专题50圆中的翻折综合问题解析版.docx

1、专题50圆中的翻折综合问题解析版为（ ）专题50圆中的翻折综合问题1、如图，将半径为12的二O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长【分析】延长CO交AB于E点，连接OB,构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长C/ D 代-方一予5J-/【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB,ZCEZAB,二E为AB的中点，二 OC=6, CD=2OD,二 CD=4, OD=2, OB=6.二DE=1 (2OC-CD) =4(6x2-4)=38=4,ZOE=DE-OD=4-2=2,在 Rt 二 OEB 中，二 OE2+BE2=OB2,ZBE= y/0B2-0E2 =

2、a/62-42 441ZAB=2BE=8V2 .故选:B.【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求 解是解答此题的关键.2、已知如图：匚0的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AniB经过圆心0,再把弧AOB沿CD折叠, 使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为（ ）A. 8cm B. 8-73 cm C. 2a/7 cm D. 4由三角形的外角的性质可知，二BCD=：2CAB+二CBA,ZZADB=ZBCD,二 BD=BC=5,故答案为：5.【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折卷前后图

3、形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.5、如图，AB是二0的直径，且AB=4, C是口0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好 经过点0, 71=314,、历=1.41, 73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列 四个数值最接近的是（ ）A. 3.2 B. 3.6 C. 3.8 D. 4.2【分析】作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于连接AM、AM构造全等三角形，然后利用 勾股定理、割线定理解答.M B、1 N【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于B1连接AM、AM，,可得 M、A、M三点共线，M

4、A=MA, MB=MB=4, MN=MN=10.连接AB二四边形AMNB堤圆内接四边形，二二 MABVMNM,二二 M，=二二二 MAB 二二 MNM,_MA MB一屈=1二MA4 11=1夕小1的，HP KrA2NrA=4x 10=40.则 1a2=20,又二MAWN2-AN2,：20=100-AN2,ZAN=45 .故选：B.【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形 特点，然后做出解答.6、如图，是一个圆心角为90。的扇形，AO=2cm,点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使期折后的弧恰好过点O,则OP

5、的最大距离为【分析】作0关于PQ的对称点0、恰好落在二0上，于是得到OP=cos%j,推出二OOQ为等边三角 形，根据等边三角形的性质得到OQ=OQ=OCT=R,当coslOE最小时，二POE最大，当二QOB=0。时，二POE=30。于是得到结论.【解答】解：作0关于PQ的对称点O，CT恰好落在二0上,= OP=cosZPOE,二二00Q为等边三角形，二OQ=OQ=OO=R,二POE+二QOB=30, 当cos二POE最小时,二POE最大,当二 QOB=0。时，二POE=30。,=op 1 2V3cos300 3故答案为：士. 3【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正

6、确的在才辅助线是解题的关键.7、如图，二。的半径为5,弦AB的长为8,将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则二O到所作的圆的切线OC的长为（ ）A. V22 B. 5 C. 3 D. JTT【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB所在的圆和二0全等，且两个圆的圆心相距为6,又 己知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案.【解答】解：根据题意画出图形如下所示:BD=4, 0B=5,点0,为翻转过后的弧AB所在圆的圆心,则有 OD=OD= =4y =3.又 OC=5, 0 0=6.ZOC=A/o,O2 -Ot2 =-x/62-52 =VTT .故选：D.【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的

7、切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB所在圆的圆 心是解题关键.8、如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6, DB=7,则BC的长是（ ）A.屈 B. 7百 C. V134 D. V130【分析】连接CA、CD,根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是二CBD,再根据AC弧所得的圆周角也 是二CBA,然后求出AC=CD,过点C作CEZAB于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=1 AD, 根据直径所对的圆周角是直角可得二ACB=90。，然后求出二ACE和二CBE相似，根据相似三角形对应边成比 例求出CE?,再求出BE,然后利用勾股定理列式冲算即可求出BC.【解答】解

8、：如图，连接CA、CD,根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是二CBD,二孤AC所对的圆周角是二CBA, ZCBA=ZCBD,二AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点 C 作 CEZAB 于 E,则 AE=ED=1aD=|x6=3,二 BE=BD+DE=7+3=10,二 AB 是直径，二二 ACB=90。，二 CE 二 AB,ZZACB=ZAEC=90%二 Z A+ Z ACE= Z ACE+ Z BCE=90,ZZA=ZBCE,二二 ACE 二二 CBE,AE CE二无=BE, RfJ CEAEBE=3x 10=30,在 RUBCE 中，BC=ylBE2+CE2 = V1O2+3O=

9、V13O t故选：D.【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅 助线并求出AC=CD是解题的关键.9、如图，在匚O中，点C在优弧逋上，将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,连接AC, CD.则 下列结论中错误的是（ ）A. AC=CD B. AC+BD=BCC. ODZAB D. CD 平分匚ACB【分析】A、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD：B、相等两弧相加可作判断：C、根据垂径定理可作判断：D、延长0D交二0于E,连接CE,根据垂径定理可作判断.【解答】解：A、过D作DD二BC,交二0于连接CD： BD由折叠得：CD=CD ZAB

10、C=ZCBD二AC=CD=CD,故二正确；B、ZAC=CD ZAC = CD 由折叠得：而=66,ZACFBD=BC,故二正确：C、二D为AB的中点，二0D二AB,故二正确：D、延长0D交二0于E,连接CE,二0D二AB,ZZACE=ZBCE,二CD不平分二ACB,故二错误；故选：D.【点评】本题考查了折登的性质：折卷是一种对称变换，它属于轴对称，折卷前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.11、如图，二ABC内接于匚O, BC= 2V2 , CBAC=45,将劣弧懑和花分别沿直线AB、AC折叠后交于点 M,点S、T是弦AB、AC上的动点，则二M

