中考九年级数学专题综合复习训练试题二次函数.docx
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中考九年级数学专题综合复习训练试题二次函数
2021年中考九年级数学专题综合复习训练试题:
二次函数
1、如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
2、如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.
3、如如图,抛物线y=ax2﹣6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣x+5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定△APC的形状,并说明理由;
(3)在直线BC上是否存在点M,使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
4、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证:
四边形ADBM为正方形;
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:
AQ+
QC是否存在最小值?
若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.
5、在平面直角坐标系xOy中,已知直线y
x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN
ON的最小值.
6、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:
y=x2+bx+c过点C(0,﹣3),与抛物线L2:
y=﹣
x2﹣
x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点.
(1)求抛物线L1对应的函数表达式;
(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P的坐标;
(3)设点R为抛物线L1上另一个动点,且CA平分∠PCR.若OQ∥PR,求出点Q的坐标.
7、如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y
(x﹣m)2+4图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)当m=5时,求n的值.
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围.
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
8、如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A′MN,设点P的纵坐标为m.
①当△A′MN在△OAB内部时,求m的取值范围;
②是否存在点P,使S△A′MN
S△OA′B,若存在,求出满足条件m的值;若不存在,请说明理由.
9、如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(记为抛物线Γ)与y轴交于点C,与x轴分别交于点A、B,点A、B的横坐标分别记为x1,x2,且0<x1<x2.
(1)若a=c,b=﹣3,且过点(1,﹣1),求该二次函数的表达式;
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=4.求证:
当b
时,二次函数y1=ax2+(b+1)x+c的图象与x轴没有交点.
(3)若AB2
,点P的坐标为(
,﹣1),过点P作直线l垂直于y轴,且抛物线的Γ顶点在直线l上,连接OP、AP、BP,PA的延长线与抛物线Γ交于点D,若∠OPB=∠DAB,求x0的最小值.
10、已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(﹣2,0)和C(0,
),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?
若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)若点P在抛物线上,且
=m,试确定满足条件的点P的个数.
11、如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB.
(1)如图1,当AC∥x轴时,
①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式;
②若四边形AOBD是平行四边形,求证:
b2=4c
.
(2)如图2,若b=﹣2,
,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?
若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
12、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,C为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交x轴于点D,连结BC,且tan∠CBD
,如图所示.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E,过点E作EF⊥PE交抛物线于点F,连结FB、FC,求△BCF的面积的最大值;
②连结PB,求
PC+PB的最小值.
13、已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=
,交x轴于点A、B,交y轴于点C,且点A坐标为A(﹣2,0).直线y=﹣mx﹣n(m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q的右边),交y轴于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若n=﹣5,且△CPQ的面积为3,求m的值;
(3)当m≠1时,若n=﹣3m,直线AQ交y轴于点K.设△PQK的面积为S,求S与m之间的函数解析式.
14、如图,抛物线y=ax2+bx﹣6与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,OA=2,OB=4,直线l是抛物线的对称轴,在直线l右侧的抛物线上有一动点D,连接AD,BD,BC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点D在x轴的下方,当△BCD的面积是
时,求△ABD的面积;
(3)在
(2)的条件下,点M是x轴上一点,点N是抛物线上一动点,是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点,以BD为一边的四边形是平行四边形,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
15、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P是第一象限抛物线上的一个动点.
(1)求直线DE和抛物线的表达式;
(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN=2
,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.
16、如图,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象,得到的新图象与直线y=t恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;
(3)在抛物线y=x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x的取值范围.
17、已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:
S△BPD=1:
2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
18、如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?
最大值是多少?
(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.
19、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣2).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求
的最大值;
(3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线l∥BC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:
在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
20、如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M以每秒
个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合),设运动时间为t(秒).
(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)点P在
(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标;
(3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK为等腰三角形?
若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.