绝对值不等式讲义全.docx

1、绝对值不等式讲义全解绝对值不等式1、解不等式 | x - 5x 51 ： 1.思路利用| f(x) | 0) - -af(x)2 x ； (2)| x 2X 6|3 x思路利用 I f(x) | g(x) = -g(x)f(x)g(x) = f(x)g(x)或 f(x)x2-3x-4 ; ( 2) 1x 4变形二含两个绝对值的不等式4、解不等式(1) |x 1|5.思路】(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用| f(x) |g(x)| = f2(x) g2(x)两边平方去掉绝对值符号。(2)题可采用零点分段法去绝对值求解5、解关于 x 的不等式 |loga(1 -x)| | loga(1 x

2、) | (a0 且 a 工1)x6.不等式|x+3|-|2x-1| +1的解集为2 变形三解含参绝对值不等式8、解关于x的不等式 -x2 -4mx - 4m2 m 3思路本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解 ，运算理较大。若化简成|x-2mm，3 ,则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对 m 3的正负进行讨论。2)形如 |f(x)|a(a，R)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：1当 a 0 时，| f (x) | a = a f (x) a = f (x) a或 f (x) a ；2当 a=0 时，| f (x) | a f (x)丸3当 a0 时，| f(

3、x)| a= f (x)有意义。10 .关于x的不等式|kx 1| minf x a有解=a ： f x max ; f x a解集为空集 =a 一 f x max ；这两者互补。f x a恒成立 =a 乞 f x 。* min12.对任意实数x ,若不等式|x+i| |x 2| k恒成立，求k的取值范围13.对任意实数x,不等式|x+1|+|x-2|a 恒成立，求实数a的取值范围变题:1）、若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2）、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围514、设0a兰一,若满足不等式 x-a b的一切实数x,亦满足不等式

4、42 1x -a -求正实数b的取值范围。2第5变绝对值三角不等式问题215、已知函数 f(x) =ax bx c(a,b,c R)，当 x -1,1时| f(x)任 1，求证:(1)|b#1 ；若 g(x)二 bx ax c (a,b,c R)，则当 x -1,1时，求证:| g(x) 2。16、已知函数 f(x)= -1 x2 ，a,b=R,且 ab，求证 |f(a)-f(b)|a-b|17、( 1)已知不等式|x-3|+|x+1|a ,的解集为空集，求a的取值范围;(4)已知不等式|x-3|+|x+1| a的解集非空，求a的取值范围。18、已知f(x)的定义域为0,1,且f(0)=f(1

5、),如果对于任意不同的 X1,X2 0,1,都有|f(xi)-f(x 2)|x 1-X2|,求证：1|f(X1)-f(X2)|219、 已知二次函数 f (x)二ax2 bx c，当- 1 - X - 1时，有- 1空f (x)空1，求证:当- 2-x-2时，有-7 - f (x) _7.解绝对值不等式题根4:解不等式| X2 -5x 5卜：1.思路利用| f(x) | 0) - -af(x)a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组 -1 ： x2-5x 5：1 即 x5x 5 1 (1)求解x2-5x+5a-1 (2):解题原不等式等价于 -1 ： x2 -5x 5 ： 1 ,2x

6、- 5x 5 (1)即2x -5x 5 -1 (2)由(1)得：1 x 2 x ; (2)| x2 2 x 6|3 x:思路:利用 I f(x) | g(x) = -g(x)f(x)g(x) = f(x)g(x)或 f(x)2 x或x+1 1或无解，所以原不等式的解集是XIX12 22(2)原不等式等价于 3Xx 2x 63 x加 X2 2x 一6 3x x2 x6 0 (x 3)(x 一2) 0 ! x -3或x 2即 2 =2 :X -2x-6：3x X -5x-6 ：0 (x 1)(x-6) ：0 -1 ： x ： 62 x6所以原不等式的解集是x|2 x6收获形如 | f (x) |

7、g(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：1| f(x) | g(x) = g(x) f(x) g(x) = f (x) g(x)或 f (x) x 2-3x-4或 x-x2-2-(x 2-3x-4)解得：1-2x-3分析故原不等式解集为 x | x-3 x-x2-2 | = | x2-x+2护 2 1 2 7而 x2-x+2 = (x- )2+ 04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉故原不等式等价于 x2-x+2x 2-3x-4解得:x-3原不等式解集为 x-3 方后求解.第2变含两个绝对值的不等式变题 2:解不等式(1) |x 1|5.思路(1)题由于两边均

