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高考仿真卷
2017年高考仿真卷•理科数学试卷（四）含答案
2017高考仿真卷·理科数学（四）
（考试时间:
120分钟 试卷满分:
150分）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.设P={x|2x<16},Q={x|x2<4},则（ ）
A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁RQD.Q⊆∁RP
2.下列命题中,真命题的个数是（ ）
①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;
④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直.
A.1B.2C.3D.4
3.执行如图所示的程序框图,若输入x=9,则输出的y的值为（ ）
A.-B.1C.D.-
4.已知f（x）=2sin,若将它的图象向右平移个单位,得到函数g（x）的图象,则函数g（x）的图象的一个对称中心为（ ）
A.（0,0）B.C.D.
5.从5名男教师和3名女教师中选出3名教师,派往郊区3所学校支教,每校1人.要求这3名教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有（ ）
A.250种B.450种C.270种D.540种
6.已知直线x+y=a与圆O:
x2+y2=8交于A,B两点,且=0,则实数a的值为（ ）
A.2B.2C.2或-2D.4或-4
7.已知数列{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a8=（ ）
A.7B.C.10D.
8.已知实数x,y满足的最大值为（ ）
A.B.C.D.
9.（x+1）2的展开式中常数项为（ ）
A.21B.19C.9D.-1
10.已知抛物线y2=8x上的点P到双曲线y2-4x2=4b2的上焦点的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为（ ）
A.=1B.y2-=1C.-x2=1D.=1
11.三棱锥S-ABC及其三视图的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A.πB.πC.32πD.64π
12.设函数f（x）=xlnx-（k-3）x+k-2,当x>1时,f（x）>0,则整数k的最大值是（ ）
A.3B.4C.5D.6
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.复数等于 .
14.已知向量a,b,|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则（a+2b）·（a-3b）= .
15.已知函数f（x）=若方程f（x）=kx+1有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .
16.已知双曲线C:
=1（a>0,b>0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p>0）的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,且△AOB的面积为,则△AOB的内切圆的半径为 .
三、解答题（本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b2-（a-c）2=（2-）ac.
（1）求角B的大小;
（2）若BC边上的中线AD的长为3,cos∠ADC=-,求a的值.
18.（本小题满分12分）
如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△PAC是等边三角形,已知BC=2AC=4,AB=2.
（1）求证:
平面PAC⊥平面CBP;
（2）求二面角A-PB-C的余弦值.
19.（本小题满分12分）某公司生产一种产品,有一项质量指标为“长度”（单位:
cm）,该质量指标X服从正态分布N（174.5,2.52）.该公司已生产了10万件产品,为检验这批产品的质量,先从中随机抽取50件,测量发现全部介于157cm和187cm之间,得到如下频数分布表:
分组
[157,162）
[162,167）
[172,177）
[177,182）
[182,187]
频数
5
10
15
10
5
（1）估计该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的件数;
（2）从检测的产品在[177,187]中任意取2件,这2件产品在所有已生产的10万件产品“长度”排列中（从长到短）,排列在前135的件数记为ξ.求ξ的分布列和均值.
参考数据:
若X~N（μ,σ2）,则P（μ-σ20.（本小题满分12分）已知椭圆C:
=1（a>b>0）的离心率为,且椭圆上的点到右焦点F的最大距离为3.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,定点G（4,0）,求△ABG面积的最大值.
21.（本小题满分12分）函数f（x）=（x2-a）e1-x,a∈R,
（1）讨论函数f（x）的单调性;
（2）当f（x）有两个极值点x1,x2（x1请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数）,以原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=,
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
（2）设点M（0,2）,曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|MA|·|MB|的值.
23.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲
已知函数f（x）=|x-3|+|x+4|,
（1）求f（x）≥11的解集;
（2）设函数g（x）=k（x-3）,若f（x）>g（x）对任意的x∈R都成立,求实数k的取值范围.
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学（四）
1.B 解析∵P={x|2x<16}={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|-22.B 解析在①中,由平行公理,得经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故①是真命题;
在②中,经过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直,故②是假命题;
在③中,由面面平行的判定定理得经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,故③是真命题;
在④中,经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故④是假命题.故选B.
3.A 解析第一次执行循环体后,y=1,不满足退出循环的条件,x=1;
第二次执行循环体后,y=-,不满足退出循环的条件,x=-;
第三次执行循环体后,y=-,满足退出循环的条件,
故输出的y值为-,故选A.
