高考数学专题复习放缩法证明数列不等式.docx

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高考数学专题复习放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧

1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：

（1）传递性：

若

，则

（此性质为放缩法的基础，即若要证明

，但无法直接证明，则可寻找一个中间量

，使得

，从而将问题转化为只需证明

即可）

（2）若

，则

，此性质可推广到多项求和：

若

，则:

（3）若需要用到乘法，则对应性质为：

若

，则

，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数

注：

这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同

2、放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

①等差数列求和公式：

，

（关于

的一次函数或常值函数）

②等比数列求和公式：

，

（关于

的指数类函数）

③错位相减：

通项公式为“等差

等比”的形式

④裂项相消：

通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：

第一个方法是微调：

看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。

从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

①裂项相消：

在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）