初中数学二次函数yax2+bx+ca0的图象及特征练习含答案 2.docx
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初中数学二次函数yax2+bx+ca0的图象及特征练习含答案2
初中数学：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象及特征练习（含答案）
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象及
特征
1．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a（x－h）2＋k的形式,下列正确的是（ ）
A．y＝（x－1）2＋2B．y＝（x－1）2＋3
C．y＝（x－2）2＋2D．y＝（x－2）2＋4
2．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝－1
C．直线x＝－2D．直线x＝2
3．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上,顶点坐标为（－1,－4）
B．开口向下,顶点坐标为（1,4）
C．开口向上,顶点坐标为（1,4）
D．开口向下,顶点坐标为（－1,－4）
4．下列图象为二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的是（ ）
图1－2－15
5．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1,则b的值为________．
6．二次函数y＝（k＋2）x2的图象开口向下,则k的取值范围是________．
7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
y＝x2＋3x－2,y＝1－6x－x2,y＝3x2－2x＋4.
知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的平移
8．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝（x－1）2＋2B．y＝（x＋1）2＋2
C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3
9．已知下列函数：
①y＝x2；②y＝－x2；③y＝（x－1）2＋2.其中,图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________（填写所有正确选项的序号）．
10．如果将抛物线y＝x2－4平移到抛物线y＝x2－4x的位置,那么平移的方向和距离是__________________．
知识点3 求二次函数的表达式
11．根据已知条件,求二次函数表达式：
（1）抛物线的顶点是（3,－1）,且过点（2,3）；
（2）抛物线过（0,1）,（－1,0）,（1,0）三点；
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2,且过点（1,4）和（5,0）．
12．将如图1－2－16所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数表达式是（ ）
图1－2－16
A．y＝（x－1）2＋1B．y＝（x＋1）2＋1
C．y＝2（x－1）2＋1D．y＝2（x＋1）2＋1
13．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数表达式为y＝（x－1）2－4,则b,c的值为（ ）
A．b＝2,c＝－6B．b＝2,c＝0
C．b＝－6,c＝8D．b＝－6,c＝2
14．如图1－2－17,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1,0）,对称轴l如图所示．则下列结论：
①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0,其中所有正确的结论是（ ）
图1－2－17
A．①③B．②③C．②④D．②③④
15．已知点A（a－2b,2－4ab）在抛物线y＝x2＋4x＋10上,则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为（ ）
A．（－3,7）B．（－1,7）
C．（－4,10）D．（0,10）
16．如图1－2－18,在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A（1,0）,B（3,0）两点,P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.
（1）求抛物线y＝－x2＋ax＋b的函数表达式；
（2）当P是线段BC的中点时,求点P的坐标．
图1－2－18
17．我们知道,对于二次函数y＝a（x＋m）2＋k的图象,可由二次函数y＝ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到,我们称二次函数y＝ax2为“基本函数”,而称由它平移得到的二次函数y＝a（x＋m）2＋k为“基本函数”y＝ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为“朋友路径”,对应点之间的线段长度
称为“朋友距离”．
由此,我们所学的函数：
二次函数y＝ax2,正比例函数y＝kx和反比例函数y＝
都可以作为“基本函数”,并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．
如一次函数y＝2x－5是“基本函数”y＝2x的“朋友函数”,由y＝2x－5＝2（x－1）－3可知“朋友路径”可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,“朋友距离”＝
＝
.
