第二单元正比例和反比例教学设计.docx
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第二单元正比例和反比例教学设计
第二单元正比例和反比例
[单元教学目标]
结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依存的量；在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
1．结合丰富的实例，认识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例。
2．能找出生活中成正比例和反比例量的实例，会利用正、反比例的有关知识解决一些简单的生活问题。
3．通过观察、操作与交流，体会比例尺产生的必要性和实际意义，了解比例尺的含义。
4．运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题。
[单元学习内容的前后联系]
[课时安排建议]
内容
建议课时数
变化的量（感受变量之间的关系）
5
正比例
画一画
反比例
3
观察与探究
图形的方缩
4
比例尺
练习二
3
机动
本单元建议教学课时数：
15课时
第一课时变化的量（感受变量之间的关系）
[教学目标]
1、结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量。
2、在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
[教学重点]
结合具体情境，鼓励学生观察、思考、讨论与交流，体会生活情境中存在着大量互相依赖的变量。
[教学难点]
鼓励学生观察表格、图象、关系式，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
[教学用具]课件
[教学过程]
一．引入变量的概念
师：
老师买了10个苹果，吃了2个，还剩？
个吃了4个，还剩？
个吃了7个，还剩？
个
问：
在老师刚才叙述的“吃苹果”这件事中有几个量？
其中哪些量是变化的？
怎样变化？
（有三个量；吃的个数与剩下的个数是变化的；一个增加，一个减少。
）
师：
一个量变化，另一个量也随着发生变化，可以看出，这两个量是互相依赖的变量，也可以说是相关联的量。
二．新授
师：
好，下面我们一起看书P18。
1．看第一个例子，说说这个统计表的内容是什么？
（是小明体重变化的情况）
年龄
出生时
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/千克
3.5
7.0
10.5
14.0
21.0
31.5
问：
表中的哪些量在发生变化？
年龄在变，体重也在发生变化：
年龄增加，体重也在增加。
问：
我们能不能用一个图象来表示这两个量之间的变化关系呢？
用一个什么图表示合适呢？
（折线统计图）
2．看第二个例子。
骆驼被称为“沙漠之舟”，这就是反映骆驼体温随时间的变化而变化的图象。
请你认真观察图象，图象中反映了哪些变量之间的关系？
（时间、体温）
指导学生读懂图意：
（1）一天中，骆驼体温最高是多少？
（400C）最低是多少？
（350C）
（2）一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？
（4时到16时）在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
（0时到4时，16时到24时）
师：
骆驼的体温是随时间而呈周期性的变化。
（3）第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？
师：
次日8时指第2天8时，与第一天8时相比，增加了24小时，应是图中的32时。
3．看第三个例子。
是蟋蟀叫的次数与气温之间的近似关系。
问：
你认为它们之间的这种关系能不能用一个含有字母的式子来表示呢？
h=t÷7+3
三、引导学生举出生活中一个量随另一个量变化的例子。
如：
一天的气温随时间的变化而变化；汽车行使的路程随时间的变化而变化等。
问：
你能举出生活中一个量随另一个量变化的例子吗？
（学生举例，只要合理，老师就要给予肯定。
）
四．课堂小结。
同学们，在我们的生活中存在着大量互相依赖的变量，其中一个量变化，另一个量也会随着发生变化，我们就称这两个量是两个相关联的量。
[板书设计]
变化的量
一个量变化，另一个量也会随着发生变化。
互相依赖相关联的量
五．课后小结
[教学反思]
第二课时正比例
[教学目标]
1、结合丰富的实例，认识正比例。
2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
3、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中广泛应用。
[教学重点]
引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程。