8、为非负数，因此可以利用| f(x) |g(x) | = f2(x) g2(x)两边平方去 掉绝对值符号。(2)题可采用零点分段法去绝对值求解 。解题(1)由于|x 1| 0, |x+a|XJ,所以两边平方后有：2 2|x 1| |x+a|才， 2 2 2 2即有 x 2 x+i1 a当2a +2=0即a= 1时，不等式无解；(2 )解不等式丨 x-2 | + | x+3 | 5.解：当 xW-3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5 = -2x6 = x-3. 当-3x5 = 55无解.当 x 浆时，原不等式为(x-2)+(x+3)5 = 2x4 = x2.综合得：原不等式解集为x | x

9、2或x-3 .收获1)形如| f (X) | g(x) |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：2 2I f(X)| g(x)丨=f (x) ：g(x)= f(x) g(x) f(x)-g(x)0且a工1)解析：易知1 X1 ,换成常用对数得：I lg(1 X)| |lg(1 X) |lg a lg a|lg(1 x)|2 |lg(1 x) |22 2于是 lg (1 -x) -lg (1 x) 0lg(1 -x) lg(1 x)lg(1 -x)-|g(1 x) 02、 1 - X 小-x ）lg 01 +x1 x 1c , 2 ,01 x 12ig（i x）o,1 -x lg 0 1

10、 xc 1 _X -0 11 x解得0 x 1解：x 4（x _ -3）当 ix 2 时，即 log3x log3 3-x _log33.2 x -3x 3- 0 x 一。(1)当 2 x : 3时，log3xlog3 3 x _log339 9(2).収一3 3-乂 x ,结合前提得： x : 3。4 4综合得原不等式的解集为 0 3 1 !i- 3 I廿如丿第3变 解含参绝对值不等式I 2 2变题3:解关于x的不等式 x -4mx 4m m 3解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对 m 3的正负进行讨论。:解题原不等式等价于I x - 2m I m 3当 m 3 = 0即 m 二3

11、时,当 m 3 ： 0 即 m ： -3 时，收获1) 一题有多解，方法的选择更重要。2)形如 |f(x)|a R)型不等式分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法 ，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论 ，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集 ，得出原不等式的解集3 77.a _x ab故不等式的解集为（弋3寻出可2.关于x的不等式|kx 1|5的解集为x| 3 wx W2,求k的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后 ，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理解：原不等式可化为4 wkx 6当k=0时，显然不满足题意当k0时,综上，

12、k = 2。第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4:若不等式|X 4|+|3 x|0时，先求不等式| x 4|+|3 x |4时，原不等式化为x 4+ x 3 a ,即2 x 712x7wa 22当3 x4时，原不等式化为 4 x+ x 313当x 3时，原不等式化为 4 x+3 x a即7 2xl17-2xva 2 2综合可知，当ai时，原不等式有解，从而当0a 1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a 1时，|x 4|+|3 x| a有解从而当a | x 4|+|3 x|x 4+3 x|=1当 a1 时，|X 4|+|3 x| a 有解从而当a a恒

13、成立n a兰f (x min 。1.对任意实数x ,若不等式|x+i| - |x 2| k恒成立，求k的取值范围。思维点拨：要使| x+l| | x 2| k对任意实数x恒成立，只要| x+l| | x 2|的最小值大于k。因| x+l|的 几何意义为数轴上点 x到一1的距离，|x 2|的几何意义为数轴上点 x到2的距离，|x+1| |x 2|的几何意义为 数轴上点x到1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数 ，通过画出图象，观察k的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义 ，设数x , 1,2在数轴上对应的点分别为|PB| k 成立|AB|=3 ,即

14、|X + 1| |x 2| 3故当k k恒成立，从图象中可以看出，只要k 3即可。 故ka 恒成立，求实数a的取值范围分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| _|(x+1)-(x-2)|=3 ，当且仅当(x+1)(x-2) 0,即-1乞x辽2时取等号。故a0,不等式|x-4|+|x-3|a 在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分析(一)；|x-4|+|x-3| _|x-4 (x-3)|=1二 当|x-4|+|x-3|1(二)如图，实数X、3、4在数轴上的对应点分别为 P、A、B则有：y=|x-4|+|x-

