1、第6章网络模型第6章 网络模型如图642所示,建立求最小部分树的01整数规划数学模型。【解】边i,j的长度记为cij,设数学模型为:如图643所示,建立求v1到v6的最短路问题的01整数规划数学模型。【解】弧(i,j)的长度记为cij,设数学模型为:如图643所示,建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。【解】 设xij为弧(i,j)的流量,数学模型为求图641的最小部分树。图6-41(a)用破圈法,图6-41(b)用加边法。图644【解】图6-44(a),该题有4个解,最小树长为22,其中一个解如下图所示。图6-44(b),最小树长为20。最小树如下图所示。 某乡政府计划未来3年内,
2、对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。根据勘测,10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。表6-20两村庄之间修建公路的费用(万元)1234567891012345678910【解】属于最小树问题。用加边法,得到下图所示的方案。最低总成本万元。在图645中,求A到H、I的最短路及最短路长,并对图(a)和(b)的结果进行比较。 图645【解】图645(a):A到H的最短路PAH=A,B,F,H,A,C,F,H最短路长22;A到I的最短路PAI=A,B,F,I,A,C,F,I最短路长21。对于图645(b):A到H的最短路PAH=A,
3、C,G,F,H,最短路长21;A到I的最短路PAI=A,C,G,F,I,最短路长20;结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。已知某设备可继续使用5年,也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。已知5年年初购置新设备的价格分别为、和万元。使用时间在15年内的维护费用分别为、和3万元。试确定一个设备更新策略,使5年的设备购置和维护总费用最小。【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态,(i,j)为第i年年初购置新设备使用到第j年年初,弧的权为对应的费用(购置费维护费),绘制网络图并计算,结果见下图所示。总费用最小的设备更新方案为:第一种方案,第1年购置一台设备使用到第5年年末;第二种方案,第1年购置一
4、台设备使用到第2年年末,第3年年初更新后使用到第5年年末。总费用为万元。图646是世界某6大城市之间的航线,边上的数字为票价(百美元),用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。【解】教师可利用模板求解:datachpt6L1v1v2v3v4v5v6v10986v201051004v39100314v453012100v581001209v6641410090L2v1v2v3v4v5v6v1086v2085134v380314v45309v581309v66414990L3v1v2v3v4v5v6v1086v2085134v380312v45309v581309v66412990最
5、优票价表:v1v2v3v4v5v6v1086v2085134v30312v409v509v60v1、v2、v6到各点的最优路线图分别为: 设图646是某汽车公司的6个零配件加工厂,边上的数字为两点间的距离(km)。现要在6个工厂中选一个建装配车间。(1)应选那个工厂使零配件的运输最方便。(2)装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是、和吨,运价为2元/吨公里。应选那个工厂使总运费最小。【解】(1)利用习题表L3的结果v1v2v3v4v5v6Maxv1086v2085134v38031212v453099v581309v6641299012选第1个工厂最好。(2)计算单件产品的运价,见下
6、表最后一行。计算单件产品的运费,见下表最后一列。v1v2v3v4v5v6单件产品运费v1086v2085134v380312v45309v581309v66412990运价1选第4个工厂最好。 如图647,(1)求v1到v10的最大流及最大流量;(2)求最小割集和最小割量。【解】给出初始流如下第一轮标号:得到一条增广链,调整量等于5,如下图所示调整流量。第二轮标号:得到一条增广链,调整量等于2,如下图所示调整流量。第三轮标号:得到一条增广链,调整量等于3,如下图所示调整流量。第四轮标号:不存在增广链,最大流量等于45,如下图所示取 ,最小截集(3,7),(4,7),(6,9),(8,10),最
7、小截量等于45。 将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2,中途有2个加压站B1、B2,天然气管线如图648所示。输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij, dij)。求(1)流量为22的最小费用流;(2)最小费用最大流。图648【解】虚拟一个发点和一个收点1得到流量v22的最小费用流,最小费用为271。求解过程参看习题部分答案PPT文档。13最小费用最大流如下图,最大流量等于27,总费用等于351。如图646所示,(1)求解旅行售货员问题;(2)求解中国邮路问题。图6-46【解】(1)旅行售货员问题。距离表C123456198621054
8、39103144531258129664149在C中行列分别减除对应行列中的最小数,得到距离表C1。距离表C1123456102610347001142050960010由距离表C1,v1到v4, H1= v1, v4 ,v3 ,v5 ,v6 ,v2 ,v1, C(H1)=+3+9+4+=去掉第1行第四列,d41=,得到距离表C2。得到距离表C21235626034701142050960010距离表C2的每行每列都有零,H2= H1= v1, v4 ,v3 ,v5 ,v6 ,v2 ,v1就是总距离最小的Hamilton回路,C(H1) =。(2)中国邮路问题。虚拟一条边取回路H1v1,v3,
9、v4,C(H1)=9+5+3=17,C(v1,v3)=9 C(H1)/2,调整回路。所有回路满足最短回路的准则,上图是最短的欧拉回路,其中边(v1, v4)和(v4, v3)各重复一次。 思考与简答题(1)运筹学研究的图有哪些特征。(2)什么是树形图。(3)简述求有向图最短路的Dijkstra算法的基本步骤。(4)Dijkstra算法在求有向图与无向图最短路时有什么不同。(5)什么是网络最大流问题最大流与最大流量有何区别。(6)简述最大流问题Ford-Fulkerson标号算法的基本思路。(7)求最小树有哪几种方法,分别简述各种方法的求解思路。(8)简述增广链的含义。(9)什么是最小割集,最小割集的经济含义是什么。返回顶部
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