[教学难点]
能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
[教学用具]课件
[教学过程]
一、利用图形来探究变量之间的关系
1、[出示一个正方形]
师：
同学们对这个图形都不陌生吧，我们都能解决有关它的什么问题呢？
（1）根据边长计算它的周长。
边长×4=周长
（2）根据边长计算它的面积。
边长×边长=面积
师：
看来计算正方形的周长或面积都与它的边长有关，边长发生变化，周长和面积也会随之发生变化，那我们就可以说谁与谁是互相依赖的那两个相关联的量呢？
（边长和周长；边长和面积）
师：
那边长与周长，边长与面积是如何变化的呢？
它们之间又都存在着怎样的关系呢？
下面我们就一起来研究。
2、出示表格1
边长/cm
周长/cm
1
4
2
8
3
12
4
16
师：
我们可不可以在直角坐标系里把它们的关系表示出来呢？
引导学生画出图象。
师：
我们可不可以在直角坐标系里也把它们的关系表示出来呢？
引导学生画出图象。
3、观察比较：
你们发现这两个图象之间有什么相同的地方和不同的地方吗？
正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，但正方形的周长与边长，面积与边长的变化规律是不同的。
一个是直线上升的，一个则是曲线上升的。
（1）启发思考：
它们为什么会存在这样不同的变化规律呢？
（2）小组学习，看哪个组能很快找到答案。
（3）汇报交流：
在变化的过程中，正方形的周长总是边长的4倍，也就是正方形的周长与边长的比值是不变的，都是4。
师：
我们就说，正方形的周长与边长的比值是一定的。
问：
正方形面积与边长的比值一定吗？
（不一定）
师：
因此，正方形的面积与边长的变化规律跟正方形的周长与边长的变化规律是不同的。
二、填表并引导思考：
一辆汽车行使的速度为90千米/时，汽车行使的时间和路程如下。
把下表填完整。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
路程/千米
90
180
270
360
问：
从表中你发现了什么规律？
时间是原来的2倍，路程也是原来的2倍；时间是原来的几分之一，路程也是原来的几分之一；
问：
路程与时间是什么关系呢？
路程与时间的比值（也就是速度）相同。
师：
我们也用一个图象来反映当速度一定时，路程与时间的关系。
问：
你发现了什么？
（与周长和边长的关系图象是一样的）
三、填表并引导思考：
一些人买同一种苹果，购买苹果的质量和应付的钱数如下：
质量/千克
10
9
8
7
6
5
4
3
应付的钱数/元
30
27
24
（1）把表填完整。
（2）从中你发现了什么规律？
应付的钱数与质量的比值（也就是单价）相同。
师：
这次我们不画了，你能说说当单价一定时，应付的钱数与质量的关系的图象是什么样的吗？
（一条直线）
四、观察比较
以上哪些例子可以归为一类？
为什么？
五、小结
通过这三个例子，我们发现有时两个相关联的量，当一个量变化，另一个也随之发生变化，而且它们的比值不变。
我们就说这两个量是成正比例的量。
问：
你能试着说说刚才的例子中，谁和谁是成正比例的量？
并说说理由。
六、练习
1、P21想一想
2、P21练一练
[板书设计]
正比例
两种相关联的量，当一个量变化，另一个也随之发生变化，比值不变。
这两个量是成正比例的量。
周长÷边长=4（一定）路程÷时间=速度（一定）钱数÷质量=单价（一定）
七、课后小结
[教学反思]
第三课时正比例
[教学目标]
1、在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象。
2、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的估计它所对应的变量的值。
3、利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。
[教学重点]
认识正比例图象，利用正比例关系解决生活中的一些简单问题。
[教学难点]
会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的估计它所对应的变量的值。
[教学用具]课件
[教学过程]
一、活动探究
1．师：
我说出一个数，请你快速说出它的5倍的数是多少？
[板书：
]一个数这个数的5倍
00
15
210
315
420
问：
你能说说一个数和另一个数之间的关系吗？
（一个数是另一个数的
，另一个数是这个数的5倍；这两个变量之间是成正比例关系）
问：
为什么说它们成正比例关系呢？
（因为一个数和另一个数是两个相关联的量，一个增加，另一个也增加，而且它们的比值也就是商一定，所以这两个变量之间是成正比例关系的。
）
2．动手画正比例图象
师：
根据你前面的学习，你能猜一猜正比例图象会是什么样的吗？
（一条直线）
同学说的对不对呢？
好，大家动手画一画。
（1）把p22页的表格填完整，想一想坐标系中的各点分别表示什么（如：
