数学建模作业实验3线性规划实验.docx

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数学建模作业实验3线性规划实验

数学建模作业

（实验3线性规划实验）

基本实验

1．生产计划安排

某公司使用三种操作装配三种玩具——玩具火车、玩具卡车和玩具汽车。

对于三种操作可用时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟，玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的单位收入分别是3美元、2美元和5美元。

每辆玩具火车在三种操作的装配时间分别是1分钟，3分钟和1分钟。

每辆玩具卡车和每辆玩具汽车相应的时间是（2，0，4）和（1，2，0）分钟（零时间表示不使用该项操作）。

（1）将问题建立成一个线性规划模型，确定最优的生产方案。

（2）对于操作1，假定超过它当前每天430分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得。

每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面。

对于操作1，使用加班在经济上有利吗？

如果有利，最多加多少时间？

（3）假定操作2的操作员已同意每天加班工作两小时，加班费是45美元一小时。

还有，操作自身的成本是一小时10美元。

这项活动对于每天收入的实际结果是什么？

（4）操作3需要加班时间吗？

解答

解：

设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为X1，X2，X3，

则目标函数为：

3X1+2X2+5X3

约束条件：

X1+2X2+X3<=430

3X1+2X3<=460

X1+4X2<=420

X1>=0；X2>=0；X3>=0

最优值为目标函数取得最大。

LINGO程序

max=3*x1+2*x2+5*x3;

x1+2*x2+x3<=430;

3*x1+2*x3<=460;

x1+4*x2<=420;

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

1350.000

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

ModelClass:

Totalvariables:

Nonlinearvariables:

Integervariables:

Totalconstraints:

Nonlinearconstraints:

Totalnonzeros:

Nonlinearnonzeros:

VariableValueReducedCost

X10.0000004.000000

X2100.00000.000000

X3230.00000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

11350.0001.000000

20.0000001.000000

30.0000002.000000

420.000000.000000

（1）由运行结果可得，最优的生产方案为：

玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为：

0、100、230；收入为1350.

（2）由DualPrice第二行可知，当操作1每增加1分钟收入增加1美元，所以50/60<1，使用加班在经济上是有利的；

Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges:

CurrentAllowableAllowable

VariableCoefficientIncreaseDecrease

X13.0000004.000000INFINITY

X22.0000008.0000002.000000

X35.000000INFINITY2.666667

RighthandSideRanges:

CurrentAllowableAllowable

RowRHSIncreaseDecrease

2430.000010.00000200.0000

3460.0000400.000020.00000

4420.0000INFINITY20.00000

分析可知，最多增加10分钟。

（3）由运算结果第三行可知，当操作2每加班1分钟时，收入增加2美元，若每天加班2小时，则收入增加2*120=240美元，成本为（45+10）*2=110美元，240-110=130美元。

所以，每天收入增加130美元。

（4）不需要操作3加班，因为其影子价格为0。

2．工程进度问题

某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程。

每项工程有不同的始时间，工程周期也不一样。

表3.1提供这些项目的基本数据。

工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成。

必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。

然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%。

每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。

例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4×50（第二年）+0.4×50（第三年）+（0.4+0.6）×50（第四年）+（0.4+0.6）×50（第五年）=（4×0.4+2×0.6）×50（单位:

万元）。

试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。

解答

解：

设工程1、2、3、4在第i年工程完成量分别为Xi、Yi、Zi、Wi，其中i=1，2，3，4。

则：

工程1的收入为：

50X1+50（X1+X2）+50（X1+X2+X3）+50（万元）

工程2的收入为：

70Y2+70（Y2+Y3）+70（Y2+Y3+Y4）（万元）

工程3的收入为：

150Z1+150（Z1+Z2）+150（Z1+Z2+Z3）+150（Z1+Z2+Z3+Z4）（万元）

工程4的收入为：

20W3+20（W3+W4）（万元）

目标函数为：

50X1+50（X1+X2）+50（X1+X2+X3）+50+70Y2+70（Y2+Y3）+70（Y2+Y3+Y4）+150Z1+150（Z1+Z2）

+150（Z1+Z2+Z3）+150（Z1+Z2+Z3+Z4）+20W3+20（W3+W4）

约束条件：

5000X1+1500Z1<=3000

5000X2+8000Y2+15000Z2<=6000

5000X3+8000Y3+15000Z3+1200W3<=7000

8000Y4+15000Z4+1200W4<=7000

8000Y5+15000Z5<=7000

X1+X2+X3=1

Y2+Y3+Y4+Y5>=0.25

Y2+Y3+Y4+Y5<=1

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5<=1

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5>=0.25

W3+W4=1

最优值为目标函数取得最大值。

LINGO程序

max=50*x1+50*（x1+x2）+50*（x1+x2+x3）+50*（x1+x2+x3）+70*y2+70*（y2+y3）+70*（y2+y3+y4）+150*z1+150*（z1+z2）+150*（z1+z2+z3）+150*（z1+z2+z3+z4）+20*w3+20*（w3+w4）;

5000*x1+15000*z1<=3000;

5000*x2+8000*y2+15000*z2<=6000;

