绝对值不等式讲义全.docx

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绝对值不等式讲义全

解绝对值不等式

1、解不等式|x-5x51：

：

1.

［思路］利用|f（x）|0）--a

变形一右边的常数变代数式

2

2、解下列不等式：

（1）|X+1|>2—x；

（2）|x—2X—6|<3x

［思路］利用If（x）|g（x）=f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）去掉绝对值

3x

3、解不等式

（1）|x-x2-2|>x2-3x-4;

（2）—<1

x—4

变形二含两个绝对值的不等式

4、解不等式

（1）|x—1|<|x+a|；

（2）|x-2|+|x+3|>5.

［思路】

（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用|f（x）|〈|g（x）|=f2（x）g2（x）两边平方去掉绝

对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解

5、解关于x的不等式|loga（1-x）||loga（1x）|（a>0且a工1）

x

6.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为

2

变形三解含参绝对值不等式

8、解关于x的不等式-x2-4mx-4m2m3

［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成|x-2m「m，3,则

解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对m3的正负进行讨论。

2）形如|f（x）|a（a，R）型不等式

此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

1当a>0时，|f（x）|a=f（x）>a或f（x）<—a；

2当a=0时，|f（x）|af（x）丸

3

当a<0时，|f（x）|a=f（x）有意义。

10.关于x的不等式|kx—1|<5的解集为{x|—3wxW2},求k的值。

变形4含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

|a+b|w|a|+|b|,便把问题简化。

1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。

2）fx乞a有解=•a_fxmin；fx-a解集为空集=a：

fxmin;这两者互补。

fx-a恒成立=a_fx。

X加ax

fx:

a有解=a-fxmin；fx:

:

a解集为空集=a一fxmin；这两者互补。

fx:

:

a恒成立=afx。

4max

fx_a有解=a-fxmax；fx_a解集为空集=a•fxmax；这两者互补。

fx-a恒成立

二a_fx。

>min

fxa有解=a：

：

：

fxmax;fxa解集为空集=a一fxmax；这两者互补。

fx•a恒成立=a乞fx。

*min

12.对任意实数x,若不等式|x+i|—|x—2|>k恒成立，求k的取值范围

13.对任意实数x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围

变题:

1）、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围

2）、若不等式|x-4|-|x-3|

3）、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围

5

14、设0

4

21

x-a<-求正实数b的取值范围。

2

第5变绝对值三角不等式问题

2

15、已知函数f（x）=axbxc（a,b,cR），当x[-1,1]时|f（x）任1，求证:

（1）|b#1；

⑵若g（x）二bxaxc（a,b,cR），则当x[-1,1]时，求证:

|g（x）2。

16、已知函数f（x）=-1x2，a,b=R,且a^b，求证|f（a）-f（b）|<|a-b|

17、

（1）已知不等式|x-3|+|x+1|

（4）已知不等式|x-3|+|x+1|

18、已知f（x）的定义域为[0,1],且f（0）=f

（1）,如果对于任意不同的X1,X2€[0,1],都有|f（xi）-f（x2）|<|x1-X2|,求证：

1

|f（X1）-f（X2）|<

2

19、已知二次函数f（x）二ax2bxc，当-1-X-1时，有-1空f（x）空1，求证:

当-2-x-2时，有

-7-f（x）_7.

解绝对值不等式

［题根4:

解不等式|X2-5x5卜：

1.

［思路］利用|f（x）|0）--a

等式组-1：

：

：

x2-5x5：

：

1即x"5x51

（1）求解

[x2-5x+5a-1

（2）

:

解题］原不等式等价于-1：

：

：

x2-5x•5：

：

：

1,

2

x-5x5"

（1）

即2

x-5x5•-1

（2）

由

（1）得：

1

（2）得：

X：

：

：

2或x3,

所以，原不等式的解集为{x|1：

：

：

x：

：

：

2或3：

：

：

x:

:

4}.

［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值

不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。

在同一坐标系中画出函数y=x2-5x+5与y=1的

的图象，解方程x2-5x+5|=1，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变右边的常数变代数式

［变题1:

解下列不等式：

（1）1x+1|>2—x;

（2）|x2—2x—6|<3x

:

思路:

利用If（x）|g（x）=f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）去掉绝对值后转化为我们

熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：

⑴原不等式等价于x+1>2—x或x+1<—（2—x）

11

解得X>1或无解，所以原不等式的解集是{XIX〉1}

22

2

（2）原不等式等价于—3X

加X2—2x一6—3xx2x—60—「（x3）（x一2）0—!

x<-3或x2

即2=2■:

X-2x-6：

：

3xX-5x-6：

：

0（x1）（x-6）：

：

0-1：

：

x：

：

6

2

所以原不等式的解集是{x|2

［收获］形如|f（x）|g（x）型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

1|f（x）|

2|f（x）|>g（x）=f（x）>g（x）或f（x）<—g（x）

［请你试试4—1:

解：

（1）分析一可按解不等式的方法来解

原不等式等价于：

x-x2-2>x2-3x-4

或x-x2-2<-（x2-3x-4）

解①得：

1-2

解②得：

x>-3

分析

故原不等式解集为{x|x>-3}

x-x2-2|=|x2-x+2

护2127

而x2-x+2=（x-）2+>0

44

所以|x-x2-2|中的绝对值符号可直接去掉

故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4

解得:

x>-3

•••原不等式解集为{x>-3}

方后求解.