最上面的点表示10的5倍是50）
（2）连接各点，谈谈自己的发现。
正比例图象确实是一条直线。
（3）利用上图，把下表填完整。
一个数
2.5
10.5
这个数的5倍
35
55
60
师:
先看图估计，再通过计算进行比较。
二、试一试
师：
根据P20的数据，在图中描点连线，看看得到的图象和你想象的一样吗？
学生动手画图象。
三、练一练
（1）小组讨论：
圆的面积与半径成正比例关系吗？
为什么/
（2）集体汇报交流。
鼓励学生用自己的语言去说明。
师小结：
利用圆的面积公式我们就可以看出，圆的半径扩大几倍，与圆的面积扩大的倍数不同，所以它们不成正比例。
（3）思考：
那圆的半径与圆的周长成正比例吗？
为什么？
2．运用正比例关系解决实际问题。
（1）独立探索。
（2）小组交流。
每人所需的乘船费用没有变化；乘船费用与人数成正比例；所有的点都在一条直线上。
鼓励学生自己探索，积极交流。
[板书设计]
正比例图象
正比例图象是一条直线
四、课后小结。
[教学反思]
第四课时正比例
[教学目标]
1、通过练习，巩固对正比例的认识。
2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
3、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用。
[教学重点]
结合丰富的实例，巩固对正比例的认识。
[教学难点]
1、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
2、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用。
[教学用具]课件
[教学过程]
一、复习。
1、填空。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也（随着变化）。
如果这两种量相对应的两个数的（比值）一定，这两种量就叫做正比例的量。
它们的关系叫做（正比例）关系。
正比例图象是（一条直线）。
2、下面是粮店卖面粉的价格表：
质量（千克）
1
2
3
4
5
……
总价（元）
0.9
1.8
2.7
3.6
4.5
……
（1）表中（）和（）是两种相关联的量。
（2）这两种量中相对应的两个数的比是（）：
（）或（）：
（），它们的比值是（）。
（3）比值表示的意思是（）。
（4）总价和质量成（）比例，因为（）一定。
二、运用提高。
（一）判断下面各题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。
师：
请同学们先看一个例子。
汽车的速度一定，行使路程和时间。
速度=
，速度一定，也就是商一定，所以汽车行使路程和时间成正比例。
1、每天加工零件的个数一定，加工零件的总个数和加工所需要的时间。
2、黄豆的出油率一定，榨出黄豆油的重量和所需黄豆的重量。
3、每辆卡车的载重量一定，运送货物的总吨数和所需的车数。
4、装订每个练习本所用纸的张数一定，装订的本数和所需纸的总张数。
5、圆的周长与直径。
6、圆的面积与半径。
7、圆柱体的高一定，圆柱体的体积和底面积。
8、正方体的表面积和棱长。
（二）下面每道题中的三种量，在哪重量一定时，另外两种量成正比例。
1、比的前项、后项、比值。
2、糖果的单价、数量、总价。
三、课后小结。
[教学反思]
第五课时反比例
[教学内容]P24反比例
[教学目标]
1.结合丰富的实例，认识反比例。
2.能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。
3.利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。
[教学重点]结合丰富的实例，认识反比例。
[教学难点]
1.能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。
2.利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。
[教学过程]
一、复习。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也（随着变化）。
如果这两种量相对应的两个数的（比值）一定，这两种量就叫做正比例的量。
它们的关系叫做（正比例）关系。
正比例图象是（一条直线）。
二、
感知反比例
1、对比探究
师：
请你把和是11、和是13、和是14的分别圈起来，再分别连起来，说说你有什么发现？
（和一定，一个加数随另一个加数的变化而变化。
）
问：
这两个加数成正比例吗？
为什么？
师：
请你把积是24、积是36的分别圈起来，再分别连起来，说说你有什么发现？
（积一定时，一个乘数随着另一个乘数的变化而变化。
）
问：
这两个乘数成正比例吗？
为什么？
追问：
第
（1）幅图表示的是和一定两个加数之间的关系，第
（2）幅图表示的是积一定两个加数之间的关系。
这两个变化关系相同吗？
2、填表，引导学生发现。
（1）
师：