4.C 解析将函数f（x）=2sin的图象向右平移个单位,
得到函数y=2sin=2sin的图象,
即g（x）=2sin,
令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
当k=0时,函数g（x）的图象的对称中心坐标为,故选C.
5.C 解析（方法一）“这3名教师中男、女教师都要有”,分为两类,有1名女教师,有2名女教师.
有1名女教师的选法种数为=30,有2名女教师的选法种数为=15,共有30+15=45种不同的选法,再分配到三个学校,故有45=270种.
（方法二）从5名男教师和3名女教师中选出3名教师的不同选法有=56,
3名老师全是男教师的选法有=10种,3名教师全是女教师的选法有=1种,
所以“这3名教师中男、女教师都要有”,不同的选派方案有56-10-1=45种,
再分配到三个学校,故有45=270种,故选C.
6.C 解析由=0,得,则△OAB为等腰直角三角形,所以圆心到直线的距离d=2.
所以由点到直线距离公式,得=2,即a=±2故选C.
7.D 解析∵数列{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,S8=4S4,
∴8a1+d=4又d=,∴a1=
∴a8=a1+7d=+7故选D.
8.A 解析由题意作出其平面区域如图中阴影部分所示,
由题意可得,A,B（1,3）,
则3,则2,由f（t）=t+的单调性可得,
故的最大值为,故选A.
9.D 解析∵（x+1）2=（x2+2x+1）,
根据二项式定理可知,展开式的通项为（-1）r·xr-5,
∴（x+1）2的展开式中常数项由三部分构成,
分别是（x2+2x+1）与展开式中各项相乘得到,
令r=3,则（-1）3·x-2·x2=1×（-）=-10;
令r=4,则（-1）4·x-1·2x=2=10;
令r=5,则（-1）5·x0·1=1×（-1）=-1;
所以原式展开式中常数项为-10+10-1=-1.故选D.
10.C 解析抛物线y2=8x的焦点F（2,0）,
∵点P到双曲线=1的上焦点F1（0,c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,
∴FF1=3,∴c2+4=9,c=
∵4b2+b2=c2,∴b2=1.
∴双曲线的方程为-x2=1.故选C.
11.A 解析
由题意,可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形.
如图,取AC中点F,连接BF,则
在Rt△BCF中,BF=2,CF=2,BC=4.
在Rt△BCS中,CS=4,所以BS=4
设球心到平面ABC的距离为d,则
因为△ABC的外接圆的半径为,
设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,
所以由勾股定理可得R2=d2+=（4-d）2+,
所以d=2,该三棱锥外接球的半径R=,
所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=,故选A.
12.C 解析由已知得,xlnx>（k-3）x-k+2在x>1时恒成立,即k<,
令F（x）=,则F'（x）=,令m（x）=x-lnx-2,
则m'（x）=1->0在x>1时恒成立.
所以m（x）在（1,+∞）上单调递增,且m（3）=1-ln3<0,m（4）=2-ln4>0,
所以在（1,+∞）上存在唯一实数x0∈（3,4）使m（x）=0,
所以F（x）在（1,x0）上单调递减,在（x0,+∞）上单调递增.
故F（x）min=F（x0）==x0+2∈（5,6）.
故k所以k的最大值为5.故选C.
13.1+i 解析=i（1-i）=1+i.
14.-72 解析由题意,得a2=36,b2=16,a·b=12;
∴（a+2b）·（a-3b）=a2-a·b-6b2=36-12-96=-72.
15 解析作出f（x）与y=kx+1的图象如下,
由题意,可知点A（7,0）,点B（4,3）,点C（0,1）;故kAC==-,kBC=,
结合图象可知,方程f（x）=kx+1有三个不同的实数根时,实数k的取值范围是
16.2-3 解析由e==2,得,即双曲线渐近线为y=±x.
联立x=-,
解得不妨令点A,点B,
所以S△AOB=p,
解得p=2,所以A（-1,）,B（-1,-）,
所以△AOB三边长为2,2,2,
设△AOB内切圆半径为r,由（2+2+2）r=,解得r=2-3.
17.解
（1）在△ABC中,∵b2-（a-c）2=（2-）ac,
∴a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得cosB=,
又B为△ABC的内角,
∴B=
（2）∵cos∠ADC=-,
∴sin∠ADC=
∴sin∠BAD=sin
△ABD中,由正弦定理,得,即,
解得BD=,故a=
18.
（1）证明在△ABC中,由于BC=4,AC=2,AB=2,
∴AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
BC⊂平面PBC,
∴BC⊥平面PAC.
