构造出相似三角形.