从表中你发现了什么？
（时间随速度的变化而变化，在变化过程中路程一定，也就是时间与速度的乘积一定。
）
问：
当速度发生变化时，时间是怎样发生变化的？
（速度是原来的几倍，时间就是原来的几分之一；速度是原来的几分之一，时间就是原来的几倍。
）
追问：
什么不变？
（路程不变，也就是时间与速度的乘积不变）
[板书]
速度×时间=路程（一定）
（2）
师：
从表中你发现了什么？
（每杯的果汁量随分成的杯数的变化而变化，在变化的过程中果汁的总量一定，也就是每杯果汁量与杯数的乘积一定。
）
问：
当杯数发生变化时，每杯的果汁量是如何发生变化的？
（杯数是原来的几倍，每杯果汁量反而是原来的几分之一；杯数是原来的几分之一，每杯果汁量反而是原来的几倍。
）
追问：
什么不变？
（果汁的总量不变，也就是每杯果汁量与杯数的乘积不变。
）
[板书]
每杯的果汁量×杯数=果汁总量（一定）
三、认识反比例。
师：
在刚才举的例子中，哪几个例子具有相同的特点？
相同的特点是什么？
（两个相依变化的量的乘积一定）
问：
如果两个相依变化的量的乘积一定，那这两个变化的量成什么比例呢？
看看书上给我们的答案是什么？
（1）看书P25
（2）你找到答案了吗？
问：
路程一定，就是什么一定？
（就是速度与时间的乘积一定）
小结：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也（随着变化）。
如果这两种量相对应的两个数的（乘积）一定，这两种量就叫做反比例的量。
它们的关系叫做（反比例）关系。
问：
刚才的例子中，还有哪两个量是成反比例的？
说说理由。
四、巩固练习
（1）独立填表
（2）回答刚才思考的问题。
（1）学生独立填表，并思考书中提出的问题。
（2）汇报交流。
1不同的人在打同一份稿件的过程中，总字数没有变。
2打字所需时间随打字速度的变化而变化，并且它们的乘积一定（总字数2400个），所以成反比例。
3平均1分打100个字。
五、课后小结。
[教学反思]
第六课时图形的缩放
[教学目标]
1、通过观察、操作，体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。
2、通过图形的放缩，结合具体情境，感受图形的相似。
[教学重点]
通过观察、操作，体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。
[教学难点]根据要求画出图形，感受图形的相似。
[教学用具]课件
[教学过程]
一、课件出示主题图。
师：
老师这有一张贺卡，长6厘米、宽4厘米。
问：
这样一张大的卡片，怎样在方格纸画出来？
笑笑、淘气和小斌在方格纸上分别画出了贺卡的示意图，请你看看谁画的像呢？
1、出示三个小朋友画的示意图。
问：
为什么同样大小的贺卡，却画出大小不同的长方形，而且有的像，有的不像呢？
2、先自己思考，再在组中交流。
讨论：
他们是怎么画的？
3、全班交流。
笑笑和淘气画的像，因为长和宽都按相同的比来画，画的才像。
师：
只有长和宽缩小相同的倍数，才能画的像。
二、
画一画。
把下面的图放大，
比一比谁画的像？
1、自己试画。
2、小组交流，组长检查。
3、全班交流。
问：
怎样画才能画的像？
在交流中发现什么问题了吗？
板书：
拉宽拉长按相同的比放大（缩小）
生：
只有长和宽扩大或缩小相同的倍数，才能画的像。
三、探究活动。
问：
你还会在坐标系中用数对来确定位置吗？
1、看书P29思考：
这个活动是什么意思？
（要画的物体是放大的）
2、学生明确题意后独立完成。
3、小组交流：
哪只小猫长得像乐乐？
4、全班交流：
怎样才能把小猫画的与乐乐相似？
生：
只有数对中的两个数都扩大相同的倍数，所形成的图形与原来的图形才像（也就是说与原来的图形相似）
四、课堂小结：
问：
我们在把一个图形放大或缩小时，怎样才能保证与原图形相似？
[板书设计]
图形的方缩
拉宽拉长按相同的比放大（缩小）
六、课后小结。
[教学反思]
第七课时比例尺
[教学目标]
1.知识目标：
在实践活动中体验：
实际生活需要比例尺。
2.能力目标：
在操作、观察、思考、归纳等学习活动中理解比例尺的意义，正确计算比例尺，使学生能应用比例尺的知识求平面图的比例尺，了解比例尺在实际生活中的用途。
3.思想目标：
让学生体验数学与生活的联系，培养学生“学数学，用数学”的意识和创新精神
[教学重点]使学生理解比例尺的意义并学会应用。
[教学难点]根据比例尺的意义解决实际问题。
[教具准备]多媒体课件
[教学过程]
一、问题的情景：
出示书的封面形状示意图。
1、师提问：
你们喜欢画画吗？
能把这本书的封面的示意图画在纸上吗？
你
想怎么画？
2、这本书的封面的长大约是24厘米，宽约是16厘米，
3、学生动手实践。
二、初步感知比例尺。
1.出示活动要求：
1）组内交流：
说说你是怎样画得，
2）然后填表。
3）观察表格：
从中你有什么发现？
4）准备全班交流。
2.小组交流。
3.汇报：
1） 你能说说这幅平面图你是怎么画的吗？
2）你画的图的长和宽与实际的长和宽有什么关系?
