实函数压轴题精品解题专题将军饮马问题的应用.docx
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实函数压轴题精品解题专题将军饮马问题的应用
“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了,传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。
有一天,有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题:
如图,将军从A地出发到河边饮马,然后再到B地军营视察,显然有很多走法。
问走什么样的路线最短呢?
精通数理的海伦稍加思考,便作了完善的回答。
这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。
事实上,不仅将军有这样的烦恼,运动着的车、船、飞机,包括人们每天走路都要遇到这样的问题。
古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线,尽量走近道,少走冤枉路。
我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。
另外,从某种意义上说,一笔画问题也属于这类问题。
看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广
泛。
这个问题在我们中考中也是常考的热点问题,因此,我们要掌握其分析解决的方法。
下面我就几个例题来具体分析解决。
【典例探究】
(2016•梧州)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4(a≠0)与x轴交于A(4,0)、B(﹣1,0)两点,过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时,使△BDE的周长最小,求此时E点坐标;
(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时,是否存在使△BDE为直角三角形的情况,若存在,请直接写出符合要求的E点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先判断出周长最小时BE⊥AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可;
(3)三角形BDE是直角三角形时,由于BD>BG,因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°,两种情况,利用直线垂直求出点E坐标.
【解答】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4(a≠0)与x轴交于A(4,0)、B(﹣1,0)两点,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4,
(2)如图1,
作点B关于直线AC的对称点F,连接DF交AC于点E,由
(1)得,抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①,
∴D(0,﹣4),
∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点,
∴联立①②解得,(舍)或,
∴C(﹣2,6),
∵A(4,0),
∴直线AC解析式为y=﹣x+4,
∵直线BF⊥AC,且B(﹣1,0),
∴直线BF解析式为y=x+1,设点F(m,m+1),
∴G(
,
),
∵点G在直线AC上,
∴﹣,
∴m=4,
∴F(4,5),
∵D(0,﹣4),
∴直线DF解析式为y=
x﹣4,
∵直线AC解析式为y=﹣x+4,
∴直线DF和直线AC的交点E(
,
),
(3)∵BD=
,
由
(2)有,点B到线段AC的距离为BG=
BF=
×5=
>BD,
∴∠BED不可能是直角,
∵B(﹣1,0),D(0,﹣4),
∴直线BD解析式为y=﹣4x+4,
∵△BDE为直角三角形,
∴①∠BDE=90°,
∴BE⊥BD交AC于B,
∴直线BE解析式为y=
x+
,
∵点E在直线AC:
y=﹣x+4的图象上,
∴E(3,1),
②∠BDE=90°,
∴BE⊥BD交AC于D,
∴直线BE的解析式为y=
x﹣4,
∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上,
∴直线BE与抛物线的交点为(0,﹣4)和(,﹣),
∴E(,﹣),
即:
满足条件的点E的坐标为E(3,1)或(
,﹣
).
【学以致用】
1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC的最小值是.
2.如图,牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一饮水,饮水的地点选在何处,牧童所走的路程最短?
3.如图,点P为马厩,AB为草地边缘(下方为草地),CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.
4.(2016•贺州)如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.
【分析】
(1)利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标,再利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)设AD=x,利用折叠的性质可知DE=AD,在Rt△BDE中,利用勾股定理可得到关于x的方程,可求得AD的长;
(3)由于O、A两点关于对称轴对称,所以连接OD,与对称轴的交点即为满足条件的点P,利用待定系数法可求得直线OD的解析式,再由抛物线解析式可求得对称轴方程,从而可求得P点坐标.
【解答】解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,B(10,8),
∴A(10,0),
又抛物线经过A、E、O三点,把点的坐标代入抛物线解析式可得
,解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x;
(2)由题意可知:
AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,设AD=x,则ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,
在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,
∴AD=5;
(3)∵y=﹣
x2+
x,
∴其对称轴为x=5,
∵A、O两点关于对称轴对称,
∴PA=PO,
当P、O、D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△PAD的周长最小,如图,连接OD交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,
由
(2)可知D点的坐标为(10,5),
设直线OD解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=
,
∴直线OD解析式为y=
x,令x=5,可得y=
,
∴P点坐标为(5,
).
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想.在
(2)中注意方程思想的应用,在(3)中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键.本题考查知识点虽然较多,但题目属于基础性的题目,难度不大.
5.如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).
(1)试证明:
无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,求P的坐标;
(3)已知E(1,﹣1),当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?
求出此时点P的坐标和△PDE的周长.
【分析】
(1)由A(4,0),C(0,2),D为OA的中点,得到D点坐标为(2,0),则OC=OD,而点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合),根据角平分线的性质有
∠COP=∠DOP=45°,再根据三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD,则PC=PD;
(2)过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点,过P点作PN⊥x轴于N,交BC于M点,OP交BC于H点,易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形,△PHB是也等腰直角三角形,
得到PM垂直平分BH,而CH=CO=2,则BH=2,得到PM=
BH=1,于是有ON=PN=1+2=3,根据
坐标的表示方法即可得到P点坐标;
(3)连CE交∠AOC的平分线于P点,连PD、CD,ED,由OC=OD,OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD,则PC=PD,得到PD+PE=PC+PE=CE,根据两点之间线段确定此时△PDE的周长最小,然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=﹣3x+2,根据P点的横纵坐标相等
即可得到P点坐标为(
,
),再利用勾股定理分别计算出CE==,
DE=
=
,即可得到此时△PDE的周长.
【解答】
(1)证明:
∵A(4,0),C(0,2),D为OA的中点,
∴D点坐标为(2,0),
∴OC=OD,
又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合),
∴∠COP=∠DOP=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD,
即无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)解:
过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点,过P点作PN⊥x轴于N,交BC于M点,OP交BC于H点,如图,
∵OP平分∠AOC,
∴∠COP=∠NOP=45°,
∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形,
∴△PHB是等腰直角三角形,
∴PM垂直平分BH,
∴CH=CO=2,
∴BH=4﹣2=2,
∴PM=
BH=1,
∴ON=PN=1+2=3,
∴P点坐标为(3,3);
(3)解:
连CE交∠AOC的平分线于P点,连PD、CD,ED,如图,
∵OC=OD,OP平分直角AOC,
∴OP垂直平分CD,
∴PC=PD,
∴PD+PE=PC+PE=CE,
此时△PDE的周长最小,
设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),
把C(0,2)、E(1,﹣1)分别代入得,b=2,k+b=﹣1,解得k=﹣3,b=2,
∴直线CE的解析式为y=﹣3x+2,
而P点的横纵坐标相等,设P(a,a),把P点坐标代入y=﹣3x+2得,a=﹣3a+2,解得a=
,
∴P点坐标为(
,
),
∵CE=
=
,DE=
=
,
∴此时△PDE的周长=+.
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题:
通过对称,把两条线段的和转化为一条线段,利用两点之间线段最短解决问题.也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式.