5000*x3+8000*y3+15000*z3+1200*w3<=7000;

8000*y4+15000*z4+1200*w4<=7000;

8000*y5+15000*z5<=7000;

x1+x2+x3=1;

y2+y3+y4+y5>=0.25;

y2+y3+y4+y5<=1;

z1+z2+z3+z4+z5>=0.25;

z1+z2+z3+z4+z5<=1;

w3+w4=1;

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

523.7500

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

ModelClass:

Totalvariables:

Nonlinearvariables:

Integervariables:

Totalconstraints:

Nonlinearconstraints:

Totalnonzeros:

Nonlinearnonzeros:

VariableValueReducedCost

X10.60000000.000000

X20.40000000.000000

X30.0000000.000000

Y20.00000020.00000

Y30.00000010.00000

Y40.22500000.000000

Z10.0000000.000000

Z20.26666670.000000

Z30.38666670.000000

Z40.34666670.000000

W31.0000000.000000

W40.0000008.000000

Y50.77500000.000000

Z50.00000018.75000

RowSlackorSurplusDualPrice

1523.75001.000000

20.0000000.3875000E-01

30.0000000.2875000E-01

40.0000000.1875000E-01

50.0000000.8750000E-02

6800.00000.000000

70.0000006.250000

80.75000000.000000

90.0000000.000000

100.75000000.000000

110.00000018.75000

120.00000017.50000

所以最优进度如下表所示:

第一年

第二年

第三年

第四年

第五年

工程1

60%

40%

工程2

22.5%

77.5%

工程3

26.7%

38.7%

34.7%

工程4

100%

总收入最大为：

523.75万元

3．投资问题

一个商业主管在两个计划中有投资选择权，计划A保证每1美元的投资在1年后可以赚得0.70美元，而计划B保证每1美元的投资在两年后能赚得3美元。

对于计划A，可以按年制订投资规划，而对于计划B，只允许以两年为周期制订投资规划。

主管应如何投资100,000美元，使得在3年末的收入达到最大？

解答

解：

设xi和yi分别表示第i年给A、B的投资金额，其中，i=1，2，3。

第1年，将100000美元全部用于A、B两个计划的投资，则：

x1+y1=100000；

第2年，将第一年的本金加利息用于A、B两个计划的投资，则：

x2+y2=（1+0.7）x1=1.7x1；

第三年，由于计划B只能在两年后收回本息，所以，第3年只能投资计划A，则：

x3=1.7x2+4y2。

第3年末的收入即为所求目标函数：

1.7x2+4y2

最优值为

LINGO程序

max=1.7*x3+4*y2;

x1+y1=100000;

-1.7*x1+x2+y2=0;

-1.7*x2+x3-4*y1=0;

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

680000.0

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

ModelClass:

Totalvariables:

Nonlinearvariables:

Integervariables:

Totalconstraints:

Nonlinearconstraints:

Totalnonzeros:

Nonlinearnonzeros:

VariableValueReducedCost

X3400000.00.000000

Y20.0000000.000000

X10.0000000.000000

Y1100000.00.000000

X20.0000001.110000

RowSlackorSurplusDualPrice

1680000.01.000000

20.0000006.800000

30.0000004.000000

40.0000001.700000

由运行结果可得：

第一年将100000钱全部投入B计划，第三年再将钱全部投入A计划。

第三年年末可以获得最大收入为680000美元。

4．生产计划与库存问题

某公司已签订了在未来的六、七、八月份生产A、B两种产品的合同。

总的生产能力（用小时表示）每月不同。

表3.2给出了本问题的基本数据。

对于产品A和B，每小时的单位生产率分别是1.25和1.所有的需求必须被满足。

然而，后面的月份的需求可以从前面的月份的生产来填补。

对于任何从本月转到下一个月的产品，每件产品A和产品B每月分别发生0.90美元和0.75美元的贮存成本。

A、B两种产品的单位成本分别是30美元和28美元，试着为两种产品确定最优的生产计划安排。

解答

解：

本问题变量包括每月的生产时间和月底的库存量

设六、七、八月份生产A、B两种产品的时间分别为：

xiA，xiB，其中i=1，2，3，

设六、七月底A、B两种产品的库存量为IiA、IiB，其中i=1，2。

则总成本为总的生产成本和总的库存成本：

总的生产成本为：

1.25*x1A*30+1*x1B*28+1.25*x2A*30+1*x2B*28+1.25*x3A*30+1*x3B*28

总的库存成本为：

0.90*（I1A+I2A）+0.75*（I1B+I2B）

可得目标函数为：

1.25*x1A*30+1*x1B*28+1.25*x2A*30+1*x2B*28+1.25*x3A*30+1*x3B*28+0.90*（I1A+I2A）+0.75*（I1B+I2B）

约束条件为：

1.25*x1A-I1A=500

I1A+1.25*x2A-I2A=5000

I2A+1.25*x3A=750

1*x1B-I1B=1000

I1B+1*x2B-I2B=1200

I2B+1*x3B=1200

x1A+x1B<=3500

x2A+x2B<=3500

x3A+x3B<=3000

最优值为目标函数取得最小。

LINGO程序

min=1.25*X1A*30+1*X1B*28+1.25*X2A*30+1*X2B*28+1.25*X3A*30+1*X3B*28+0.9*（I1A+I2A）+0.75*（I1B+I2B）;