∵BC⊂平面PBC,
∴平面PAC⊥平面CBP.
（2）解
（方法一）由
（1）知BC⊥平面PAC,所以平面PBC⊥平面PAC,过点A作AE⊥PC交PC于点E,则AE⊥平面PBC,
再过点E作EF⊥PB交PB于点F,连接AF,
则∠AFE就是二面角A-PB-C的平面角.
由题设得AE=,EF=,
由勾股定理得AF=,
∴cos∠AFE=
∴二面角A-PB-C的余弦值为
（方法二）以AC的中点O为原点,以OA所在直线为x轴,以过点O与BC平行的直线为y轴,以OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.
由题意可得P（0,0,）,B（-1,4,0）,A（1,0,0）,C（-1,0,0）,则=（1,0,-）,=（-1,4,-）,=（-1,0,-）.
设平面PAB的法向量n1=（x1,y1,z1）,则令x1=3,可得y1=,z1=,
所以n1=
同理可得平面PBC的法向量n2=（-,0,1）.
所以cos==-
所以二面角A-PB-C的余弦值为
19.解
（1）由题意100000=10000.
所以估计该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的有1万件.
（2）由题意可知P（X≥182）==0.00135,
而0.00135×100000=135,
所以,已生产的前135件的产品长度在182cm以上,
这50件中182cm以上的有5件.随机变量ξ可取0,1,2,
于是P（ξ=0）=,
P（ξ=1）=,
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
P
所以E（ξ）=0+1+2
20.解
（1）∵椭圆C:
=1（a>b>0）的离心率为,且椭圆上的点到右焦点F的最大距离为3,
∴由题意得解得c=1,a=2,b=
∴椭圆的方程为=1.
（2）设直线l的方程为x=my+1,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
联立得（3m2+4）y2+6my-9=0,
∴y1+y2=,y1y2=
S△ABG=3|y2-y1|
=
=18
令μ=m2+1（μ≥1）,则
∵9μ+在[1,+∞）上是增函数,∴9μ+的最小值为10.∴S△ABG
∴△ABG面积的最大值为
21.解
（1）f'（x）=（-x2+2x+a）e1-x,令h（x）=-x2+2x+a,则Δ=4+4a,
当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,-x2+2x+a≤0恒成立,
即函数f（x）是R上的减函数.
当Δ=4+4a>0,即a>-1时,则方程-x2+2x+a=0的两根为x1=1-,x2=1+,
可得函数f（x）是（-∞,1-）,（1+,+∞）上的减函数,是（1-,1+）上的增函数.
（2）根据题意,方程-x2+2x+a=0有两个不同的实根x1,x2（x1∴Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+x2=2,
∵x1由x2f（x1）≤λ[f'（x1）-a（+1）],得
（2-x1）（-a）[（2x1--a],其中-+2x1+a=0,
∴上式化为（2-x1）（2x1）[（2x1-+（2x1-）],整理得
x1（2-x1）[2-λ（+1）]≤0,其中2-x1>1,即
不等式x1[2-λ（+1）]≤0对任意的x1∈（-∞,1]恒成立.
①当x1=0时,不等式x1[2-λ（+1）]≤0恒成立,λ∈R;
②当x1∈（0,1）时,2-λ（+1）≤0恒成立,
即,令函数g（x）==2-,
显然,函数g（x）是R上的减函数,
∴当x∈（0,1）时,g（x）③当x1∈（-∞,0）时,2-λ（+1）≥0恒成立,
即,
由②可知,当x∈（-∞,0）时,g（x）>g（0）=,即综上所述,λ=
22.解
（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）,
由代入法消去参数t,可得曲线C1的普通方程为y=-x+2;
曲线C2的极坐标方程为ρ=,
得ρ2=,即为ρ2+3ρ2sin2θ=4,
整理可得曲线C2的直角坐标方程为+y2=1;
（2）将（t为参数）,
代入曲线C2的直角坐标方程+y2=1,得13t2+32t+48=0,
利用根与系数的关系,可得t1·t2=,
所以|MA|·|MB|=
23.解
（1）∵f（x）=|x-3|+|x+4|=
∴f（x）≥11可化为
解得{x|x≤-6}或⌀或{x|x≥5}.
∴f（x）≥11的解集为{x|x≤-6或x≥5}.
（2）作出f（x）=的图象,
而g（x）=k（x-3）图象为恒过定点P（3,0）的一条直线.
如图,由题意,可得点A（-4,7）,kPA==-1,kPB=2.
∴实数k的取值范围应该为（-1,2].
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