（1）探究一：
小明同学经过思考后,为函数y＝2x－5又找到了一条“朋友路径”：
由“基本函数”y＝2x先向________,再向下平移7单位,相应的“朋友距离”为________；
（2）探究二：
已知函数y＝x2－6x＋5,求它的“基本函数”“朋友路径”和相应的“朋友距离”；
（3）探究三：
为函数y＝
和它的“基本函数”y＝
找到“朋友路径”,并求相应的“朋友距离”．
详解详析
1．B 2.B
3．A [解析]∵二次函数y＝x2＋2x－3的二次项系数为a＝1＞0,
∴抛物线开口向上．
∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4,
∴顶点坐标为（－1,－4）．
4．A
5．4 6.k<－2
7．解：
（1）y＝x2＋3x－2＝x2＋3x＋（
）2－（
）2－2＝（x＋
）2－
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x＝－
顶点坐标为（－
－
）．
（2）y＝1－6x－x2
＝－x2－6x＋1
＝－（x2＋6x＋9－9）＋1
＝－（x＋3）2＋10,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x＝－3,顶点坐标为（－3,10）．
（3）y＝3x2－2x＋4
＝3（x2－
x＋
－
）＋4
＝3（x－
）2－
＋4
＝3（x－
）2＋
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x＝
顶点坐标为（
）．
8．C
9．①③ [解析]函数y＝x2＋2x－3可化为y＝（x＋1）2－4,由函数图象平移的法则可知,将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y＝（x＋1）2－4的图象,故①正确；函数y＝（x＋1）2－4的图象开口向上,函数y＝－x2的图象开口向下,故不能通过平移得到,故②错误；将y＝（x－1）2＋2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y＝（x＋1）2－4的图象,故③正确．
10．向右平移2个单位 [解析]∵抛物线y＝x2－4的顶点坐标是（0,－4）,抛物线y＝x2－4x＝（x－2）2－4的顶点坐标是（2,－4）,
而把点（0,－4）向右平移2个单位得到点（2,－4）,
∴平移方法是向右平移2个单位．
11．解：
（1）∵抛物线的顶点坐标为（3,－1）,
∴设表达式为y＝a（x－3）2－1.
把（2,3）代入,得a＝4,
∴二次函数表达式为y＝4（x－3）2－1.
（2）设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
将（0,1）,（－1,0）,（1,0）代入,得
解得
∴二次函数表达式为y＝－x2＋1.
（3）设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c,
由题意得
解得
∴二次函数表达式为y＝－
x2＋2x＋
.
12．C [解析]设原抛物线的函数表达式为y＝ax2－2,把（1,0）代入,得a－2＝0,解得a＝2,所以抛物线的函数表达式为y＝2x2－2,抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,得y＝2（x－1）2－2＋3,即y＝2（x－1）2＋1.故选C.
13．B
14．D [解析]∵开口向下,∴a＜0.∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,即b＞0.∵抛物线与y轴正半轴相交,∴c＞0,即abc＜0,结论①错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1,0）,∴a－b＋c＝0,结论②正确；∵当x＝2时,y＜0,即4a＋2b＋c＜0,又b＝a＋c,∴4a＋2（a＋c）＋c＜0,即2a＋c＜0,结论③正确；∵a－b＋c＝0,∴c＝b－a.又∵4a＋2b＋c＜0,∴4a＋2b＋b－a＜0,∴3a＋3b＜0,∴a＋b＜0,结论④正确．
15．D [解析]∵点A（a－2b,2－4ab）在抛物线y＝x2＋4x＋10上,
∴2－4ab＝（a－2b）2＋4（a－2b）＋10,化简得a2＋4b2＋4a－8b＋8＝0,（a＋2）2＋4（b－1）2＝0,∴a＋2＝0且b－1＝0,∴a＝－2,b＝1,∴A（－4,10）．
∵抛物线y＝x2＋4x＋10的对称轴为直线x＝－2,则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（0,10）．故选D.
16．解：
（1）将点A,B的坐标代入抛物线的函数表达式y＝－x2＋ax＋b,得
解得a＝4,b＝－3,
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x－3.
（2）∵点C在y轴上,
∴点C的横坐标为0.
∵P是线段BC的中点,
∴点P的横坐标xP＝
＝
.
∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上,
∴yP＝－
＋4×
－3＝
∴点P的坐标为
.
17．解：
（1）左平移1个单位 5
（2）“基本函数”为y＝x2.
∵原抛物线的顶点坐标为（0,0）,新抛物线的顶点坐标为（3,－4）,
∴“朋友路径”为先向右平移3个单位,再向下平移4个单位,
相应的“朋友距离”为
＝5.
（3）∵函数y＝
可化为y＝
＋3,
∴“朋友路径”为先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,相应的“朋友距离”为＝
＝
.
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