第2变含两个绝对值的不等式

［变题2:

解不等式

（1）|x—1|<|x+a|；

（2）|x-2|+|x+3|>5.

［思路］

（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用|f（x）|〈|g（x）|=f2（x）g2（x）两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］

（1）由于|x—1|>0,|x+a|XJ,所以两边平方后有：

22

|x—1|<|x+a|

才，2222

即有x—2x+i1—a

当2a+2=0即a=—1时，不等式无解；

（2）解不等式丨x-2|+|x+3|>5.

解：

当xW-3时，原不等式化为（2-x）-（x+3）>5=-2x>6=x<-3.当-35=5>5无解.

当x浆时，原不等式为（x-2）+（x+3）>5=2x>4=x>2.

综合得：

原不等式解集为{x|x>2或x<-3}.

[收获]1）形如|f（X）|<|g（x）|型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

22

If（X）|<|g（x）丨=f（x）：

：

g（x）=[f（x）g（x）][f（x）-g（x）]<0

2）所谓零点分段法，是指：

若数x1,x2,,xn分别使含有|x—x-1I,Ix—x2|,,|x—xnI的代数式

中相应绝对值为零，称X1,他,,Xn为相应绝对值的零点，零点X1,X2,,Xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即

令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求

解条理化、思路直观化

1解关于X的不等式|loga（1-x）|」loga（「x）|（a>0且a工1）

解析：

易知—1

Ilg（1—X）||lg（1X）|

lgalga

•••|lg（1—x）|2|lg（1x）|2

22

于是lg（1-x）-lg（1x）0

•••[lg（1-x）lg（1x）][lg（1-x）-|g（1x）]0

2、「1-X小

-x）lg0

1+x

•••—1

c,2,

「0<1—x<1

2

•ig（i—x）

1-x

•lg<01x

c1_X’--01

1x

解得0

解：

x—4（x_-3）

⑵当i

2

•••x-3x3-0x一。

（1）当2x:

3时，log3x—log33—x_log33

99

（2）.収一33-乂••x,结合前提得：

x:

:

:

3。

44

综合得原不等式的解集为'03^1!

i-3I'

「廿如丿

第3变解含参绝对值不等式

I22

［变题3:

解关于x的不等式•x-4mx4mm3

解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对m3的正负进行讨论。

:

解题］原不等式等价于Ix-2mI•m3

当m•3=0即m二―3时,

当m•3：

：

：

0即m：

：

：

-3时，

［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。

2）形如|f（x）|a®R）型不等式

分析：

本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。

本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对

值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集

377

.a_xa

b

故不等式的解集为（弋3寻出可

2.关于x的不等式|kx—1|<5的解集为{x|—3wxW2},求k的值。

按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理

解：

原不等式可化为—4wkx<6

当k=0时，显然不满足题意

当k<0时,

综上，k=—2。

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

［变题4:

若不等式|X—4|+|3—x|

［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨

论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求

解，运算量较大。

若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式

|a+b|w|a|+|b|,便把问题简化。

［解题］解法一

（1）当awo时，不等式的解集是空集。

（2）当a>0时，先求不等式|x—4|+|3—x|

令X—4=0得x=4,令3—X=0得x=3

1当x>4时，原不等式化为x—4+x—3

X_4—7卜a

解不等式组一=4乞x：

：

：

—a,•••a>1

2x—7wa2

2当31

3当x<3时，原不等式化为4—x+3—x

「X兰37_a7_a

解不等式：

一a:

:

:

x^3=—：

：

：

3,二a>l

17-2xva22

综合①②③可知，当a>i时，原不等式有解，从而当0

由

（1）

（2）知所求a取值范围是a<1

解法二由|x—4|+|3—x|的最小值为1得当a>1时，|x—4|+|3—x|

从而当a<1时，原不等式解集为空集。

解法三:

•••a>|x—4|+|3—x|>x—4+3—x|=1

•••当a>1时，|X—4|+|3—x|

从而当a<1时，原不等式解集为空集。

［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法

恒成立=a-fxmax。

fxa有解=a■fxmin；fx:

:

:

a解集为空集=a空fxmin；这两者互补。

fx：

：

：

a恒

成立=afxmax。

fx_a有解=a_fxmax；fx-a解集为空集=afxmax；这两者互补。

fx_a恒成立=a乞fXmin。

fxa有解=a”：

fxmax；fxa解集为空集二a兰f（x）max；这两者互补。

f（x）：

>a恒成立na兰f（xmin。

1.对任意实数x,若不等式|x+i|-|x—2|>k恒成立，求k的取值范围。

思维点拨：

要使|x+l|—|x—2|>k对任意实数x恒成立，只要|x+l|—|x—2|的最小值大于k。

因|x+l|的几何意义为数轴上点x到一1的距离，|x—2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|—|x—2|的几何意义为数轴上点x到—1与2的距离的差，其最小值可求。