15、3|=|PA|+|PB|PA|+|PB| _1数按题意只须a10 3 4 x(四)考虑|z_4|+|z_3|1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a1原不等式有解.a1 即为所求(五) 可利用零点分段法讨论将数轴可分为(-R, 3), 3, 4, (4, + R)三个区间. 当 x3 时，得(4-x)+(3-x) 7 _a .2有解条件为12当 3 x4 时得(4-x)+(x-3)1当 x4 时，得(x-4)+(x-3)a 二 x4 即a12，即仍为a1.以上三种情况中任一个均可满足题目要求 ，故求它们的并集变题:1、 若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实

16、数x恒成立，求a的取值范围2、 若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立,求a的取值范围评注:1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设0a兰5,若满足不等式 x-a cb的一切实数x，亦满足不等式42 1x-a 求正实数b的取值范围。2简析略解：此例看不出明显的恒成立问题 ，我们可以设法转化：设集合 A = |xa cb = (ab,a+b),B=x | x - a2 c1 = a2 _ 1 ,a2 +1 jk 2： i 2 2 丿由题设知A匸B，贝V ： a b二a?2于是得不等式组：又-a23b

17、,16即：b的取值范围是1 a b乞a21 a 21 -a2r b -a2I b 兰 a2第5变绝对值三角不等式问题(0 ： a )43 .16最小值为-；42变题5:已知函数f (x)二ax bx c (a, b,R),当T,1时| f (x)卩1 ,求证：(1)|bQ ；若 g(x) =bx2 ax c (a,b,c R),则当 x -1,1时，求证:| g(x) |一 2。思路本题中所给条件并不足以确定参数 a,b, c的值，但应该注意到：所要求的结论不是 b或g(x)的确定值，而是与条件相对应的 取值范围”，因此，我们可以用f -1 、f(0)、 f 1来表示a,b,c。|f(-1)Q

18、 , |f(0)Q, |f(1)匸1。f 1来表示因为由已知条件得 1解题证明：(1)由 fl = a b c, f -1 = a - b c= b f 1 - f -1 ,从而有1 1 问工戸-仁)迁(| f(1)| | f(-1)|)，；| f(1)Q,| f(-1)Q,1|b(| f(1)| | f(-1)|)叨.由从而. 1 1f 1 =a b c, f -A =a -b - c= b f 1 - f ：；T , a c f 1 厂 f = , c = f (0),1 a pf 1 f -1 -f(0)以 上2式 代 入 g (x) = bx ax c (a,b,c R) , 并 2

19、1 1|g(x)|=| f(0)(x2 -1) f(1)(x 1) f(-1)(1-x)|2 21| f(-1)(1-x)|21-| f(T)|1 -x|2 14 f (0)(x2 -1)| -| f(1)(x 1)|22 1=| f(0)|x -1| R f(1)|x 1|1 1 11-|x21| |x 1| 11 x| = 1X -(x 1) (1 x)=2x2 2 2 2-2收获1)二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (c式0)中有三个参数a, b, c.解题的关键在于专业word可编辑:通过三个独立条件确定”这三个参数2 )本题变形技巧性强，同时运用公式|a b|_|a

20、| |b|, | a-b |_|a|b |及已知条件进行适当的放大 。要求同 学们做题时要有敏锐的数学观察能力 。请你试试4 5:1 已知函数 f(x)= ,1 x2 , a,b R,且 a=b ,求证 |f(a)-f(b)|a-b| 。分析:要证| .1 a2 - 1 b2 |：|a -b|,考察左边,是否能产生|a-b| 。2 2证明:|f(a)-f(b)|= 11 1 巳2A2 |a|Yb| 册b”b|1一a1一b2：|a| |b|)(其中.1 a2 a2 斗 a|,同理,1 - b2 |b|, a回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系 ，找出它们的共同点是证题成功的第一步 。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键 。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及 三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关 。函数y.1 x2是双曲线，亍川=1的上支，而|红里| (即X 一 X 2|型 W|),则表示该