11、ST的周长的最小值为（ ）A. 2/2B. 4C. 4/2D. 8【分析】作点M关于AB的对称点M，关于AC的对称点M,根据折叠的性质得到点Ml M”在圆周上, 连接M*M”,交AB于S,交AC于T,则二MST的周长最小，连接AM、AM. OB, OC,根据圆周角定 理得到MRI”是二O的直径，即可得到结论.【解答】解：作点M关于AB的对称点M,关于AC的对称点M”,二将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,二点M在圆周上，连接交AB于S,交AC于T.则二MST的周长最小，连接 AM AM，OB. OC,则二MAM=2 二 BAC,ZZBAC=45%二二 M，AM=2：BOC=90

12、。，二 BC=2、5,二 OB=2,二 MW20BW二二MST的周长的最小值为4,故选:B.夕7 一【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理, 勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关犍.12、如图，在二0中，点C在优弧匚ACB上，将弧沿二BC折叠后刚好经过AB的中点D,若匚0的半径为y/5 ,AB=4,则BC的长是 .【分析】连接OD、AC、DC、OB、0C,作CE二AB于E, OF二CE于F,如图，利用垂径定理得到OD二AB. 则AD=BD=1aB=2,于是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆 为等圆，

13、则根据圆周角定理得到菽所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四 边形ODEF为正方形得到OF=EF=1,然后计算出CF后得到CE=BE=3,是得到BC=3、历.【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE二AB于E, OFZCETF,如图，二D为AB的中点,ZODZAB,二 AD=BD/AB=2,在 Rt二OBD 中，OD= JoU-BD2 =4（后=1二将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.二个和 所在的圆为等圆，匚烈B,二 AC=DC,二 AE=DE=1,易得四边形ODEF为正方形，ZOF=EF=1,在 Rt二OCF 中，CF=dcO2-OF? = J（后

14、=2,二 CE=CF+EF=2+1=3,而 BE=BEHDE=2T=3,二BC=3血.故答案为3、历.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折棒前后图形的形状和大小不变, 位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.14、如图，AB是半径为2的二0的弦，将俞沿着弦AB折叠，正好经过圆心0,点C是折叠后的k一 动点，连接并延长BC交二0于点D,点E是CD的中点，连接AC, AD, E0.则下列结论：口匚ACB=120。，二二ACD是等边三角形，二E0的最小值为1,其中正确的是.（请将正确答案的序号填在横线上）E【分析】根据折趣的性质可知，结合垂径定理、三

15、角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以 判断二二是否正确，E0的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便 可解决问题.图1【解答】解：如图1，连接OA和0B.作OF二AB.由题知：卷沿着弦AB折叠，正好经过圆心0zof=oa=|obZZAOF=ZBOF=60ZZAOB=120二二ACB=120。（同弧所对圆周角相等）二D=1：AOB=60。（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）二 ZACD=180-ZACB=60ZZACD是等边三角形（有两个角是60。的三角形是等边三角形）故，二二正确卜而研究问题EO的最小值是否是1图2如图2,连接AE和EF二二ACD是等边

16、三角形，E是CD中点二AE二BD （三线合一）又二 OF 二 AB二F是AB中点即，EF是二ABE斜边中线二AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动.所以，如图3,当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF, AEZEF二二O的半径是2,即OA=2, OF=1ZAF= （勾股定理）所以，二不正确 综上所述：二二正确，二不正确.故答案为二二.E3【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 留心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径 定理.14、如图，将品沿着弦AB翻折，C为

17、翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D,连接BC.（1）求证：BC=BD；（2）若AC=1, CD=4, AB=120,求弦AB的长和圆的半径.【分析】（1）作点C关于AB的对称点Ct连接AC, BC利用翻折不变性，以及周角定理即可解决问 题：（2）连接OA, OB,作OM二AB于M, AH二BC交BC的延长线于H.解直角三角形求出AB, OA即 可：【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点连接ACM BU.由翻折不变性可知：BC=BC ZCAB=ZBACZBD=BCZBD=BCZBC=BD.(2)解：连接OA, OB,作OM二AB于M, AH二BC交BC的延长线于H.二 AB=120。，Z

18、ZD=1x120=60,二二 AOB=二 ACB=2 ZD=120,二 BC=BD,二二BCD是等边三角形，二BC=DC=4,在 Rt二ACH 中，二二 H二90。，二 ACH=60。，AC=h二CH=1, AH= , 2 2ZAB= ylAH2 + BH2 = + (1)2 =、国，二 OM 二 AB,历 /二 AM=BM=，在 RtZAOM 中, 2二二OAM=30, ZAMO=90%aB(1)题图【解答】(1)解：如图，连接0C,二B沿CD翻折后，点A与圆心0重合，二Om4oA=1x2=1, CDZOA,二 0C=2,二CD=2CM=2、OC? -OM，=2 正-1? =2 6；(2)证

19、明：ZPA=0A=2, AM=OM=b CM与D=VL 二CMP=：OMC=90。,二PC= Ja/C2 + PM? = 7(V3)2+32 =2 y/3，二 0C=2, PO=2+2=4,ZPC2+OC2= (273 ) 2+22=16=PO2,ZZPCO=90,二PC是二O的切线:（3）解：GEGF是定值，证明如下，连接GO并延长，交二O于点H,连接HF二点G为血的中点二二 GOE=90。，二二HFG=90。，KZOGE=ZFGHZZOGEZZFGH_OG GE-GF =GH二 GEGF=OGGH=2 x4=8.【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆 的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形.