师板书：
6cm:
24cm=1：
44cm：
16cm=1：
412cm:
24cm=1：
28cm:
16cm=1：
2
3） 1：
8表示什么意思？
4） 谁能象这样完整的说说你是怎样画的？
5） 观察：
你的图为什么画的那么象原图？
小结：
同一幅平面图的长和宽图上距离与实际距离比相同，这个图就画得像。
6） 我们写的这些比都表示的是什么意思？
揭题：
这样的图上距离与实际距离比就叫比例尺。
板书：
比例尺
5、练习1、说出下列比例尺表示的意思
1：
400001/5000
要求学生从不同角度说出以上比例尺所表示的意义。
如比例尺1：
40000，表示图上距离1厘米，表示实际距离40000厘米，
四、巩固练习：
你对比例尺有了哪些认识？
1、判断题判断并说明理由
（1）比例尺1：
10000的含义是图上距离1厘米表示实际距离10000厘米，即实际距离100米。
错，是长度比不是面积比。
（2）比例尺1：
150的含义是图上距离1厘米表示实际距离150米。
错，单位不统一
五、作业：
请按：
100的比例尺画出你家的平面图
[板书]
比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺
长12cm:
24cm=1：
2
宽8cm:
16cm=1：
2
长6cm:
24cm=1：
4
宽4cm:
16cm=1：
4
长3cm:
24cm=1：
81：
1
宽2cm:
16cm=1：
810：
1
六、课后小结：
[教学反思]
第八课时比例尺
[教学目标]
1、能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求第三个量。
2、运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，进一步体会数学与日常生活的密切联系。
[教学重点]
能根据图上距离、实际距离、比例尺的三量之间的关系解决生活中的实际问题。
[教学难点]
能明确三量关系，熟练地解决实际问题。
[教学用具]实物投影
[教学过程]
一、复习比例尺的概念，明确三量之间的关系。
1、1：
100是什么意思？
（图上的1厘米相当于实际的100厘米）
1：
60001：
3000000010：
1
又分别表示什么意思呢？
问：
谁来说说什么是比例尺？
板书：
图上距离：
实际距离=比例尺
师：
我们根据图上距离和实际距离就可以求出比例尺。
问：
通过昨天完成的作业，你认为在计算比例尺时应注意哪些问题？
（1）是图上距离和实际距离的比，不能颠倒顺序。
（2）要统一单位后再计算比例尺。
（3）通常前项为1。
问：
如果已知比例尺、实际距离怎么求图上距离？
板书：
实际距离×比例尺=图上距离
追问：
在求图上距离之前应注意什么问题？
（先换算）
问：
如果已知比例尺、图上距离怎么求实际距离？
板书：
图上距离÷比例尺=实际距离
师：
我们求出的实际距离是以厘米为单位的数，要换算成合适的长度单位。
2、我们都认识了哪种比例尺？
（数字比例尺、线段比例尺和文字式比例尺）
师：
它们之间是可以互相转换的，而且比例尺不仅有缩小比例尺，也有放大比例尺。
三、试一试、练一练。
1、如果暑假去旅游，你打算从（）到（），两地之间的实际距离是多少？
作业：
2．做小状元P4
四、课后小结。
[教学反思]
第九课时比例尺
[教学目标]
巩固比例尺的概念，灵活地解决实际问题。
[练习过程]
一．方向与距离。
1、复习方向：
说出在地图上的8个基本方向。
2、利用P32的图说说谁在谁的什么方向？
3、要求：
独立完成，全班交流。
二．解决问题。
要求：
先独立解答，再全班交流。
（1）一幅地图，量得图上距离是4厘米，而实际距离是200千米，求这幅地图的比例尺。
（2）甲乙两地相距240千米，如果把它画在比例尺是1：
3000000的地图上，长度应画多少厘米？
（3）在一幅比例尺是1：
5000的地图上量得某地东、西两车站的距离是12.3厘米，东西两车站的实际距离是多少米？
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