1.25*X1A-I1A=500;

I1A+1.25*X2A-I2A=5000;

I2A+1.25*X3A=750;

1*X1B-I1B=1000;

I1B+1*X2B-I2B=1200;

I2B+1*X3B=1200;

X1A+X1B<=3500;

X2A+X2B<=3500;

X3A+X3B<=3000;

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

284162.5

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

ModelClass:

Totalvariables:

Nonlinearvariables:

Integervariables:

Totalconstraints:

Nonlinearconstraints:

Totalnonzeros:

Nonlinearnonzeros:

VariableValueReducedCost

X1A900.00000.000000

X1B2200.0000.000000

X2A3500.0000.000000

X2B0.0000000.3750000

X3A600.00000.000000

X3B1200.0000.000000

I1A625.00000.000000

I2A0.0000001.800000

I1B1200.0000.000000

I2B0.0000001.500000

RowSlackorSurplusDualPrice

1284162.5-1.000000

20.000000-30.00000

30.000000-30.90000

40.000000-30.00000

50.000000-28.00000

60.000000-28.75000

70.000000-28.00000

8400.00000.000000

90.0000001.125000

101200.0000.000000

可得生产计划和库存如下表所示：

六月

库存

数量

七月

库存

数量

八月

时间

数量

时间

数量

六月

数量

A产品

900

1125

625

3500

4375

600

750

B产品

2200

1200

成本最低为：

284162.5美元。

5．学生服务时间安排问题

大多数大学在校学生与所在院系签订和他那个，为学校做如接听电话和打字等杂活。

对这类的服务的需求在整个工作时间内（上午8：

00到下午5：

00）是波动的。

在工业工程系，所需学生的最小数量在上午8：

00到上午10：

00之间是2名，在上午10：

01到上午11：

00之间是3名，在上午11：

01到下午1：

00间是4名，在下午1：

01到下午5：

00之间是3名。

分配每位学生连续工作3小时（在下午3：

01开始工作的除外，他们连续工作2小时，在下午4：

01开始工作的，他们工作1小时）。

由于学生们的时间很灵活，他们可以在工作日随时开始上班，午饭时间（中午12：

00）除外，学生不打算在此时开始工作。

求工业工程系应该雇佣的最小学生数，并制定他们的工作开始时间。

解答

解：

设Xi为8:

00到16：

00开始上班的学生人数，其中，i=1，…，8，9。

学生上班的示意图如下图所示：

时间段

人数

则目标函数为：

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9

约束条件为：

X1>=2

X1+X2>=2

X1+X2+X3>=3

X2+X3+X4>=4

X3+X4+X5>=4

X4+X5+X6>=3

X5+X6+X7>=3

X6+X7+X8>=3

X7+X8+X9>=3

X5=0

最优值为目标函数取得最小。

LINGO程序

min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9;

X1>=2;

X1+X2>=2;

X1+X2+X3>=3;

X2+X3+X4>=4;

X3+X4+X5>=4;

X4+X5+X6>=3;

X5+X6+X7>=3;

X6+X7+X8>=3;

X7+X8+X9>=3;

X5=0;

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

9.000000

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

ModelClass:

Totalvariables:

Nonlinearvariables:

Integervariables:

Totalconstraints:

Nonlinearconstraints:

Totalnonzeros:

Nonlinearnonzeros:

VariableValueReducedCost

X12.0000000.000000

X20.0000001.000000

X31.0000000.000000

X43.0000000.000000

X50.0000000.000000

X60.0000000.000000

X73.0000000.000000

X80.0000000.000000

X90.0000001.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

19.000000-1.000000

20.000000-1.000000

30.0000000.000000

40.0000000.000000

50.0000000.000000

60.000000-1.000000

70.0000000.000000

80.0000000.000000

90.000000-1.000000

100.0000000.000000

110.0000000.000000

由结果可得，最少需要雇用9名学生，具体开始工作时间如下：

时段

总数

人数

6．油料生产安排问题

一家汽油公司蒸馏A和B两种原油，生产普通汽油和优质汽油，以及航空燃油，表3.3提供了各种情形的数据。

对原油的月供应量以及最终产品最小需求，量均有上限。

如果生产不能满足需求，不足的部分采取外购补充，并发生惩罚费用。

剩余产品不能立即销售，会带来相应的储藏成本。

试为精练厂制定最优的生产方案。

解答

解：

设每天采购原油A、B的桶数分别为XA和XB；外购普通汽油、成品汽油和航空燃油的桶数分别为：

Y1，Y2，Y3；储藏普通汽油、成品汽油和航空燃油的桶数分别为Z1，Z2，Z3。

则目标函数为：

50*500+70*700+120*400-（30*XA+40*XB）-（（50+10）*Y1+（70+15）*Y2+（120+20）*Y3）-（2*Z1+3*Z2+4

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