此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。

解法一根据绝对值的几何意义，设数x,—1,2在数轴上对应的点分别为

|PB|>k成立

•••|AB|=3,即|X+1|—|x—2|>—3

故当k<—3时，原不等式恒成立

-3,^-1

解法二令y=|x+1|—|x—2|,则y二2x-1,一1:

:

：

X:

:

：

2

3,^2

P、A、B,则原不等式即求|PA|—

要使|x+1|—|x—2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<—3即可。

故k<—3满足题意。

2.对任意实数x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围

分析：

经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。

解：

由绝对值不等式：

|x+1|+|x-2|_|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）<0,即

-1乞x辽2时取等号。

故a<3

说明：

转化思想在解中有很重要的作用，比如：

恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值

问题。

（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：

要使……，只要……）

3.已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|

分析

（一）；|x-4|+|x-3|_|x-4—（x-3）|=1

二当|x-4|+|x-3|1

（二）如图，实数X、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：

y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|

|PA|+|PB|_1

数按题意只须a>1

034x

（四）考虑|z_4|+|z_3|

当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解.a>1即为所求

（五）可利用零点分段法讨论•

将数轴可分为（-R,3）,[3,4],（4,+R）三个区间.当x<3时，得（4-x）+（3-x）7_a.

2

有解条件为—<3即a>1

2

当31

当x>4时，得（x-4）+（x-3）

2

有解条件为7_a>4即a>1

2

，即仍为a>1.

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集

变题:

1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围

2、若不等式|x-4|-|x-3|

3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立,求a的取值范围

评注:

1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法

4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法

设0

4

21

x-a<—求正实数b的取值范围。

2

简析略解：

此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化：

设集合A=£|x—acb}=（a—b,a+b）,

B=』x|x-a2c1]=a2_1,a2+1j

k2：

i22丿

由题设知A匸B，贝V：

「a—b二a?

——

2

于是得不等式组：

又-a2

3

b,

16

即：

b的取值范围是

1ab乞a

2

1

■'■a■'■—

2

1-a

2

rb<-a2

Ib兰a2

第5变绝对值三角不等式问题

（0：

：

：

a）

4

3.

16

最小值为-；

4

2

［变题5:

已知函数f（x）二axbxc（a,b,R）,当［T,1］时|f（x）卩1,求证：

（1）|bQ；

⑵若g（x）=bx2axc（a,b,cR）,则当x［-1,1］时，求证:

|g（x）|一2。

［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：

所要求的结论不是b或g（x）的确定值，

而是与条件相对应的取值范围”，因此，我们可以用f-1、f（0）、f1来表示a,b,c。

|f（-1）Q,|f（0）Q,|f

（1）匸1。

f1来表示

因为由已知条件得

—1

[解题]证明：

（1）由fl=abc,f-1=a-bc=b[f1-f-1],从而有

11问工戸⑴-仁"）]迁（|f

（1）||f（-1）|），；|f

（1）Q,|f（-1）Q,

1

|b^^（|f

（1）||f（-1）|）叨.

⑵由

从而

.—11

f1=abc,f-A=a-b-c=b[f1-f：

；T],a•c[f1厂f=],c=f（0）,

1ap[f1f-1]-f（0）

以上

2

式代入g（x）=bxaxc（a,b,cR）,并211

|g（x）|=|f（0）（x2-1）f

（1）（x1）f（-1）（1-x）|

22

1

—|f（-1）（1-x）|

2

1

-|f（T）||1-x|

21

4f（0）（x2-1）|-|f

（1）（x1）|

2

21

=|f（0）|x-1|Rf

（1）||x1|

1111

-|x2—1||x1|—11—x|=1—X-（x1）（1—x）=2—x

2222

-2

［收获］1）二次函数的一般式y=ax2+bx+c（c式0）中有三个参数a,b,c.解题的关键在于

专业word可编辑

:

通过三个独立条

件确定”这三个参数

2）本题变形技巧性强，同时运用公式|a•b|_|a|•|b|,|a-b|_|a「|b|及已知条件进行适当的放大。

要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。

［请你试试4—5:

1•已知函数f（x）=,1x2,a,b・R,且a=b,求证|f（a）-f（b）|<|a-b|。

分析:

要证|.1a2-1•b2|：

：

：

|a-b|,考察左边,是否能产生|a-b|。

22

证明:

|f（a）-f（b）|=11^1［巳2—A2""|a|Yb|"

册》b”b|

1一a—1一b2「：

：

：

|a||b|）

（其中.1•a2a2斗a|,同理,1-b2|b|,a

回顾：

1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。

此外，综合运用

不等式的性质是证题成功的关键。

如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及三角形不等式”等等。

2、本题的背景知识与解析几何有关。

函数y「.1x2是双曲线，亍川=1的上支，而|红里|（即

X〔一X2

|型W|）,则表示该