实函数压轴题精品解题专题将军饮马问题的应用.docx

1、实函数压轴题精品解题专题将军饮马问题的应用“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛 名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如 图，将军从 A 地出发到河边饮马，然后再到 B 地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作 “将军饮马”问题广为流传。事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走 冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另

2、外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。 下面我就几个例题来具体分析解决。【典例探究】（2016梧州）如图，抛物线 y=ax2+bx4（a0）与 x 轴交于 A（4，0）、B（1，0）两点，过点 A 的直线 y=x+4 交抛物线于点 C（1） 求此抛物线的解析式；（2） 在直线 AC 上有一动点 E，当点 E 在某个位置时，使BDE 的周长最小，求此时 E 点坐标；（3） 当动点 E 在直线 AC 与抛物线围成的封闭线 ACBDA 上运动时，是否存在使 B

3、DE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的 E 点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2） 先判断出周长最小时 BEAC，即作点 B 关于直线 AC 的对称点 F，连接 DF，交 AC 于点 E，联立方程组即可；（3） 三角形 BDE 是直角三角形时，由于 BDBG，因此只有DBE=90或BDE=90，两种情况，利用直线垂直求出点 E 坐标【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx4（a0）与 x 轴交于 A（4，0）、B（1，0）两点， ， ，抛物线解析式为 y=x23x4，（2）如图 1，作点 B 关于直线 AC 的对称点 F，连接 DF

4、 交 AC 于点 E， 由（1）得，抛物线解析式为 y=x23x4，D（0，4），点 C 是直线 y=x+4与抛物线的交点，联立解得， （舍）或 ，C（2，6），A（4，0），直线 AC 解析式为 y=x+4，直线 BFAC，且 B（1，0），直线 BF 解析式为 y=x+1， 设点 F（m，m+1），G（，），点 G 在直线 AC 上， ，m=4，F（4，5），D（0，4），直线 DF 解析式为 y=x4，直线 AC 解析式为 y=x+4，直线 DF 和直线 AC 的交点 E（，），（3）BD= ，由（2）有，点 B 到线段 AC 的距离为 BG=BF= 5 = BD，BED 不可能是直角，

5、B（1，0），D（0，4），直线 BD 解析式为 y=4x+4，BDE 为直角三角形，BDE=90，BEBD 交 AC 于 B，直线 BE 解析式为 y=x+，点 E 在直线 AC：y=x+4 的图象上，E（3，1），BDE=90，BEBD 交 AC 于 D，直线 BE 的解析式为 y=x4，点 E 在抛物线 y=x23x4 上，直线 BE 与抛物线的交点为（0，4）和（ ， ），E（ ， ），即：满足条件的点 E 的坐标为 E（3，1）或（，）【学以致用】1. 如图,正方形ABCD 的边长为 2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上移动,则PE+PC 的最小值是 .2. 如图,牧童

6、在 A 处放牛,他的家在 B 处,l 为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一饮水,饮水的地点选在何处,牧童所走的路程最短?3. 如图,点 P 为马厩,AB 为草地边缘(下方为草地),CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.4.（2016贺州）如图，矩形的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（10，8），沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC 上的 E 处，E 点坐标为（6，8），抛物线 y=ax2+bx+c经过 O、A、E 三点（1） 求此抛物线的解析式；（2） 求 AD 的长；（3） 点

7、 P 是抛物线对称轴上的一动点，当PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标【分析】（1）利用矩形的性质和 B 点的坐标可求出 A 点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2） 设 AD=x，利用折叠的性质可知 DE=AD，在 RtBDE 中，利用勾股定理可得到关于 x 的方程，可求得 AD 的长；（3） 由于 O、A 两点关于对称轴对称，所以连接 OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线 OD 的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可 求得 P 点坐标【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，B（10，8），A（10，0），又抛物线经过 A、E、O

8、三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得 ，抛物线的解析式为 y=x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=106=4，AB=8， 设 AD=x，则 ED=x，BD=ABAD=8x，在 RtBDE 中，由勾股定理可知 ED2=EB2+BD2，即 x2=42+（8x）2，解得 x=5，AD=5；（3）y=x2+x，其对称轴为 x=5，A、O 两点关于对称轴对称，PA=PO，当 P、O、D 三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时PAD 的周长最小， 如图，连接 OD 交对称轴于点 P，则该点即为满足条件的点 P，由（2）可知 D 点的坐标为（10，5），设直线 OD 解析式为

9、 y=kx，把 D 点坐标代入可得 5=10k，解得 k=，直线 OD 解析式为 y=x， 令 x=5，可得 y=，P 点坐标为（5，）【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的 P 点的位置是解题的关键本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目， 难度不大5.如图，在矩形 OABC 中，已知 A，C 两点的坐标分别为 A（4，0），C（0，2），D 为 OA 的中点设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合）（1） 试证明：无论点 P 运动到何处，PC

10、总与 PD 相等；（2） 当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，求 P 的坐标；（3） 已知 E（1，1），当点 P 运动到何处时，PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和PDE 的周长【分析】（1）由 A（4，0），C（0，2），D 为 OA 的中点，得到 D 点坐标为（2，0），则 OC=OD，而点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合），根据角平分线的性质有COP=DOP=45，再根据三角形全等的判定方法易得POCPOD，则 PC=PD；（2） 过 B 作 BP 垂直AOC 的平分线于 P 点，过 P 点作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M 点，OP 交BC 于 H

11、 点，易得PHM、COH 和PON 都是等腰直角三角形，PHB 是也等腰直角三角形，得到 PM 垂直平分 BH，而 CH=CO=2，则 BH=2，得到 PM=BH=1，于是有 ON=PN=1+2=3，根据坐标的表示方法即可得到 P 点坐标；（3） 连 CE 交AOC 的平分线于 P 点，连 PD、CD，ED，由 OC=OD，OP 平分直角 AOC 得到 OP 垂直平分 CD，则 PC=PD，得到 PD+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段确定此时PDE 的周长最小，然后利用待定系数法求出直线 CE 的解析式为 y=3x+2，根据 P 点的横纵坐标相等即可得到 P 点坐标为（，），再利用勾股

12、定理分别计算出 CE= = ，DE= = ，即可得到此时PDE 的周长【解答】（1）证明：A（4，0），C（0，2），D 为 OA 的中点，D 点坐标为（2，0），OC=OD，又点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合），COP=DOP=45，POCPOD，PC=PD，即无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等；（2） 解：过 B 作 BP 垂直AOC 的平分线于 P 点，过 P 点作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M 点， OP 交 BC 于 H 点，如图，OP 平分AOC，COP=NOP=45，PHM、COH 和PON 都是等腰直角三角形，PHB 是等腰直角三角形，P

13、M 垂直平分 BH，CH=CO=2，BH=42=2，PM= BH=1，ON=PN=1+2=3，P 点坐标为（3，3）；（3） 解：连 CE 交AOC 的平分线于 P 点，连 PD、CD，ED，如图，OC=OD，OP 平分直角 AOC，OP 垂直平分 CD，PC=PD，PD+PE=PC+PE=CE，此时PDE 的周长最小，设直线 CE 的解析式为 y=kx+b（k0），把 C（0，2）、E（1，1）分别代入得，b=2，k+b=1，解得 k=3，b=2，直线 CE 的解析式为 y=3x+2，而 P 点的横纵坐标相等，设 P（a，a），把 P 点坐标代入 y=3x+2 得，a=3a+2，解得 a=，P 点坐标为（，），CE= = ，DE= = ，此时PDE 的周长= + 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段， 利用两点之间线段最短解决问题也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式