第6章网络模型.docx
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第6章网络模型
第6章网络模型
如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i，j]的长度记为cij，设
数学模型为：
如图6－43所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
【解】弧（i，j）的长度记为cij，设
数学模型为：
如图6－43所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
【解】设xij为弧（i,j）的流量，数学模型为
求图6－41的最小部分树。
图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。
图6－44
【解】图6-44（a），该题有4个解，最小树长为22，其中一个解如下图所示。
图6-44（b），最小树长为20。
最小树如下图所示。
某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。
根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。
乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
表6-20
两村庄之间修建公路的费用（万元）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
【解】属于最小树问题。
用加边法，得到下图所示的方案。
最低总成本万元。
在图6－45中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图（a）和（b）的结果进行比较。
图6－45
【解】图6－45（a）:
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
对于图6－45（b）：
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20；
结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。
已知5年年初购置新设备的价格分别为、、、和万元。
使用时间在1～5年内的维护费用分别为、、、和3万元。
试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总费用最小。
【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态，（i，j）为第i年年初购置新设备使用到第j年年初，弧的权为对应的费用（购置费＋维护费），绘制网络图并计算，结果见下图所示。
总费用最小的设备更新方案为：
第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。
总费用为万元。
图6－46是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
【解】教师可利用模板求解：
data\chpt6\
L1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
9
8
6
v2
0
10
5
100
4
v3
9
10
0
3
14
v4
5
3
0
12
100
v5
8
100
12
0
9
v6
6
4
14
100
9
0
L2
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
8
0
3
14
v4
5
3
0
9
v5
8
13
0
9
v6
6
4
14
9
9
0
L3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
8
0
3
12
v4
5
3
0
9
v5
8
13
0
9
v6
6
4
12
9
9
0
最优票价表：
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
0
3
12
v4
0
9
v5
0
9
v6
0
v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为：
设图6－46是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离（km）。
现要在6个工厂中选一个建装配车间。
（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。
（2）装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是、、、、和吨，运价为2元/吨公里。
应选那个工厂使总运费最小。
【解】
（1）利用习题表L3的结果
v1
v2
v3
v4
v5
v6
Max
v1
0
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
8
0
3
12
12
v4
5
3
0
9
9
v5
8
13
0
9
v6
6
4
12
9
9
0
12
选第1个工厂最好。
（2）计算单件产品的运价，见下表最后一行。
计算单件产品的运费，见下表最后一列。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
单件产品运费
v1
0
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
8
0
3
12
v4
5
3
0
9
v5
8
13
0
9
v6
6
4
12
9
9
0
运价
1
选第4个工厂最好。
如图6－47，
（1）求v1到v10的最大流及最大流量；
（2）求最小割集和最小割量。
【解】给出初始流如下
第一轮标号：
得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示
调整流量。
第二轮标号：
得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示
调整流量。
第三轮标号：
得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示
调整流量。
第四轮标号：
不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示
取
，最小截集{（3,7）,（4,7）,（6,9）,（8,10），最小截量等于45。
将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2，中途有2个加压站B1、B2，天然气管线如图6－48所示。
输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上（cij,dij）。
求
（1）流量为22的最小费用流；
（2）最小费用最大流。
图6－48
【解】虚拟一个发点和一个收点
－1
得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。
求解过程参看习题部分答案PPT文档。
－13
最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。
如图6－46所示，
（1）求解旅行售货员问题；
（2）求解中国邮路问题。
图6-46
【解】
（1）旅行售货员问题。
距离表C
1
2
3
4
5
6
1
∞
9
8
6
2
∞
10
5
∞
4
3
9
10
∞
3
14
4
5
3
∞
12
∞
5
8
∞
12
∞
9
6
6
4
14
∞
9
∞
在C中行列分别减除对应行列中的最小数，得到距离表C1。
距离表C1
1
2
3
4
5
6
1
∞
0
2
∞
6
1
∞
0
3
4
7
∞
0
0
11
4
2
0
∞
∞
5
∞
0
∞
9
6
0
0
10
∞
∞
由距离表C1，v1到v4，H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1},C（H1）=+3++9+4+=
去掉第1行第四列，d41=∞，得到距离表C2。
得到距离表C2
1
2
3
5
6
2
∞
6
∞
0
3
4
7
∞
0
11
4
∞
2
0
∞
5
∞
0
∞
9
6
0
0
10
∞
距离表C2的每行每列都有零，H2=H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1}就是总距离最小的Hamilton回路，C（H1）=。
（2）中国邮路问题。
虚拟一条边
取回路H1＝{v1，v3，v4}，C（H1）=9+5+3=17,C（v1，v3）=9>C（H1）/2，调整回路。
所有回路满足最短回路的准则，上图是最短的欧拉回路，其中边（v1,v4）和（v4,v3）各重复一次。
思考与简答题
（1）运筹学研究的图有哪些特征。
（2）什么是树形图。
（3）简述求有向图最短路的Dijkstra算法的基本步骤。
（4）Dijkstra算法在求有向图与无向图最短路时有什么不同。
（5）什么是网络最大流问题最大流与最大流量有何区别。
（6）简述最大流问题Ford-Fulkerson标号算法的基本思路。
（7）求最小树有哪几种方法，分别简述各种方法的求解思路。
（8）简述增广链的含义。
（9）什么是最小割集，最小割集的经济含义是什么。
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